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24.1.3 弧、弦、圆心角

人教版九年级上册. 24.1.3 弧、弦、圆心角. 雁门初中 袁琳. 雁门初中 袁琳. 观察与发现. A. D. O. B. C. 思考：. 圆是中心对称图形吗 ? 它的对称中心在哪里 ?. 圆是中心对称图形，. ·. 它的对称中心是圆心. ·. O. ┓. B. A. C. 弦心距. 圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．. A. B. 圆心角∠ AOB 所对的弦为 AB ，所对的弧为 AB 。. ⌒. 概念：. 圆心角 ：我们把 顶点在圆心 的角叫做 圆心角. ∠AOB 为圆心角. ·. O.

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24.1.3 弧、弦、圆心角

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Presentation Transcript

  1. 人教版九年级上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 雁门初中 袁琳 雁门初中 袁琳

  2. 观察与发现 A D O B C

  3. 思考： 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形， · 它的对称中心是圆心.

  4. · O ┓ B A C 弦心距 圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．

  5. A B 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。 ⌒ 概念： 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. ∠AOB为圆心角 · O

  6. 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ① ② ③ ④

  7. A · O B 探究： 任意给圆心角，对应出现三个量： 弧 圆心角 弦 疑问：这三个量之间会有什么关系呢？

  8. ⌒ ⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A1 B · B1 O A ∵ ∠AOB=∠A1OB1

  9. ⌒ ⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . 如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么? B A1 · · · B1 O A O1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1

  10. B O α A α ⌒ ⌒ B1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . A1 归纳： 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 几何语言： ∵ ∠AOB=∠A1OB1

  11. 思 考： 1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？ 2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？

  12. O 延伸： 等对等定理 同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 B α A α B1 A1

  13. O 等对等定理整体理解： B (1) 圆心角 知一得二 α A (2) 弧 α (3) 弦 B1 A1 前提：同圆或等圆中

  14. 1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD，那么，。 （2）如果弧AB=弧CD，那么，。 （3）如果∠AOB=∠COD，那么，。 （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E， OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ 巩固：

  15. 弦所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦相等 那么 弦所对的弧相等 弦的弦心距相等 弦心距所对应的圆心角相等 弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦心距相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 那么 弦心距所对应的弧相等 弧所对的弦相等 弦心距所对应的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等

  16. O 等对等定理的延伸： B (1) 圆心角 知一得三 (2) 弧 α A α (3) 弦 (4) 弦心距 B ′ A′

  17. 证明： ∵AB=AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形　　 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC A 例题 O C B ⌒ ⌒ 例1：如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 ⌒ ⌒

  18. AB=CD 例2：如图，在⊙O中， 11111111AC=BD， , 求∠2的度数。 （已知） 解： ∵ AC=BD ∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ （在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等） ∴ ∠1=∠2=45°

  19. 一题多解 • 例3：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB. 求证：

  20. B A o 1 50 C 2 O D 随堂练习 前提条件 1.判断下列说法是否正确： （1）相等的圆心角所对的弧相等。（ ） （2）相等的弧所对的弦相等。（ ） （3）相等的弦所对的弧相等。（ ） （4）等弧所对的弦相等。 （ ） × × × × 2. 如图，⊙O中，AB=CD， ，

  21. 3、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。3、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。 E D C A B O ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明： ∵ BC=CD=DE ∴∠COB=∠COD=∠DOE=35° ∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE =750

  22. 4、如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小. C A O B D ⌒ ⌒ 变式 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， AD=BC, 求证AB=CD

  23. 5、如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC5、如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC ⌒

  24. 6、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,6、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA, 求证：AC=AE ⌒ ⌒

  25. 7、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、 B. （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：AC=BD O E F C D B A ⌒ ⌒

  26. 8、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD.8、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD. （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长 A O P B C D ⌒

  27. 课堂小结 • 1.弧、弦、圆心角关系定理的内容？ • 2.运用这个定理时应注意什么问题？ • 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用哪些方法？你能归纳一下吗？

  28. B O α A α B1 A1 归纳： 1、四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距 2、四组相等关系： (1) 圆心角相等 知一推三 (2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等

  29. 小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知∠AOB=2 ∠COD,则有 =2 ,AB=2CD,你同意他的说法吗? ︵ ︵ ． AB CD 思维拓展: C D O A B

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