SUITES DE FAREY
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SUITES DE FAREY. CERCLES DE FORD ARBRE DE STERN-BROCOT. CHRONOLOGIE. John Farey, géologue anglais, conjecture en 1816, sur les fractions ordinaires Démonstration la meme année par Augustin Cauchy Magnifique illustration géométrique en 1938 par Lester Ford (mathématicien américain)
SUITES DE FAREY
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SUITES DE FAREY CERCLES DE FORD ARBRE DE STERN-BROCOT
CHRONOLOGIE • JohnFarey, géologue anglais, conjecture en 1816, sur les fractions ordinaires • Démonstration la meme année par Augustin Cauchy • Magnifique illustration géométrique en 1938 par Lester Ford (mathématicien américain) • Représentation des rationnels par un arbre infini : indépendamment par le mathématicien allemand Moriz Stern (1858) et l’horloger français Achille Brocot (1860)
DEFINITION Ce sont toutes les fractions irréductibles Entre 0 et 1 ayant un dénominateur inférieur ou égal à n et classées par ordre croissant
Si a / b et a' / b' sont deux termes CONSECUTIFS d'une suite de Farey alors ba' - ab' = 1 INSERTION Dans la suite de Farey, en prenant trois fractions consécutives : p/q < p’/q’ < p’’/q’’ le terme médian est donné par:
Cercles de Ford (fractal)
d : distance en rouge t = r + Rd² = ( X - x )² + ( Y - y )²t = y + Yd² = X² - 2Xx + x² + Y² - 2Yy + y²t² = y² + 2 yY + Y²d² - t²= ( X - x )² - 4Yy= ( P/Q - p/q )² - 4 (1/2Q² . 1/2q² )= ( (Pq - pQ)/qQ )² - (1/qQ )²= ( ( Pq - pQ )² - 1 ) /q²Q²
ARBRE DE STERN-BROCOTARBRE DE STERN-BROCOTFait extraordinaire : tous les rationnelsfigurent dans l’arbre, une et une seule fois, et sous forme irréductibleEnsembles de Farey : sous-arbres Chaque rationnel y apparaît une seule fois, en écriture irréductible
GENERATIONS • 0/1 < 1/0 • 0/1 < 1/1 < 1/0 • 0/1 < 1/2 <1/1 < 2/1 < 1/0 • 0/1 <1/3< 1/2 <2/3<1/1<3/2 < 2/1<3/1 < 1/ 0 • 0/1 <1/4<1/3<2/5< 1/2<3/5 <2/3<3/4<1/1<4/3<3/2 <5/3< 2/1<5/2<<3/1 < 4/1<1/0 • 0/1<1/5< <1/4<2/7<<1/3<3/8<2/5<3/7< 1/2<4/7<3/5 <5/8<<2/3<5/7<3/4<4/5<1/1 • 2/3<7/10<5/7<8/11<3/4< 7/9<4/5<5/6<1/1 • 2/3< 9/13<7/10<12/17<5/7<13/18<8/11<11/15<3/4< 10/13<7/9<11/14<4/5<9/11<5/6< 6/7<1/1 • 3/4<13/17< 10/13< 17/22<7/9<18/23<11/14<15/19<4/5 • 3/4<16/21<13/17<23/30< 10/13<27/35< 17/22<24/31<7/9<25/32<18/23<29/37<11/14 • 27/35 : 1/1 - 1/2 - 2/3 - 3/4 - 4/5 - 7/9 – 10/13 – 17/22 – 27/35
PROPRIETES 1)Si m/n < m’/n’ sont consécutives dans l’arbre (i.e. dans une génération) alors m’n –mn’ = 1 (*) Preuve par récurrence : on vérifie que pour le nouvel élément (m+m’)(/n+n’), on a encore (cf déterminants liés) : (m+m’)n – m(n+n’) =1 = m’(n+n’)-(m+m’)n’ 2)Conséquence : fractions irréductibles (Bezout) 3)Si m/n < m’/n’ alors m/n < (m+m’)(/n+n’) < m’/n’ : la construction de l’arbre préserve l’ordre donc chaque fraction apparaît au plus une fois 4)Chaque fraction est présente dans l’arbre : tant que a/b n’est pas apparue, on considère ses 2 plus proches voisins m/n < m’/n’ vérifiant donc (*) Puisque m/n < a/b < m’/n’ , on a : an-bm > 0 et m’b –an’ > 0 soit encore puisqu’ils sont entiers an-bm ³ 1 et m’b –an’ ³ 1; De (*), on déduit : a+b = (m’+n’) (an-bm) + (m+n) (m’b –an’ ) ³ m+n + m’+n’ , Ce qui ne sera plus vrai à partir d’un certain rang puisque m+n + m’+n’ Croit strictement au fil des générations.
CODAGE • Prenons par exemple 27/35, selon ce principe, • elle se code sous la forme GDDDGGDG • (G pour gauche et D pour droite). • Or on peut vérifier que 1' on a :
