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因式分解

因式分解. 城东中学 吴彩凤. 教学目标 : 1 、知识目标： （ 1 ）理解因式分解的意义和概念。 （ 2 ）认识因式分解与整式乘法的相互关系 —— 相反方向的恒等变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法，培养学生创编因式分解题目的能力 。 (3) 掌握因式分解的基本方法 : 提公因式法、公式法。明确用公式法分解因式就是逆用乘法公式，进一步提高代数式的恒等变形能力。 2 、能力目标：在因式分解的教学中，注意揭示数学中的可逆关系，培养学生的辨证思维以及创造性思维能力， 提高学生的综合运用能力。

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因式分解

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  1. 因式分解 城东中学 吴彩凤

  2. 教学目标: • 1、知识目标： • （1）理解因式分解的意义和概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反方向的恒等变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法，培养学生创编因式分解题目的能力。(3) 掌握因式分解的基本方法:提公因式法、公式法。明确用公式法分解因式就是逆用乘法公式，进一步提高代数式的恒等变形能力。 • 2、能力目标：在因式分解的教学中，注意揭示数学中的可逆关系，培养学生的辨证思维以及创造性思维能力，提高学生的综合运用能力。 • 3、情感目标：培养学生独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。激发学习兴趣，使学生满腔热忱，科学积极地投入到这部分内容的学习，让学生体验到成功的喜悦。

  3. 教学重点、难点： 教学重点： • 熟练运用提取公因式和公式法这两种方法解题以及灵活掌握因式分解的综合应用。 • 教学难点： • 1.正确寻找公因式。 • 2. 灵活运用公式法分解因式，正确理解公式中a、b。 • 公式中a、b，既可以表示单项式(数、字母）又可以表示多项式。

  4. 要点、考点聚焦 1.因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个 多项式因式分解。 2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法： ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (4)分组分解法： ①分组后能提公因式； ②分组后能运用公式。

  5. 要点、考点聚焦 3.因式分解的一般步骤 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有 必须先提出来. (2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公 因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.

  6. 热身训练 (a+5)(a-5) 1.(2008年·福州市)分解因式：a2-25=. x(xy+2)(xy-2) 2. (2008年·陕西)分解因式：x3y2-4x=. xy(y-x) 3. (2008年·长沙)分解因式：xy2-x2y=. y(x-2)2 4. (2007年·青海)分解因式：x2y-4xy+4y=.

  7. 多项式各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式。 多项式公因式的构成：若各项系数是整数时，取各项系数的最大公约数,相同因式的最低次幂。 单项式与多项式相乘 提公因式法 分解因式的方法 (1)提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式的积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系: • ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)　　　ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ

  8. 典型例题解析 • 例1 把下列多项式因式分解 (1)-8a3b-12a2b2+4ab2 解：-8a3b-12a2b2+4ab2 (8a3b+12a2b2-4ab2 ) = - =-4ab(2a2+3ab-b) 分析:当多项式的首项的系数为负时，通常应提取负因数， 此时剩下的各项都要改变符号。

  9. 例2 把(a-b)2-2(a-b)因式分解 解： (a-b)2-2(a-b) = (a-b) [(a-b)-2] 公因式也可以是多项式 = (a-b) (a-b-2 ) 小组议一议 (b-a)2-2(a-b) (a-b)2-2(b-a)

  10. 针对性基础训练1.把下列各式分解因式（1）2x(x-2y)+4y(2y-x)（2）(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)针对性基础训练1.把下列各式分解因式（1）2x(x-2y)+4y(2y-x)（2）(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b) 解:（1） 2x(x-2y)+4y(2y-x) = 2x(x-2y)-4y(x-2y) =2(x-2y)(x-2y) =2(x-2y)2 (2) (2a+b)(3b-2a)-a(2a+b) =(2a+b)(3b-2a-a) =(2a+b)(3b-3a) =3(2a+b)(b-a)

  11. 2.把下列各式分解因式 • 3a2-9ab (2) 2a(b+c)-3(b+c) • (3) mn(m-n)-(n-m) (4)m(m-n)2-n(n-m)2 解:(1) 3a2-9ab=3a(a-3b) (2) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3) (3) mn(m-n)-(n-m) =mn(m-n)+(m-n)=(m-n)(mn+1) (4) m(m-n)2-n(n-m)2 =m(m-n)2-n(m-n)2=(m-n)2(m-n) =(m-n)3 注意： n-m =-(m-n) (n-m)2=[-(m-n)]2=(m-n)2

