Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2

1. Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 Konsultacje: czwartek 13-15 wykład 1g. ćwiczenia 1g. Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718 Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

2. Zagadnienia (wykłady): • Pojęcie pola, pole wektorowe i skalarne, źródła pól. • Własności ośrodków materialnych. • Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola. • Pole elektryczne i jego źródła. Pojęcie gęstości ładunków. • Dipol elektryczny. Potencjał elektryczny, sens fizyczny, • pojęcie różnicy potencjałów. • Pole magnetyczne i jego źródła. • Prawo sił Ampera. Prawo Biot-Savarte’a. • Wektorowy potencjał magnetyczny. • Dipol magnetyczny, konfiguracja Helmholtza, solenoid. • Równanie Poissona i Laplace’a, równanie ciągłości.

3. Równanie Poissona i Laplace’a, równanie ciągłości. • Prawa elektrodynamiki: prawo Gaussa, prawo źródeł • magnetycznych, prawo Faraday’a, uogólnione obwodowe • prawo Ampera. • Równania Maxwella • Zależności energetyczne. Zasada zachowania mocy i • energii. Równanie Poyntinga. • Warunki spełnione przez wektory pól na granicy dwóch • ośrodków materialnych. Czas relaksacji. Warunki graniczne • przy powierzchni idealnego przewodnika.

4. Program ćwiczeń (15 godz.): • Rachunek wektorowy. • Układy współrzędnych ortogonalnych. • Operacje wektorowe oraz różniczkowo-całkowe • w układach współrzędnych ortogonalnych. • 4. Operatory różniczkowe: gradient, dywergencja • 5. Operatory różniczkowe: rotacja, laplasjan • 6. Twierdzenie Gaussa i Stoke’sa • 7. Badanie pól wektorowych i skalarnych • 8. Kolokwium

5. Program ćwiczeń (15 godz.) c.d.: • 9. Prawo Coulomba, potencjał elektryczny • 10. Źródła pola elektrycznego, prawo Gaussa • 11. Równanie Laplace’a i Poissona • 12. Źródła pola magnetycznego, prawo sił Ampera, prawo Biot-Savarte’a • 13. Prawo Faraday’a, uogólnione obwodowe prawo sił Ampera • 14. Zasada zachowania energii • 15. Kolokwium II

6. Warunki zaliczenia w trakcie semestru: 2 kolokwia w ramach ćwiczeń: 50 pkt. Test z teorii (ostatni tydzień zajęć): 50 pkt. W sumie do zdobycia: 100 pkt. Ocena dostateczna wymaga uzyskania sumarycznie 50 pkt., przy warunku min.20 pkt. z ćwiczeń i 20 pkt. z testu. Uzyskanie 30 pkt. z ćwiczeń (zadań) lub z testu nie wymaga powtarzania zaliczenia tej części w kolejnych terminach.

7. 50-59 pkt. dostateczny 60-69 pkt. dost. plus 69-77 pkt. dobry 78-86 pkt. dobry plus 87-95 pkt. bardzo dobry 95-100 pkt. celujący Skala ocen: Podręczniki: • T. Morawski, W. Gwarek, Teoria Pola Elektromagnetycznego (Pola i Fale Elektromagnetyczne), WNT, Warszawa, 1998. • 2. David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001. • oraz różnorodne podręczniki z fizyki na poziomie uniwersyteckim obejmujące elektryczność i magnetyzm, elektromagnetyzm i elektrodynamikę.

8. Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

9. Typowe oznaczenia i jednostki układu SI Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

10. Typowe oznaczenia i jednostki układu SI

11. Elektrodynamika – elektryczność i magnetyzm ? Elektrodynamika – kwantowa czy klasyczna ? Elektrodynamika klasyczna: • niekwantowe przybliżenie praw elektromagnetyzmu, lub • przypadek graniczny elektrodynamiki kwantowej.

12. Założenia elektrodynamiki klasycznej: • - materia traktowana jest jako ośrodek ciągły • zależność wszystkich wielkości od • czasu jest zdeterminowana • energia rozchodzi się w postaci fal • Elektrodynamika klasyczna: • nauka opisująca zachowanie się i oddziaływanie • obiektów materialnych obdarzonych ładunkami • elektrycznymi oraz analizą zjawisk temu towarzyszących.

