第 5 章边界层理论及其近似

第5章边界层理论及其近似 5.1 边界层近似及其特征 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 平板层流边界层的数值解 5.4 边界层动量积分方程 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征

5.1 边界层近似及其特征 1、边界层概念的提出我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为: • 惯性力： • 粘性力： • 惯性力/粘性力：因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。

5.1 边界层近似及其特征 理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。（ D’Alembert，法国力学家，1717-1783）那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。

5.1、边界层近似及其特征 位流区粘流区 Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论，因此称其为近代流体力学的奠基人。对整个流场提出的基本分区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按位势流理论处理。（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。

5.1、边界层近似及其特征 δ 位流区粘流区（2）边界层的有涡性粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为： 2、边界层的特征（1）边界层厚度定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表示。

5.1、边界层近似及其特征 （3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为。惯性力：粘性力：由边界层内惯性力与粘性力同量级得到由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。

5.1、边界层近似及其特征 （4）边界层各种厚度定义（a）边界层位移厚度假设某点P处的边界层厚度是，实际流体通过的质量流量为: 此处 u是边界层中距物面为 y 处的流速。而在的范围内，以外流的理想速度流动的理想流量是：其中，为边界层外缘速度。上述两部份流量之差是：

5.1、边界层近似及其特征 这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度，其流量写为，从而这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时，应该加上这一位移厚度。

5.1、边界层近似及其特征 （b）边界层动量损失厚度在边界层内，实际流体通过的动量为：在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue通过的动量为：上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：

（c）边界层能量损失厚度 边界层内实际流体通过的动能为：在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue通过的动能为：上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部用理想的外流速度 ue流动时折算的动能损失厚度 δ3为:

5.1、边界层近似及其特征 对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:

5.1、边界层近似及其特征 U∞ ue δ u （5）几点说明（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的。此外在许多情况下对于ue 和U∞ 往往不加以严格区别（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。（c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小依次是: δ > δ1 > δ2

附件 Ludwig Prandtl介绍 Prandtl简介： Ludwig Prandtl 1875年2月4日出生于德国弗赖津（Freising）。其父亲是一位在Freising附近农业大学的测量学与工程教授，母亲常年有病在家。从小受父亲的影响，他对物理学、机械和仪器特别感兴趣。 1894年入Munich大学深造，1900年获博士学位，博士论文方向是弯曲变形下的不稳定弹性平衡问题研究。毕业后负责为一家新工厂设计吸尘器设备时，通过实验解决了管道流动中一些基本的流体力学问题，他所设计的吸尘器仅需要原设计功率的1/3，从此对流体力学感兴趣。

Ludwig Prandtl介绍 1901年Prandtl担任汉诺威（Hanover)科技大学数学工程系的力学教授，在这里他提出边界层理论（Boundary layer theory）并开始研究通过喷管的超音速流动问题。1904年Prandtl在德国海德堡（idelberg）第三次国际数学年会上发表了著名的关于边界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩擦阻力、热传导、流动分离的计算奠定了基础，是现代流体力学的里程碑论文，从此Prandtl成为流体力学界的知名学者。此后他出任德国著名的哥廷根（Gottingen）大学应用力学系主任、教授，在这里他建造了1904-1930年期间世界上最大的空气动力学研究中心。在1905-1908年期间，Prandtl进行了大量的喷管中超音速流动问题研究，发展了斜激波（oblique shock wave)和膨胀波（expansion wave）理论。

Ludwig Prandtl介绍 在1910年-1920年期间，其主要精力转到低速翼型和机翼绕流问题，提出著名的有限展长机翼的升力线理论（lifting line theory）和升力面理论；从1920年以后,Prandtl再次研究高速流动问题（high speed flows），提出著名的Prandtl-Glauert压缩性修正准则(compressibility correction rule）。1930年以后，Prandtl被认为是国际著名的流体力学大师，1953年在哥廷根病故。 Prandtl毕生在流体力学和空气动力学中的贡献是瞩目的，被认为是现代流体力学之父（the father of modern fluid mechanics）,他对流体力学的贡献是可获Nobel奖的。在第二次世界大战期间（1939年9月1日-1945年9月2日），Prandtl一直在哥廷根工作，Nazi德国空军为Prandtl实验室提供了新的实验设备和财政资助。

Ludwig Prandtl介绍 普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。陆士嘉

位流区 边界层 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 1. 边界层流动图画粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空气流过翼型的物理图画：流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流Euler方程

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 ue L 2. 平壁面上边界层方程对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：通过量级比较进行简化，可得到边界层近似方程。选取长度尺度L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定在边界层内满足下列关系：

