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（二） 苏 小 红 哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院

三维实体造型. （二） 苏 小 红 哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院. 分形几何. 欧氏几何 使用 方程 描述有平滑的表面和 规则 形状的物体 分形几何 使用 过程 对具有 不规则 几何形态的物体（如自然景物）建模. 构造方法. 分形的由来（ 1/4 ）. 1906 年，瑞典数学家 H.Von Koch 在研究构造连续而不可微函数时，提出 Koch 曲线。. 周长无穷，但面积为定值 （ 0 ）. ……. 分形的由来（ 2/4 ）. 周长无穷，但面积为定值. Von koch snowflake. D =log4/log3=1.2618. 构造方法.

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  1. 三维实体造型 （二） 苏 小 红 哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院

  2. 分形几何 • 欧氏几何 • 使用方程描述有平滑的表面和规则形状的物体 • 分形几何 • 使用过程对具有不规则几何形态的物体（如自然景物）建模

  3. 构造方法 分形的由来（1/4） • 1906年，瑞典数学家H.Von Koch在研究构造连续而不可微函数时，提出Koch曲线。 • 周长无穷，但面积为定值（0）

  4. …… 分形的由来（2/4） • 周长无穷，但面积为定值 Von koch snowflake D=log4/log3=1.2618 构造方法

  5. 分形的由来（3/4） • 60年代，现代分形理论的奠基人B.B.Mandelbrot将雪花与海岸线、山水、树木等自然景物联系起来 • 67年，英国《科学》杂志，《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》 • 什么是分形 ？ • 指具有多重自相似的对象 • 它可以是自然存在的，也可以是人造的。

  6. 分形的由来（4/4） • fractal概念的由来 • 根据拉丁语fractus造的词 • 词根含义： • 细片的、破碎的、分裂的、分数的 • 75年，法文专著《分形对象:形、机遇与维数 • 77年，英译本《分形：形、 机遇与维数》 (Fractals: Form, Chance, and Dimension) • 82年，增补本，改名为《大自然的分形几何学》

  7. 分形几何（1/8） • 分形物体的细节变化用分形维数（分数维）来描述，它是物体粗糙性或细碎性的度量。 • 什么是分数维？

  8. 分形几何（2/8） • 整数维数 • 拓扑维数 • 只能取整数 • 表示描述一个对象所需的独立变量的个数

  9. 分形几何（3/8） • 分数维数 • 度量维数 • 是从测量的角度定义的 • 从测量的角度看，维数是可变的。 • 例如：看一个毛线团 • 从测量的角度重新理解维数概念

  10. 分形几何（4/8） • 一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，看看能得到几个原始对象(单位长度为A的线段)。 • 3个： L→3L=3^1*L • 平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍，则得到9个正方形： P→9P=3^2*P • 对于三维空间上的正方体V，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍，则得到27个立方体： V→27V=3^3*V • 得到的总个数可表达为： M=B^d • 其中B指放大倍数，M是总个数，d相当于对象的维数。 • 换一种写 法有： d=logM/logB • 其中指数d相当于维数。

  11. 分形几何（5/8） • 从放大的反面去理解 • 从“铺砌”的角度看 • 对给定对象， 用很小的单元块ε充填它，最后数一数所使用的小单元数目N • 数学表达： d=lim(ε→0)logN(ε)/log(1/ε) = -lim(ε→0)logN(ε)/logε

  12. 分形几何（6/8） • 以Koch曲线为例 • 细分线段数为N=4，细分单元长度为ε =1/3 • Koch曲线的分数维为： d=ln4/ln3=1.2619 • 而按照欧氏几何方法 • 将一条线段4等分 • 则N=4， ε =1/4，d=1。

  13. 分形几何（7/8） • 什么是分形 ？ • Mandelbrot开始时 • 把那些Hausdorff维数不是整数的集合称为分形 • 但定义将某些显然为分形的集合排除在外 • 例如，Peano曲线的Hausdorff维数为2，是整数 • 定义修改为 • 强调具有自相似性的集合为分形

  14. 分形几何（8/8） • 至今无统一定义，比较合理、普遍被人接受的定义 • 定义具有如下性质的集合F为分形 • F具有精细的结构，有任意小比例的细节 • F是如此地不规则，以至于它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述 • F通常有某种自相似的性质，这种自相似性可以是近似的或者是统计意义下的 • 一般地，F的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数 • 在大多数令人感兴趣的情形下，F通常能以非常简单的方法定义，由迭代过程产生 • 分形理论是非线性科学的生长点之一

  15. 随机插值模型（1/3） • 1982年由 • Alain Fournier • Don Fussell • Loren Carpenter • 提出 • 能有效地模拟海岸线和山等自然景象 • 不是事先决定各种图素和尺度 • 而是用一个随机过程的采样路径作为构造模型的手段

  16. 随机插值模型（2/3） • 构造二维海岸线的模型： • 选择控制大致形状的若干初始点 • 在相邻两点构成的线段上取其中点 • 沿垂直连线方向随机偏移一个距离 • 将偏移后的点与该线段两端点分别连成两个新线段 • 如此继续可得到一条曲折的有无穷细节回归的海岸线

  17. 随机插值模型（3/3） • 在三维情况下用类似过程构造山模型： • 多边形（如三角形）细分 • 在三角形三边上随机各取一点 • 沿垂直方向随机偏移一段距离得到三个新点 • 连接成四个三角形 • 如此继续，可形成皱褶的山峰。

  18. 迭代函数系统（7/10） • 怎样确定仿射变换？ • 确定a,b,c,d,e,f • 收缩影射不动点原理 • 每个迭代函数系统都定义了一个唯一的分形图形，称为该迭代函数系统的吸引子 • IFS方法之所以能产生逐渐逼近吸引子的图像 • 是以拼贴定理为依据的 • 怎样确定概率向量？ • 掷骰子操作