13. Pole elektromagnetyczne ? Przestrzeń, z której każdym punktem można związać wartość jednego z czterech pól wektorowych: - natężenie pola elektrycznego [V/m] - natężenie pola magnetycznego [A/m] • indukcja pola elektrycznego lub gęstość • strumienia elektrycznego [C/m2] • indukcja pola magnetycznego lub gęstość • strumienia magnetycznego [Wb/m2] • - źródłami pola są ładunki i prądy • rozchodzi się (pole - zaburzenie?) w przestrzeni • ze skończoną i stałą niezależną od obserwatora prędkością: • c ≈ 300Mm/s = 3 * 108 m/s

14. ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Ogólnie przestrzeń nas otaczającą można podzielić na: próżnię i ośrodki materialne. Próżnia w ujęciu klasycznej elektrodynamiki posiada zdolność przenoszenia i magazynowania energii, a więc pewnej formy materii – niekonsekwencja w/w podziału? • Własności ośrodków materialnych: • stany skupienia • jednorodność • liniowość • izotropowość • dyspersyjność

15. ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Stany skupienia stały ciekły gazowy plazma ? Plazma– ośrodek całkowicie zjonizowany, obojętny elektrycznie dla zewnętrznego obserwatora, np. jonosfera

16. ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE JEDNORODNOŚĆ Równania materiałowe: Ośrodek nazywamy jednorodnym jeżeli parametry materiałowe zależą od punktu przestrzeni, tzn. zachodzi: Jeżeli przynajmniej jedna z powyższych nierówności nie jest spełniona, to ośrodek jest niejednorodny ze względu na dany parametr materiałowy.

17. ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE LINIOWOŚĆ Jeżeli równania materiałowe – zawierające parametry nie zależą od wartości przyłożonych pól, to ośrodek nazywamy liniowym. Oznacza to, że równania: są równaniami liniowymi W przeciwnym przypadku: są równaniami nieliniowymi i tak też są nazywane odpowiednie ośrodki

18. ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE izotropowość - anizotropowość Jeżeli wektory są parami równoległe, czyli parametry materiałowe są wielkościami skalarnymi, to ośrodek zaliczamy do izotropowych. W przeciwnym przypadku, gdy wielkości te mają charakter tensorowy, czyli własności ośrodka zależą od kierunku w przestrzeni, ośrodek nazywamy anizotropowym. Mogą zachodzić wtedy relacje typu: gdzie: - tensor przenikalności elektrycznej, np. magnesowana plazma; - tensor przenikalności magnetycznej, np. magnesowany ośrodek ferrytowy; - tensor przewodności, np. papier pokryty warstwą rezystywną.

19. Gdy tensor jest symetryczny, mówimy o anizotropii zwykłej. Gdy własności ośrodka zależą od specyficznego kierunku pola polaryzującego ośrodek (np. stałe pole lub ) wprowadza się pojęcie ośrodka żyrotropowego. Przykładowo magnesowany w kierunku osi z ferryt opisany jest tensorem postaci: ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE izotropowość - anizotropowość Przykładowa relacja:

20. Najnowsze badania materiałowe pozwalają wytworzyć ośrodki nazywane bianizotropowymi, dla których wektory indukcji zależą jednocześnie od pól i : ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Czasem spotyka się proste postaci tensorów przenikalności, spotykane w kryształach, ceramice podłożowej, nazywane przypadkiem anizotropii jednoosiowej:

21. ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE DYSPERSYJNOŚĆ Jeżeli parametry (własności) ośrodka zależą od częstotliwości sygnału, który do tego ośrodka wprowadzamy, to nazywamy taki ośrodek dyspersyjnym; w przeciwnym przypadku: ośrodek bezdyspersyjny.

22. (x,y,z) punkt obserwacji Definiujemy czyli wektor wiążący położenie źródła i punkt obserwacji: Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola - punkt pola (obserwator) - punkt źródła - wektor źródła (x’,y’,z’) - źródło - wektor pola na ogół

23. zmiana punktu pola (punktu obserwacji): zmiana położenia źródła: gdzie operator :

24. Czasem wykorzystuje się zależności: wykazać! gdzie jest funkcją delta Diraca zdefiniowaną relacją: jeśli V obejmuje R=0 jeśli V nie obejmuje R=0 jeśli V’ obejmuje R=0 jeśli V’ nie obejmuje R=0

25. Def. Prawo Coulomba: Pole elektryczne lub bardziej precyzyjnie:

26. ale czyli: Stąd: gdzie:

