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纽结与链环

纽结与链环. 下边两个结是否相同. “ 打结”如何用数学语言精确化 是否相互形变 ?. 纽结和链环的数学定义. 若干圆周到三维空间的连续单值映射 , 称链为环 一个分支的链环称为纽结 两个映射像能通过空间中连续形变彼此转变 , 则称两者等价 ( 视为同一 ). 纽结和链环的数学定义. 存在一个映射 , h: R 3 ×[0,1]→ R 3 使 h(x,t) 对一切 t 都是同胚 , h(x,0) =x h(x,1) 将链环映到链环. 链环的例子. 一个问题. 保持绳端不动 , 能否将绳子绕上成右图. 纽结链环的表述法. 用投影图.

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纽结与链环

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Presentation Transcript

  1. 纽结与链环

  2. 下边两个结是否相同 • “打结”如何用数学语言精确化 • 是否相互形变?

  3. 纽结和链环的数学定义 • 若干圆周到三维空间的连续单值映射,称链为环 • 一个分支的链环称为纽结 • 两个映射像能通过空间中连续形变彼此转变, 则称两者等价(视为同一).

  4. 纽结和链环的数学定义 • 存在一个映射, h: R3×[0,1]→ R3使 • h(x,t)对一切 t 都是同胚, • h(x,0) =x • h(x,1)将链环映到链环

  5. 链环的例子

  6. 一个问题 • 保持绳端不动,能否将绳子绕上成右图

  7. 纽结链环的表述法 • 用投影图

  8. 同一纽结有不同的投影图 • 三叶结 • 8字结

  9. 不同的纽结 • 上一组: • 惯用右/左手打出的结 • 下一组: • 看起来相信似但实为不同的两个结: 外科结, 骷髅结

  10. 相同的纽结

  11. 纽结图的产生 • Kelvin 试图解释为什么会有多种化学元素，一个想法原子是“以太”涡，氢为 • 1899年制出了纽结表，但只是凭经验

  12. 七十五年才发现的错误

  13. 从投影图看什么是一样的纽结 • 两个图表示同一个纽结或链环同痕当且仅当两通过如图所示变换相互转换 • (Reidemeister)

  14. 如何判定纽结(链环)是否同痕 • 同痕的纽结,它在补空间有相同的基本群, 称为纽结群 • 显然的缺点: 太复杂, (不可解问题)

  15. 三色性 • 对投影图用三种颜色涂色 • 规则: 每个弧段涂一种颜色, 在交叉点附近只能有三种颜色或一种颜色. 所有弧段颜色不能全相同.

  16. 三色性对R1是不变的

  17. 三色性对R2是不变的

  18. 三色性对R3是不变的

  19. 8字结无三色性 • 无法着色

  20. 结论 • 一个链环不同投影图的三色性是相同的 • 三色性是链环的不变量 • 三叶结不同于8字结 • 外科结也不同于三叶结

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