1 / 59

要点梳理 1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数（大 于 | F 1 F 2 | ）的点的轨迹叫 . 这两定点叫做椭圆 的 ，两焦点间的距离叫做 .

§9.5 椭圆. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数（大 于 | F 1 F 2 | ）的点的轨迹叫 . 这两定点叫做椭圆 的 ，两焦点间的距离叫做 . 集合 P ={ M || MF 1 |+| MF 2 |=2 a } ， | F 1 F 2 |=2 c , 其中 a ＞ 0, c ＞ 0 ，且 a ， c 为常数： （ 1 ）若 ，则集合 P 为椭圆； （ 2 ）若 ，则集合 P 为线段； （ 3 ）若 ，则集合 P 为空集. 椭圆. 焦点. 焦距. a ＞ c.

akeem-andrews
Télécharger la présentation

要点梳理 1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数（大 于 | F 1 F 2 | ）的点的轨迹叫 . 这两定点叫做椭圆 的 ，两焦点间的距离叫做 .

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. §9.5 椭圆 基础知识 自主学习 要点梳理 1.椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大 于|F1F2|）的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆 的，两焦点间的距离叫做. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中 a＞0,c＞0，且a，c为常数： （1）若，则集合P为椭圆； （2）若，则集合P为线段； （3）若，则集合P为空集. 椭圆 焦点 焦距 a＞c a=c a＜c

  2. 2.椭圆的标准方程和几何性质

  3. 基础自测 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离 心率等于 ( ) A. B. C. D. 解析 设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b, D

  4. 2.设P是椭圆 上的点.若F1，F2是椭圆 的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ ） A.4 B.5 C.8 D.10 解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. D

  5. 3.已知椭圆x2sin -y2cos =1 (0≤ ＜2 )的 焦点在y轴上，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析 椭圆方程化为 ∵椭圆焦点在y轴上，∴ 又∵0≤ ＜2 ，∴ ＜＜ . D

  6. 4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆 C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 （ ） A.9 B.1 C.1或9 D.以上都不对 解析 由题意得 ∴a=5，c=4. ∴a+c=9，a-c=1. C

  7. 5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A， 且 F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此 椭圆的离心率为. 解析 由已知得∠AF1F2=30°，故cos 30°= ， 从而e= .

  8. 题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义 【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与 圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨 迹方程. 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件. 思维启迪

  9. 解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1； O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R， 则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上, 且a=5，c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16， 故动圆圆心的轨迹方程为

  10. 探究提高平面内一动点与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹 是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在. 已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M， 设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直 平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 知能迁移1

  11. 解析 点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径， ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. 答案B

  12. 题型二 椭圆的标准方程 【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 思维启迪 .

  13. 解 方法一 设所求的椭圆方程为 由已知条件得 解得a=4,c=2,b2=12. 故所求方程为

  14. 方法二 设所求椭圆方程为 两个焦点分别为F1，F2. 由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4. 在方程 中，令x=±c得|y|= , 在方程 中，令y=±c得|x|= , 依题意有 =3，∴b2=12. ∴椭圆的方程为

  15. 探究提高运用待定系数法求椭圆标准方程，即设探究提高运用待定系数法求椭圆标准方程，即设 法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位 置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要， 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m＞0,n＞0,m≠n)， 由题目所给条件求出m、n即可.

  16. 知能迁移2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且 长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆 的方程； （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过两点P1( ，1)、P2(- ，- )， 求椭圆的方程. 解 （1）若焦点在x轴上，设方程为 (a＞b＞0). ∵椭圆过P（3，0），∴ 又2a=3×2b,∴b=1,方程为

  17. 若焦点在y轴上，设方程为 ∵椭圆过点P（3，0），∴ =1, 又2a=3×2b,∴a=9, ∴方程为 ∴所求椭圆的方程为 b=3.

  18. （2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n). ∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆 方程， 则 ①、②两式联立，解得 ∴所求椭圆方程为 ① ②

  19. 题型三 椭圆的几何性质 【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上 一点，∠F1PF2=60°. （1）求椭圆离心率的范围； （2）求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. （1）在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|·|PF2|与a，c的关 系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求 出e的范围； （2）利用|PF1|·|PF2|sin 60°可证. 思维启迪

  20. （1）解 设椭圆方程为 |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2=m2+n2-2mncos 60°. ∵m+n=2a， ∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn， ∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2. 又mn≤ （当且仅当m=n时取等号）, ∴4a2-4c2≤3a2，∴ ≥ ，即e≥ . 又0＜e＜1, ∴e的取值范围是

  21. （2）证明 由（1）知mn= ∴ mnsin 60°= 即△PF1F2的面积只与短轴长有关.

  22. 探究提高 （1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的关系. （2）对△F1PF2的处理方法  定义式的平方 余弦定理 面积公式

  23. 知能迁移3已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M（在x轴 上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1， ∥ . （1）求椭圆的离心率e； （2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右 焦点，求∠F1QF2的取值范围. 解 （1）∵F1（-c，0），则xM=-c，yM= ， ∴kOM=- .∵kAB=- ， ∥ ， ∴- =- ，∴b=c，故e=

  24. （2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2= ， ∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c， cos = 当且仅当r1=r2时，cos =0,∴

  25. 题型四 直线与椭圆的位置关系 【例4】（12分）椭圆C： 的两 个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2， |PF1|= ，|PF2|= . （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆 C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的 方程.