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 （1）法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数（2）法向速度远远小于纵向速度（3）压强与外流速度的平方成正比将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 N-S方程组各项量级比较: 两项为同一量级右括号中第一项比第二项低2个量级可略。边界层内粘性力与惯性力同量级不可忽略，故ν的量级为: 考虑到ν的量级为δ2，因此右端的最大量级为δ

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 在高 Re数情况下δ较小可以忽略，同时忽略质量力，Prandtl边界层方程变为：边界条件：第三式说明，在高Re数情况下较薄的边界层内，压力沿法向不变。也就是，p 与 y无关，仅是 x和 t的函数。即：

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。当然如果曲率过大，则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。综上所述，边界层基本特性可归纳为：

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 3. 定常层流边界层问题解法概述第一步，求位流解。这时，略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想流体对物体绕流问题的方法，求得物体表面的速度分布（求解时可预先对表面作动量厚度的修正）。由于边界层较薄，求得的速度分布可视为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标 x 处：时，沿边界层外边界，伯努利方程成立：， (或非定常时有欧拉方程成立) 因此，边界层内的压强分布通过位流解得到了，即（）是一个已知函数。

由于是已知函数，所以这两个方程式中只有两个未知数故问题是可解的。求解的边界条件是： 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程第二步，考察边界层方程与边界条件物面：边界层外缘：

5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 第三步，解法思路。我们的问题就是在上述边界条件之下，求解边界层方程组。后面的布拉休斯解就是一个求解的范例。假设已经解出了边界层内速度分布：那么，物体表面的摩擦应力可自下式求出（层流）：有了表面摩擦应力分布之后，再通过积分就不难求出物体所受的总的摩擦阻力了。

5.3、平板层流边界层的数值解 1908年，Prandtl的学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。对于零压强梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为：相应的边界条件为：由于上述方程为非线性偏微分方程，求解很难，勃拉休斯引入流函数（由连续方程）以简化方程：

5.3、平板层流边界层的数值解 这样未知函数 u, v就从两个减少为一个 ψ。自变量本来是两个x,y ,如果引用一个无量纲的变数η=y/δ,则自变量也可以减为一个，从而ψ的表达可作相应改变。流函数的量纲等于速度×长度，那么流函数表为无量纲的η的函数 f(η)时，应该在 f(η)之前将速度×长度的量纲显示出来， Blasius假设速度用层外的U∞（即ue），长度用δ的量纲。根据量级比较，边界层厚度的量级为: 故流函数表为：式中是的待定函数。

5.3、平板层流边界层的数值解 从而，可将 u、v 及其相关导数化为函数 f 关于η的导数：

5.3、平板层流边界层的数值解 代入边界层微分方程，化简后变为：边界条件变为：方程被简化成了常微分方程，但仍然是非线性的求解还是很难，只好设它的解为一个级数。Blasius 假设：其中，为待定系数。用 η＝0 处边界条件，立刻可以确定：A0 = A1= 0

5.3、平板层流边界层的数值解 从而：将以上诸式代入微分方程得：

5.3、平板层流边界层的数值解 整理后，得：因为上式对任何η值均须满足，故各系数必须分别等于零，即如此继续做下去，所有诸不等于零之系数 A均可以 A2来表示。而 A2 则是一个待定常数。令

5.3、平板层流边界层的数值解 则待求级数可表为一个所有系数都含 A2 ＝a的无穷级数：就是我们要求的解，但其中尚有一常数待定。此常数可用: 的边界条件来确定，布拉休斯用数值方法定得：从而所求的解完全确定。

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 5.3、平板层流边界层的数值解由所确定的级数解确定了流函数，也就确定了速度分布，从而就确定了与此相关的其他量，如边界层厚度、剪应力、摩阻系数等。由上解确定的速度分布曲线如图所示，可见实验值与数值解（实线）很符合。数值结果表明尽管各个位置处的速度型是不同的，但若以 η作为自变量，则速度型是一样的。我们称这样的速度分布是相似的，这个解也被称为相似解。当 η = 5.0 时，u /U∞ =0.9916，已经十分接近于1，从而可将此 η对应的 y 坐标确定为边界层厚度 δ。

5.3、平板层流边界层的数值解 由此（1）边界层厚度（）（2）边界层位移厚度（3）边界层动量损失厚度

5.3、平板层流边界层的数值解 （4）壁面切应力（5）壁面摩擦阻力系数（6）平均壁面摩擦总阻力系数郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到适用范围：

