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第一章 预备知识

第一章 预备知识. 第一节 排列与组合 第二节 集合. 第一节 排列与组合. 加法原理 ：完成一件事情有 n 类方法，第 i 类 方法中有 m i 种具体的方法，则完成这件事情 共有. 种不同的方法. 乘法原理 ：完成一件事情有 n 个步骤，第 i 个 步骤中有 m i 种具体的方法，则完成这件事情 共有. 种不同的方法. 排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有. 全排列. 可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地

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第一章 预备知识

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  1. 第一章 预备知识 第一节 排列与组合第二节 集合

  2. 第一节 排列与组合 加法原理：完成一件事情有n类方法，第 i类 方法中有 mi种具体的方法，则完成这件事情 共有 种不同的方法 乘法原理：完成一件事情有n个步骤，第 i个 步骤中有 mi种具体的方法，则完成这件事情 共有 种不同的方法

  3. 排列从 n 个不同的元素中取出 m个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 全排列 可重复排列从 n个不同的元素中可重复地 取出 m个排成一排, 不同的排法有 种。

  4. 不尽相异元素的全排列n个元素中有 m类， 第 i 类中有个相同的元素， 将这 n个元素按一定的次序排成一排， 不同的排法共有 种

  5. 例1从8个不同的元素种任取3个的排列种数[解]所求的排列种数为例1从8个不同的元素种任取3个的排列种数[解]所求的排列种数为 例2从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取3个不同的数组成的三位数中有几个是奇数？ [解]三位数为奇数，个位数只能是奇数，有4中可能。因此个位取定后十位有6种取法，百位有5种取法。所求的个数为

  6. 例3用0,1,2,3,…,9十个数组成三位数，在这些三位数中,(1)若考虑重复，问可以组成多少个不同的三位数？(2)三个数没有重复的有几个？(3)三个数相同的有几个？(4)只有两个数字相同的有几个？例3用0,1,2,3,…,9十个数组成三位数，在这些三位数中,(1)若考虑重复，问可以组成多少个不同的三位数？(2)三个数没有重复的有几个？(3)三个数相同的有几个？(4)只有两个数字相同的有几个？ [解](1)考虑重复，除百位数不能为0，个位和十位可以任取。有9×10×10＝900. (2)同样百位数不能为0，有9种取法，十位有9种，个位有8种取法。共有9×9×8＝648. (3)三位数中三个数相同，百位不能为0，因此只有9种。 (4)百位和十位相同，有9×9个数；百位和个位相同有9×9个数，个位和十位相同有9×9个数。共有 9×9＋9×9＋9×9＝243.

  7. 组合 从 n 个不同的元素中取出 m个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有 多组组合 把 n个元素分成m个不同的组 （组编号）， 各组分别有 个元素 不同的分法共有 种。

  8. 例 4有5本不同的数学书、8本不同的物理书，从中任取两本数学书、四本物理书。问有多少种不同取法？[解] 从5本书中取2本数学书，有 种取法。 从8本书中取4本物理书，有 种取法。因此，所求的取法的种数为 注：总的事件数为 .

  9. 将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的分法； (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的分法。 例4 解 （1） （2）

  10. 第二节 集合 • 集合：具有某种特性的事物所组成的集体。用A,B,C…来表示。组成集合的各个事物称为集合的 元素。如果a是集合A的元素，记为 ，读作“a属 于A”；如果a不是集合A的元素，记为 ，读作“a不属于A”。若A由多个元素a,b,c…组成,记为 一、集合相关的定义

  11. 集合的元素可以是任意种类的对象：点、数、函数、事件、人等。集合的元素可以是任意种类的对象：点、数、函数、事件、人等。 如 (1)全体实数组成的组成一个集合； (2)平面上的点； (3)某班级的学生人数； (4)某区间的连续函数； 在讨论集合时，集合中的元素只算一次。

  12. 有限集：元素为有限的集合. 无限集：元素为无限的集合. 可数集：一个无限集的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系，这个集称为有限集或可列集，否则为不可数集。如可数集

  13. 二、集合的运算 1.子集：属于A中的元素都属于B， .A称为B的子集. 若 空集：不含任何元素的集合，记为 . 若 2.并集：由至少属于集合A及集合B二者之一的所有元素 所组成的集合称为A与B的并集。记为 如 则 3.交集：同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合.

  14. 如果 ，即集合A,B无公共元素，称A与B互不相交。如区间(1,2),(2,3)不相交。 • 集合的并与交满足下列分配率： 4.差集 余集 对任意集合A,B,称由属于A而不属于B的所有元素组成的集合为A,B的差集,记为A－B. 若A与B不相交，则A－B＝A。

  15. 设 称U－B为B在U中的余集，记为 如 当U为整个数轴时，区间 在U内的余集为 余集的有关性质： 设A,B,…等都是U的子集 （1） （2）若 （3）

  16. 作 业 1 • 1 由数字1,2,3,4,5,6能组成多少个没有重复数字的五位数？ • 2 由数字0,1,2,3,4,5能组成多少个没有重复的五位数？ • 3 在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取四个,能组成多少个是偶数的四位数？ • 4 有三种不同的数学书、五种不同的物理书、四本不同的英语书,从中任取两本数学书、三本物理书、三本英语书,有多少种取法? • 5 平面上由 确定的集合与由 确定的集合的交集是怎样一个集合？

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