  12. (2)运用公式法:把乘法公式反过来用,可以把符合(2)运用公式法:把乘法公式反过来用,可以把符合 公式特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法。 1. 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 2. 完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 公式中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。

  13. 针对性基础训练 3.把下列各式因式分解 (1)0.81a2-16b2 (2) –(b+c)2+4a2 (3)1-6x+9x2 (4) ax2+2a2x+a3 解：(1) 0.81a2-16b2=(0.9a)2-(4b)2=(0.9a+4b)(0.9a-4b) (2) –(b+c)2+4a2=4a2-(b+c)2 =[2a+(b+c)][2a-(b+c)] =(2a+b+c)(2a-b-c) (3) 1-6x+9x2 =1-2·3x+(3x)2=(1-3x)2 (4) ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2

  14. （3）利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。（3）利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 将下列各式因式分解: 练一练 1.x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2.x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3.x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4.x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5.x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6.x2-x-12= (x-4)(x+3) 符号规律： 常数项是正数时，应分解为两个因数，他们的符号与一次项系数符号； 常数项是负数时，应分解为两个因数，其绝对值的 因数与一次项系数的符号相同。 同号 相同 异号 较大

  15. x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) a x x b ax + bx (a+b)x =

  16. 对二次三项式x2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题： 1.掌握方法：拆分常数项，验证一次项。 2.符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。 3.书写格式：竖分横积

  17. 因式分解与方程的关系例3 已知x-3是kx4+10x-192的一个因式,求k的值。 解:∵x-3是kx4+10x-192的一个因式, ∴3是方程kx4+10x-192=0的一个根, ∴k×34+10×3-192=0,解得k=2. 点评:理解因式分解与方程的关系是解决此类问题的关键,这种方法在分解高次多项式时,寻找它的因式时,很有用,要理解好这种方法。

  18. 典型例题解析 例4 已知△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0， 请你判断这个三角形的形状？ 解: 由于－ c2 ＋a2＋2ab－2bc＝0， 则（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0， 于是（a－c）（a＋2b＋c）＝0．      又由于a、b、c是△abc的三条边， 可知a＋2b＋c＞0，只能a－c＝0，      即a＝c， ∴△abc为等腰三角形。

  19. 典型例题解析 • 例5 若a+b=4,a2+b2=10 求 • a3+a2b+ab2+b3的值。 解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) ∵a+b=4,a2+b2=10 ∴原式=4×10=40

  20. 课时训练 • 5.已知:(x+y)2-2x-2y+1=0,求2x2+4xy+2y2的值。 解： ∵(x+y)2-2x-2y+1=0 ∴(x+y)2-2(x+y)+1=0 ∴(x+y-1)2=0 ∴x+y-1=0 ∴x+y=1 ∴2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =2×12 =2

  21. 思考题: 观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16, 16-36= -20······ （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）的等式表示出来。 （2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。

  22. 解:(1) n2-(n+2)2 = -4( n+1) (n为正整数) (2)第 10个等式是100-144= -44

  23. 综合运用 4.把下列各式因式分解： ①-x2+6x-9 ②x2+2xy+y2-z2 ③ab+a+b+1 ④(x-1)(x-3)+1

  24. ①解：原式=－（x2-6x+9) • =－(x-3)2 • ②解：原式=（x2+2xy+y2)-z2 • =(x+y)2-z2 • =(x+y+z)(x+y-z) • ③解：原式=(ab+a)+(b+1) • =a(b+1)+(b+1) • =(b+1)(a+1) • ④解：原式=(x2-4x+3)+1 • =x2-4x+4 • =(x-2)2

  25. 方法小结： 1、因式分解的定义 2、因式分解的两种基本方法 3、因式分解的一般步骤 4、引导学生换个角度思考：即按其项数 确定分解方法 （1）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因式 （两项为异号时） （2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式 强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 如果题目中明确指出分解范围，则按题意要求分解。 （3）各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出 莫漏“1”,括号里面分到“底”。

  26. 再见！

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