  26. （1）可根据椭圆定义来求椭圆方程； （2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解； 方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法）. 思维启迪

  27. 解 （1）因为点P在椭圆C上， 所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. 2分 在Rt△PF1F2中， 故椭圆的半焦距c= ， 4分 从而b2=a2-c2=4， 所以椭圆C的方程为 6分

  28. （2）方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的 坐标为（-2，1），从而可设直线l的方程为： y=k(x+2)+1, 8分 代入椭圆C的方程得： (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A，B关于点M对称， 所以 10分 所以直线l的方程为y= (x+2)+1, 即8x-9y+25=0. （经检验，所求直线方程符合题意） 12分

  29. 方法二 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5, 所以圆心M的坐标为（-2，1）， 8分 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 由题意x1≠x2, ① ② 由①-②得： ③ 因为A，B关于点M对称， 所以x1+x2=-4,y1+y2=2,

  30. 代入③得 即直线l的斜率为 ， 10分 所以直线l的方程为y-1= (x+2), 即8x-9y+25=0. （经检验，所求直线方程符合题意）. 12分

  31. 探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直 线和椭圆相交、相切或相离. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和 与两根之积的形式，这是进一步解题的基础. （3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦 的端点坐标,代入方程，用点差法求弦的斜率.注 意求出方程后，通常要检验.

  32. 知能迁移4若F1、F2分别是椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上的一个 动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 . （1）求出这个椭圆的方程； （2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆 交于不同的两点A、B，使⊥（其中O为坐 标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存 在，说明理由.

  33. 解 （1）依题意，得2a=4，2c=2 , 所以a=2,c= ,∴b= ∴椭圆的方程为 （2）显然当直线的斜率不存在，即x=0时，不满 足条件. 设l的方程为y=kx+2, 由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 消去y并整理，得

  34. （1+4k2）x2+16kx+12=0. ∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0, 解得k2＞ . ① x1+x2=- ,x1x2= ∵ ⊥ ,∴ · =0， ∴ · =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4 =（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4

  35. ∴k2=4. ② 由①②可知k=±2, 所以，存在斜率k=±2的直线l符合题意.

  36. 方法与技巧 1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离， 且最大距离为a+c,最小距离为a-c. 2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最 短的弦，而且它的长为 .把这个弦叫椭圆 的通径. 3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次 方程，再结合b2=a2-c2就可求得e (0＜e＜1). 思想方法 感悟提高

  37. 4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射， 反射光线必经过椭圆的另一焦点. 5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式Δ=0 求斜率，也可设切点后求导数（斜率）. 6.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断 是否为标准方程，判断的依据是：（1）中心是否 在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.

  38. 失误与防范 1.求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程——椭圆的标准方程. 2.求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联 立求方程组的解,根据解可以判断位置关系，若 方程组有解可求出交点坐标. 3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某 一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单 调区间、最值时有重要意义. 4.判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在 直线为坐标轴，中心为坐标原点.

  39. 5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与 y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点 在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y 轴上. 6.注意椭圆的范围，在设椭圆 上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往 在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因.

  40. 定时检测 一、选择题 1.（2008·上海春招，14）已知椭圆 =1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ） A.4 B.5 C.7 D.8 解析 椭圆焦点在y轴上，∴a2=m-2，b2=10-m. 又c=2，∴m-2-（10-m）=22=4.∴m=8. D

  41. 2.已知点M（ ，0）,椭圆 =1与直线 y=k(x+ )交于点A、B,则△ABM的周长为 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 解析 直线y=k(x+ )过定点N(- ,0),而M、N 恰为椭圆 的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8. B

  42. 3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 （ ） A.1 B. C.2 D.2 解析 设椭圆 ，则使三角 形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短 轴端点， ∴S= ×2c×b=bc=1≤ ∴a2≥2.∴a≥ .∴长轴长2a≥2 ，故选D. D

  43. 4.（2009·浙江文，6）已知椭圆 (a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在 椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若 =2，则椭圆的离心率是 （ ） A. B. C. D.

  44. 解析 如图，由于BF⊥x轴， 故xB=-c,yB= ,设P（0,t）, ∵ =2 ， ∴（-a,t）=2 ∴a=2c,∴e= 答案D

  45. 5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长 轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是 等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 解析 ∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|=|F1F2|，将x=-c代入椭圆方程 从而 即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0, 解得e=-1± ,由e∈(0,1),得e= -1. C

  46. 6.(2009·江西理,6)过椭圆 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦 点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 解析 由题意知点P的坐标为 ∵∠F1PF2=60°, ∴ 即2ac= b2= (a2-c2). ∴ e2+2e- =0,∴e= 或e=- (舍去). B

  47. 二、填空题 7.（2009·广东理，11）已知椭圆G的中心在坐标 原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且G上一点 到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程 为. 解析 设椭圆的长半轴为a，由2a=12知a=6, 又e= = ,故c=3 ，∴b2=a2-c2=36-27=9. ∴椭圆标准方程为

  48. 8.设椭圆 （m＞0,n＞0）的右焦点与抛 物线y2=8x的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的 标准方程为. 解析 抛物线y2=8x的焦点是（2,0）,∴椭圆 的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e= ∴m=4,n2=12. 从而椭圆的方程为

  49. 9.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过9.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过 左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是 |OF1|和|B1B2|的等比中项，则 的值是. 解析 由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c= 设P（x0，y0），则x0=-c，|y0|=|PF1|.

More Related