5.4、边界层动量积分方程 τ0 今在边界层内任取一控制体，控制体长度为dx，控制面为Aab、Abc、Acd、Ada。现对控制体应用动量方程，可知由Aab面流入控制体的质量流量为：由Acd面流出控制体的质量流量为： 1. 边界层动量积分方程边界层动量积分关系式是由Karman 1921年导出的，对近似求解边界层特性具有重要作用。对层流和湍流边界层都适用。

5.4、边界层动量积分方程 τ0 根据质量守恒定律，通过Abc流入控制体的质量流量为：由Aab面流入控制体的动量流量为：由Acd面流出控制体的动量流量为：通过Abc流入控制体的动量流量在x方向的分量为：

5.4、边界层动量积分方程 p τ0 在Aab面上的作用力为（以下均指 x方向分量）：在Acd面上的作用力为：在Abc面上的力为：在Aad面上的切应力为：

5.4、边界层动量积分方程 对控制体建立x方向的动量方程为：整理后，得：由于上积分只是 x 的函数，右端可得：

上式右边第一项可写为： 左边第一项由伯努利方程可得：将（2）、（3）代回（1）式得：

5.4、边界层动量积分方程 整理可得：或：或：这就是边界层动量积分方程。是一阶常微分方程，既适用于层流也适用于湍流边界层。该方程含三个未知数τ0、δ1和δ2，因此需寻找两个补充关系才能求解。

5.4、边界层动量积分方程 如果写成无量纲形式，有：其中对于零压强梯度的平板边界层流动，有：从而：因为动量积分方程是个常微分方程，求解边界层时相对简单，只要知道剪应力τ0 与δ1、δ2 之间（或与速度 u 分布之间）的相关关系，即可求解。

5.4、边界层动量积分方程 动量积分方程也可通过直接积分边界层微分方程获得对于二维定常不可压缩流体边界层方程为（不计彻体力）：用 ue乘以连续方程（注意 ue=ue(x)）：并利用连续方程把动量方程改写:

5.4、边界层动量积分方程 两式相减，得到：积分上式，有： 0 整理后，得到：这与Karman方程完全一样。

5.4、边界层动量积分方程 确定系数的条件为：上述边界条件中除了璧面剪应力确定的条件适合于层流边界层之外，其余条件既适合与层流边界层也适合于湍流边界层。 2. 利用动量积分关系式解边界层问题的保尔豪森方法如前所述，动量积分方程含有三个未知数：位移厚度δ*、动量厚度δ**和壁面切应力τ0, 因此，必须寻求补充关系才能求解。对于层流边界层而言由于三个未知量都取决于边界层的速度分布，因此只要给定速度分布，就可以求解。显然，该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性。对于层流边界层，通常假定速度分布为：

5.4、边界层动量积分方程 以平板层流边界层为例，假设速度型如下：式中待定系数由下述边界条件确定。四个系数只需四个条件。物面条件为：边界层边界处的条件为：由这四个条件，定得四个系数为：

5.4、边界层动量积分方程 于是，速度分布成为：由牛顿粘性定律：下面求解积分关系式。对于平板边界层，有 , 积分关系式为比较简单的形式：

5.4、边界层动量积分方程 将速度分布代入动量厚度表达可得：将上述关系代入动量积分关系式可得：边界条件为：x = 0时，δ=0 ，积分上式，得平板边界层的厚度 δ沿板长的变化规律是：这个结果与勃拉休斯数值解结果(常数为5.0)相差不大。

5.4、边界层动量积分方程 作用在宽度为b（垂直于纸面的尺寸）、长度为 l 的单面平板上的摩擦力为：将及代入上式积分得：单面平板的摩阻系数为：上述结果与勃拉休斯数值解结果(常数为1.328)相差也不大

5.4、边界层动量积分方程 • 对于层流有压力梯度情况，多了一个的边界条件，由于假设压力梯度已知或外流速度已知，用上述同样的方法可以解得边界层的速度分布和剪应力等，可知结果都与压力梯度有关。 • 对于平板湍流边界层情况，由于无压强梯度，动量积分方程仍然是：但对湍流而言τ0不能直接用璧面附近的速度梯度表达，而δ2与u 和δ有关，因此有三个未知数，还需找两个补充关系，一个是速度分布关系，一个是湍流剪应力关系，根据实验结果：代入δ2 的定义式和上述动量积分方程即可解得平板湍流边界层的δ、当地摩擦阻力系数 Cf、摩擦阻力 Xf和摩阻系数 CF 等。

第 5 章 边界层理论及其近似