28. Rozważmy pole wywołane zbiorem ładunków punktowych rozłożonych w przestrzeni: Układ źródeł punktowych czyli: lub gdzie:

29. W praktyce obserwujemy fluktuację przestrzenną ładunków (e, jony). Ujęcie makroskopowe: Zastąpienie układu ładunków dyskretnych ciągłym rozkładem ładunków. Rozważmy objętość V zawierającą pewien rozkład ciągły ładunków: - objętościowa gęstość ładunków

30. Def.: Podobnie, gdy rozważymy powierzchnię z równomiernie rozłożonymi ładunkami. Wtedy: oraz dla ciągłego rozkładu ładunków wzdłuż pewnej linii: Ładunek związany z objętością, powierzchnią, linią: Całkowity ładunek odpowiednio:

31. Dla dyskretnego rozkładu ładunków: czyli dla rozkładu ciągłego: gdy oraz lub lub lub

32. Przykład: Pole elektryczne wytworzone przez ładunki punktowe o ciągłym rozkładzie liniowym

33. brak możliwości wystąpienia składowej czyli: ale

34. Wniosek: Składowa radialna pola elektrycznego od „nieskończonego” ładunku liniowego zmienia się jak (w układzie cylindrycznym). Pole wywołane źródłami punktowymi zmienia się jak (w układzie sferycznym).

35. Przykład: Statyczny dipol elektryczny -2 ładunki – równe – różnoimienne – odległe o „d” moment dipolowy elektryczny:

36. Ale, jeżeli r >> d, wtedy: czyli:

37. Uwzględniając: r >> d Ale:

38. czyli dla r >> d Pole pochodzące od dipola elektrycznego zanika jak (w układzie sferycznym).

40. siła oddziaływania coulombowskiego • siła mechaniczna potrzebna dla utrzymania równowagi Potencjał elektryczny Rozważmy 2 ładunki jednoimienne

41. ale czyli: Praca – potrzebna do przesunięcia ładunku q: Praca całkowita – potrzebna do przesunięcia ładunku q z punktu 1 do punktu 2:

42. Jeżeli punkt 2 , to , tzn. potencjał wywołany źródłem umieszczonym w nieskończoności RÓŻNICA POTENCJAŁÓW

43. Wtedy: Praca na jednostkę ładunku, którą należy wykonać przeciw siłom pola, aby przemieścić ładunek jednostkowy z nieskończoności do punktu 1 Praca na jednostkę ładunku wykonana przez siły pola na przemieszczenie ładunku jednostkowego do nieskończoności - jeżeli cząsteczka naładowana porusza się przeciwnie w stosunku do kierunku pola elektrycznego, wtedy praca jest dodatnia – analogia do mechanicznego pola grawitacyjnego Potencjał elektryczny równoważny jest pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku w polu elektrycznym

44. POLE MAGNETYCZNE • Założenia: • Źródła: prądy, magnesy trwałe • Ładunek testujący porusza się z prędkością , tworząc w ten • sposób element prądowy: • 3. Siła oddziaływania magnetycznego jest prostopadła do • (eksperyment) Równanie: wiążące amplitudę siły i pola B (gęstość strumienia magnetycznego):

45. Fmax – największa wartość siły jaka obserwowana jest przy zmianie kierunku wektora . lub dokładniej: Uwzględniając kierunki wektorów: jest to definicja wektora - określająca siłę działającą na ruchomy ładunek testujący

46. Energia dostarczona ruchomemu ładunkowi przez pole : gdy oba pola występują równocześnie: RÓWNANIE SIŁ LORENZA dla ładunku punktowego

47. RELACJE PRĄDOWE W praktyce określa się siłę działającą nie na pojedynczy ładunek ruchomy, ale wywieraną na ciągłe przestrzenne rozkłady poruszających się ładunków lub na przewodnik z prądem. Rozważmy „cylinder” z ruchomym ładunkiem poruszającym się z prędkością .

48. Gęstość prądu przenikającego przez A:

49. czyli, ponieważ mają zgodne kierunki: lub, gdy występują jednocześnie: RÓWNANIE SIŁ LORENZA dla ciągłego rozkładu ładunków Gdy A jest const. Wygodnie jest wprowadzić natężenie prądu:

50. gdy długość przewodnika wynosi : wtedy : czyli: