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大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。

A. D. B. C. 一、有向線段與向量：. 1. 量與方向：.  事半功倍 。.  事倍功半 ；. 順風騎單車. 逆風騎單車. 大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。. 2. 有向線段與向量：. 當給定由 A 到 B 的方向後，. B. 就稱為由 A 到 B 的有向線段，. A. 例： 平行四邊形 ABCD 中，以 A 為始點，. 可決定幾個不同的向量 ?. 解：. To be continued  注意. 注意：. (1) 兩相異點可決定一線段，但可決定兩個有向線段。.

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大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。

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E N D

Presentation Transcript

  1. A D B C 一、有向線段與向量： 1. 量與方向： 事半功倍。 事倍功半 ； 順風騎單車 逆風騎單車 大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。 2. 有向線段與向量： 當給定由 A到 B的方向後， B 就稱為由 A到 B的有向線段， A 例：平行四邊形 ABCD 中，以 A 為始點， 可決定幾個不同的向量? 解： To be continued  注意

  2. 注意： (1)兩相異點可決定一線段，但可決定兩個有向線段。 (2)每個向量有確定的長度與方向，可以在任意位置上， 只要確定起點與終點，則向量的位置就確定了。 3. 向量的長度： 4. 相等向量：所有方向相同且長度相等的向量皆為相等向量。 5. 零向量：終點與始點為同一點之有向線段所表示的向量 稱為零向量， 其方向可視為任意方向。 6. 反向量：二個長度相同但方向相反的向量。 本段結束

  3. A D B C     D B A C 7.範例：如右圖，平行四邊形 ABCD 的四個頂點， 可決定幾個不同的向量? 解： 及其反向量，共 8 個。 Let’s do an exercise ! 馬上練習：如右圖，同一直線上的相異 A、B、C、D 四點， 可決定幾個不同的向量? Ans：12 個。 解： 及其反向量，共 12 個。 ＃

  4. 二、向量的加減法： 1. 向量的加法： (1) 三角形法 (2) 平行四邊形法 (3) 多邊形法 E D B C C C A B O A A B 本段結束

  5. 2. 向量加法性質： D C A B 3. 向量的減法： P R O Q 本段結束

  6. D E C F O A B 4. 向量的分解： 5.範例：如右圖，正六邊形ABCDEF，試完成下列的空格。 解： ＃

  7. A D B C 6.範例： 解： ＃

  8. 三、向量的係數積： 1. 向量的係數積： 注意： 本段結束

  9. 2.範例： B C 解： D F A E ＃ 3.範例：在 ABC 中， E 是直線 AC 上的點， B 解： D A E Let’s do an exercise ! C

  10. 馬上練習： A Ans： D 解： C B E ＃

  11. 所張成之平行四邊形的面積為 ， 4.範例： 所張的平行四邊形面積為 k， B 求 k 之值。 C 解： A O 所張平行四邊形 與平行四邊形 OACB E 同底等高。 D 所以 k =1。 Let’s do an exercise !

  12. 所張成之平行四邊形的面積為 ， 馬上練習： 所張的平行四邊形面積為 k， B C 求 k 之值。 Ans： ＃ A O E D

  13. 5. 向量的平行： (2) 零向量與任意向量皆平行。 證明： 故 x = 0。 同理 y = 0。 To be continued  (4)

  14. 證明： 本段結束

  15. 6. 向量的線性組合： 範例：右圖中每格均為相同大小的平行四邊形， 解： B C D Q A P Let’s do an exercise !

  16. 馬上練習： Ans： C Q 解： D B A P ＃

  17. 7.範例： A 5 解： P 2 B C ＃

  18. 8.三角形兩邊中點連線： A 證明： M N B C ＃

  19. 四、向量的分點公式 1. 設 O、A、B 三點不共線， O 證明： A B m n P 本段結束

  20. 2.範例：已知 O、A、B 三點不共線，點 P 在直線 AB 上， O 解：(1) P為內分點： B A O 2 5 P (2) P為外分點A為內分點： B P 2 3 A Let’s do an exercise ! 註：設 O 是一定點，則 P 在直線 AB 上 特別地，P為內分點時，x、y均為正數。 P為外分點時，x、y兩者之中必有一負數。

  21. 馬上練習：已知 O、A、B 三點不共線，點 P 在直線 AB 上， O 解：P為內分點： B A 2 3 P P為外分點B為內分點： O A P 1 2 B ＃

  22. 3.範例：平行四邊形 ABCD 中， D 解： C k N 3k M A B Let’s do an exercise !

