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Cupole. Andamento tridimensionale degli sforzi. Analisi grafica: sforzi lungo i meridiani e i paralleli.
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Cupole Andamento tridimensionale degli sforzi
Analisi grafica: sforzi lungo i meridiani e i paralleli Si ripercorre un procedimento grafico ottocentesco, dovuto a un lavoro di Schwedler del 1851, e riproposto da Ridolfi nel Manuale dell’architetto pubblicato dopo la seconda guerra mondiale. CNR, Manuale dell’architetto 1953
FORZE E PUNTI SIGNIFICATIVI Spicchio di cupola con le forze applicate nei baricentri (di conci e sovraccarico) e le posizioni H, degli estremi superiori di nocciolo delle sezioni baricentriche, e c, degli estremi inferiori di nocciolo delle sezioni di giunto fra un concio e l’altro. La scelta dei punti c ed H è arbitraria è può essere modificata se il poligono ottenuto non è soddisfacente.
Si ipotizzi che in H1 agisca una forza orizzontale, sulla cui natura e intensità si tornerà fra breve. Il punto a1è alloraintersezionefra la retta d’azione della forza P1 e l’ orizzontale per H1.
Si ipotizzi che la risultante fra la forza Q1 agente in H1 e la forza P1 passi per c1. Conducendo la parallela alla retta a1 - c1 per 1 e intersecandola con l’orizzontale per O si determina il punto O1 e l’intensità della forza Q1. La forza Q1 si può interpretare come la risultante di due forze di uguale intensità e direzione ortogonale alle facce verticali degli spicchi, agenti quindi secondo i paralleli. La direzione delle forze Q” teoricamente è arbitraria, poiché è sufficiente che ricada all’interno del cono di attrito. Tuttavia in condizioni di simmetria, di forma e carico, deve risultare ortogonale alle facce dello spicchio. La presenza di questi sforzi rende il comportamento delle cupole diverso da quello di altre volte, nelle quali le sollecitazioni sono piane. Si individua quindi l’intersezione b2fra la congiungente a1 - c1, lungo la quale agisce R1, e la retta d’azione della forza P2.
La risultante della forza R1 e del peso del concio 2 P2 passerà per b2. Si può poi individuare il punto a2, come intersezione della parallela a O1 - 2, per b2, e dell’orizzontale per H2
Si ipotizzi che la risultante fra la forza Q2 agente in H2 e la somma delle forze precedenti passi per c2. Conducendo la parallela alla retta a2 – c2 per 2 e intersecandola con l’orizzontale per O1 si determina il punto O2 e l’intensità della forza Q2. Prolungando la retta Individuazione a2 - c2 si determina l’intersezione b3 con la retta d’azione della forza P3.
La risultante della forza R2 e del peso del concio 3 P3 passerà per b3. Si può poi individuare il punto a3, come intersezione della parallela a O2 - 3, per b3, e dell’orizzontale per H3.
Si prosegue la costruzione finché, giunti al sesto concio, la congiunte a6 - c6 si sovrappone alla parallela O5 - 6 per b6. La spinta orizzontale, dovuta alle componenti contenute nei paralleli della cupola, si annulla. Se infatti, come al solito, si manda la parallela ad a6 - c6 (- b7) per 6 si determina il punto O6 coincidente con O5. (Tale coincidenza non sempre si verifica; infatti più spesso O6 si trova a sinistra di O5, vedi diapositiva seguente).
Immaginando la presenza di un settimo concio si può proseguire la costruzione come fino ad ora. La parallela a O6 - 7 per b7 determina l’intersezione a7; congiungendo quest’ultimo con c7 si vede che b7 rimane a sinistra della retta a7-c7. Se ora si manda la parallela ad a7 - c7 (- b8) per 7 si determina il punto O7 a sinistra di O6: per l’equilibrio è quindi necessaria una spinta dei paralleli pari a Q7, che però proprio nei paralleli comporta lo scambio di sforzi di trazione, incompatibile con le ipotesi fatte sul comportamento non reagente a trazione della muratura.
Bibliografia • Heyman, Jacques, The stone skeleton: structural engineering of masonry architectures, Cambridge, Cambridge University Press, 1995.Cap.3 • Giuffrè, Antonino, La meccanica dell’architettura. La statica, Roma, NIS, 1986.Cap.6 • Manuale dell'architetto, Roma, CNR, 1953.Tav.D1i • Bettini, Stefano, Lo spazio architettonico da Roma a Bisanzio, Bari 1978 • Le Seur, T., Jacquier, F. and Boscovich, R.G. 1743. Parere di tre mattematici sopra i danni che si sono trovati nella cupola di S. Pietro sul fine dell’anno 1742, dato per ordine di N.S. Benedetto XIV, Roma • Poleni, Giovanni, Memorie istoriche della gran cupola del tempio vaticano, Padova, 1748