  19. 迭代函数系统（8/10） Sierpinski三角形 D=log3/log2=1.585

  20. 迭代函数系统（9/10） Barnsley蕨的参数表

  21. L系统（4/10） • 设计D0L系统的步骤： • 定义字符表V • 给出公理，即初始图ω • 定义产生式P

  22. L系统（5/10） • 13世纪数学家Fibonacci（1170-1250） • 兔子的理想化繁衍问题 • baby(b), adult(a) • V：{a,b} • W: b • P: a->ab b->a b a ab aba abaab abaababa abaababaabaab abaababaabaababaababa

  23. L系统（7/10） • 四方内生树 • V：{F,+,-} • w：F+F+F+F • P：F->FF+F++F+F • δ= 90º 初始图 生成元 四方内生树

  24. L系统（9/10） • 设计L系统的过程 • 是根据自相似结构形成信息压缩的一个过程 • 利用设计好的L系统进行绘制的过程 • 是信息压缩的逆过程，或者说是信息复原的过程。

  25. L系统（10/10） • L系统能有效给出植物的拓扑结构 • 但绘制真实感的二、三维植物形态还必须结合几何造型技术

  26. 粒子系统（1/5） • Particle System • W.T.Reeves 1983年提出 • 描述对象 • 不规则、结构随时间而变化的Fuzzy Object • 尤其擅长模拟不规则物体的随机动态特性 • 如跳动的火焰、烟雾、下雨、行云、远处随风摇曳的树林和草丛等

  27. 粒子系统（2/5） • 基本思想 • 造型和动画是一个有机的整体 • 单个随时间变化的粒子(Particle)作为景物造型的基本元素 • 由粒子刻划的模型 • 每个粒子有一个生命周期 • 包括出生、成长、死亡等几个阶段 • 粒子在不同的阶段具有不同的形态 • 粒子的运动由一定的规则控制

  28. 粒子系统（3/5） • 本质是随机模型 • 采用随机过程的方法来实现粒子在“出生”、“生长”、“死亡”三个阶段的不确定性 • 在生长过程中，粒子的属性被随机地改变

  29. 粒子系统（4/5） • 最初引入是为了模拟火焰 • 跳动的火焰被看作是一个喷出许多粒子的火山。 • 每个粒子都有一组随机取值的属性 • 1985年，Reeves和Blau • 进一步发展了粒子系统 • 并维妙维肖的模拟了小草随风摇曳的景象 • 模拟动态模糊自然景物 • 电视电影的特技制作

  30. 复平面上的迭代（2/11） • 绘制M集 • 以横轴x记录实部 • 以纵轴y记录虚部 • 迭代从(x,y)=(0,0)开始迭代 • 不同迭代次数和模值的点涂上不同的颜色 • M集合实际上是常数c=(p,q)构成的图象

  31. 复平面上的迭代（3/11） • M集特征： • 一个主要的心形图与一系列圆盘形的“芽苞”突起连在一起 • 每个芽苞又被更细小的芽苞所环绕 • 还有精细的“发丝状”分枝从芽苞向外长出

  32. (b) c=0.5-0.5i， f有吸引不动点，J为拟圆 (a) c=0.1-0.1i， f有吸引不动点，J为拟圆 (c) c=1.0-0.05i， f有周期为2的吸引轨道 (d) c=0.2-0.75i， f有周期为3的吸引轨道 (f) c=0.5-0.55i， f有周期5的吸引轨道 (g) c=-0.66i，f没有吸引轨道， 且J为全部连通 (e) c=-0.25-0.52i， f有周期为4的吸引轨道 (h) c=-i，f为无圈曲线 复平面上的迭代（5/11） 改变常数c的取值，可以得到各式各样的J集

  33. 复平面上的迭代（6/11） • 二维复平面上二次映射 • 广义的M集和J集 • 任意多项式映射 • 三角函数 • 指数函数 • 对数函数

  34. 复平面上的迭代（7/11） • 高维M集与J集 • 通过“四元数” (quaternions) 推广到高维空间中 • 在四维空间中研究迭代x→x^2+c下的超Julia集 • 选一个截面，将超Julia集投影到三维空间中，可以得到立体的J集图象

  35. 复平面上的迭代（8/11） • 复平面域的牛顿法求根 • 本质是“以直代曲” • 首先猜测一个值x1，用它近似方程的根c • 用过(x1,f(x1))点的切线 y=f(x1)+f’(x1)(x-x1) 近似代替曲线f(x) • 然后用切线方程 y=f(x1)+f’(x1)(x-x1)=0 的根 x=x2=x1-f(x1)/f’(x1) 近似代替曲线方程的根c • 这样就得到c的第二个近似值 • 依此类推可得到迭代公式 x(n+1)=xn-f(xn)/f’(xn)

  36. 复平面上的迭代（9/11） • f(x)=x^p-1,其中p是大于2的正整数 • x^3-1=0有三个根： • x1=1 • x2=[-1+SQRT(3)i]/2 • x3=[-1-SQRT(3)i]/2 • 三个根均匀地分布在单位圆上,这三个根周围构成三个“吸引盆”

  37. 复平面上的迭代（10/11） • 改进方法 • 分式线性映射w=1/z • 在扩充的复平面上是一一对应的 • 且为具有保圆性和保对称性的保角映射 • 将牛顿函数取倒数，并在迭代过程中嵌入控制参数 分子部分完全相同 超吸引不动点相同 用牛顿法求z^4-1=0的根得到的分形图

  38. 苏晓红等．用改进的Newton-Raphson方法生成对称的分形艺术图形，计算机学报．1999 ,22(11): 1147-1152

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