  23. 馬上練習： O Ans： C 解： A B k 2k P ＃

  24. 4.範例：設 ABCD 為平行四邊形， A 解： D 3k k Q C B P (2) 由 ADQ ~ PBQ， Let’s do an exercise !

  25. 五、三角形的重心與內心 1.重心：設 G 為 ABC 的重心，則： 證明： A F E  G B C D To be continued  (2)

  26. O  A 本段結束  G B C

  27. 2.範例： 且 G 為 DEF 的重心。 A F 解：因為 G為 DEF的重心 E  G B C D ＃

  28. 3. 內角平分線： 證明： (角平分線任一點到角的兩邊等距離) A o o P h Q h C B D To be continued  範 例

  29. 範例： A 解： 4 6 B C 2 3 D 本段結束

  30. 4. 外角平分線：ABC 中，若 A 之外角平分線交直線 BC 於 E， A o o 證明： P o o B C E To be continued  範 例 範例：ABC中，若A 之外角平分線交直線 BC 於 E， A   解： 10 5 B C 7 E 7 本段結束

  31. 5. 內心：設 I為 ABC 的內心， A 解： 5 7 I B C 7k D 5k 本段結束

  32. 6.範例：設 P 是 ABC 內部一點， 已知 BPC、CPA、APB之面積比為 5：6：7， A 7x 6x 解： P 5x C B m n 6k D 7k To be continued  (3)

  33. A 7x 6x P 5x C B D 6k 7k A P B C ＃ 6k 7k D

  34. A P C B D 7.範例：設 P 為 ABC 內一點， A (1)求PAB：PBC：PCA。 A P C B D C B 解：  P 為 ABC的重心且 PAB = PBC = PCA。 = 11：43 = 1：12。 To be continued  (1)PAB：PBC：PCA

  35. PAB：PAB = 11：43 = 1：12。 同理，PBC：PBC = 11：32 = 1：6。 A PCA：PCA = 11：24 = 1：8。 故 PAB：PBC：PCA A P C B D C B A P 3x 2x 4x B C 2k 3k D To be continued  (3)

  36. PAB：PBC：PCA = 2 : 4 : 3 A 2x P 3x 4x B C 2k 3k D A 2x P 3x ＃ 4x B C 注意：  PBC：PCA：PAB = 4：3：2。

  37. 六、三點共線的性質： 1. 三點共線的線性組合： 例：如圖，每個小平行四邊形皆全等， P、Q、R 三點皆在直 AB 上，則 B P Q A O R 本段結束

  38. 2. 三點共線的充要條件：設 O 是一定點，則 P 在直線 AB 上 O O B A B P 2 2 3 5 P A To be continued  證明

  39. 證明： ，此時 x=1t，y=t，x+y = (1t)+t = 1。 故點 P 在直線 AB 上。 本段結束 註：特別地，P為內分點時，x、y 均為正數。 P為外分點時，x、y 兩者之中必有一負數。

  40. 3.範例：設 O, A, B 三點不共線，下列選項中的 P 點 何者必在直線 AB 上?  P 在直線 AB 上。 解： P 為內分點。 不共線。 P 為外分點。 不共線。 所以正確選項為 (1) (2) (4)。 Let’s do an exercise !

  41. 馬上練習：設 O, A, B 三點不共線，下列選項中的 P 點 何者必在直線 AB 上? Ans：(1)(2)(3)(4)(5)。 解：(1) P 在直線 AB 上。 (2) P 為內分點。 (3) P 為內分點。 (4) P 為內分點。 (5) P 為內分點。 ＃

  42. 4.範例(一次共線)： O 解： E D A B 因為 E、D、B 三點共線 Let’s do an exercise !

  43. 馬上練習： O Ans：1：1。 C 解： D B A 因為 A、D、C 三點共線 ＃

  44. 5.範例： O 解：  Q B A P 因為 A、P、B 三點共線 ＃

  45. 6.範例(二次共線)： A 解： D E P B C ＃

  46. 七、向量的坐標表示法： 1. 向量的坐標： y C F B D A P x O E Q 注意： To be continued  說 明

  47. y Q(x2, y2) 說明： P(x1, y1) x O 注意： 本段結束

  48. 2. 向量的長度： y 例如： x O 注意： 本段結束

  49. 3. 向量的相等： 範例：平行四邊形 ABCD 中，已知 A(3, 7)，B(2, 0)， C(4, 3)，求 D 點的坐標。 D(x, y) A(3, 7) 解： 則 ( x3 , y(7) ) = (4(2) , 30 ) x  3 = 4 + 2， C(4, 3) B(2, 0) y + 7 = 3 故 D(1, 4)。 x = 1，y = 4。 本段結束

  50. 4. 向量的坐標運算： 證明： 證明： 本段結束

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