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MATLAB 程序设计基础

MATLAB 程序设计基础. MATLAB 的数值计算. Matlab 的数据类型. 变量 变量不需要事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据所赋予变量的值或对变量的操作来确定变量的类型；赋值过程中，如果变量已存在，则用新值代替旧值，以新的类型代替旧的类型。 变量的命名规则： 变量名区分大小写； 变量名长度不超过 31 位，第 31 位之后的字符被忽略； 变量名以字母开头，变量名中可以包含字母、数字、下划线，但不能使用标点。 变量一般为局部变量，即仅在其调用的 M 文件内部有效；若要定义全局变量，须在变量前加关键字 global 。. 常量

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  1. MATLAB程序设计基础 MATLAB的数值计算

  2. Matlab的数据类型 • 变量 变量不需要事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据所赋予变量的值或对变量的操作来确定变量的类型；赋值过程中，如果变量已存在，则用新值代替旧值，以新的类型代替旧的类型。 变量的命名规则： • 变量名区分大小写； • 变量名长度不超过31位，第31位之后的字符被忽略； • 变量名以字母开头，变量名中可以包含字母、数字、下划线，但不能使用标点。 变量一般为局部变量，即仅在其调用的M文件内部有效；若要定义全局变量，须在变量前加关键字global。

  3. 常量 matlab中预定义的一些特殊的量。 i,j 虚数单位 Realmin 最小的正浮点数， pi 圆周率 Realmax 最大的浮点数， eps 浮点运算的相对精度 Inf 无穷大 NaN not a number ，不定值 例如： ?pi ans = 3.1416

  4. ?1/0 Warning: Divide by zero. ans = Inf ?0/0 Warning: Divide by zero. ans = NaN

  5. 定义变量时应避免与常量名相同，如果改变了某个常量的值，可以用clear命令来恢复。定义变量时应避免与常量名相同，如果改变了某个常量的值，可以用clear命令来恢复。 ?pi=1 pi = 1 ?clear pi ?pi ans = 3.1416

  6. 数字变量 • 数字变量的运算 ?258*369 ans = 95202 ?x=258*369 x = 95202 ?123^3 ans = 1860867 ?sqrt(ans) ans = 1.3641e+003

  7. 数字的输入输出格式 缺省为实数保留小数点后4位浮点数表示。 其输入格式与C语言一致： 如：9 -73 0.1999 1.475e6 输出格式由format命令控制，只是影响屏幕显示效果，不影响内部存储和计算。 ?format long;pi ans = 3.14159265358979 ?format long e;pi ans = 3.141592653589793e+000 ?format long g;pi ans = 3.14159265358979

  8. 字符串 • 1、字符串的约定 • 字符串用单引号输入或赋值； • 字符串的每个字符都是都是字符数组的一个元素； • 字符串和字符数组基本上等价。 ?s='symbolic' s = symbolic ?size(s) ans = 1 8 ?s(3) ans = m

  9. 字符串的转换 double 字符串转换为数值代码 num2str 数字转换为字符串 int2str 整数转换为字符串 mat2str 矩阵转换为字符串 str2num 转换字符串为数字 ?double(s) ans = 49 50 51 50 51 52

  10. 字符串操作 strcat strcmp strvcat strncmp findstr upper lower blanks deblank …… • 执行字符串 ?t='1/(a*b-1)';a=2;b=3;c=eval(t) c = 0.2000

  11. 结构型变量 由函数struct定义，以指针操作符“.”连接结构型变量名与属性名。 结构型变量名＝struct（元素名1，元素值1，元素名2，元素值2，…） ?c=struct('c1',1,'c2',[1 2 3 4],'c3','abcd') c = c1: 1 c2: [1 2 3 4] c3: 'abcd' ?c.c2 ans = 1 2 3 4 ?c.c3 ans = abcd

  12. 单元型变量 单元型变量为任意类型的多维数组，其定义需用大括号，元素间用逗号隔开。 ?a=[1,2;3,4] a = 1 2 3 4 ?b={1:4,a,'abcd'} b = [1x4 double] [2x2 double] 'abcd' ?cellplot(b)

  13. 单元型变量元素的引用采用大括号为下标标识，用小括号只显示该元素的压缩形式。单元型变量元素的引用采用大括号为下标标识，用小括号只显示该元素的压缩形式。 ?b{2} ans = 1 2 3 4 ?b(2) ans = [2x2 double]

  14. 向量 向量元素用“[]”括起来，元素间用空格、逗号或分号分隔； 注意：空格和逗号分隔成行向量，分号分割成列向量。 • 冒号表达式生成向量 基本格式：x＝x1:step:x2 x＝x1:x2 ?a=1:2:12 a = 1 3 5 7 9 11 ?a=12:-2:1 a = 12 10 8 6 4 2 ?a=1:6 a = 1 2 3 4 5 6

  15. 线性等分向量生成 y=linspace(x1,x2) 生成100维行向量 y=linspace(x1,x2,n) 生成n维行向量 ?a=linspace(1,100,6) a = 1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000

  16. 对数等分向量生成 y=logspace(x1,x2) 生成50维对数等分向量， y(1)=10^x1 y(50)=10^x2 y=logspace(x1,x2,n) 生成n维对数等分向量 y(1)=10^x1 y(n)=10^x2 ?a=logspace(0,5,6) a = 1 10 100 1000 10000 100000

  17. 向量的基本运算 • 与数运算 a = 1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000 ?a-1 ans = 0 19.8000 39.6000 59.4000 79.2000 99.0000 ?a*2 ans = 2.0000 41.6000 81.2000 120.8000 160.4000 200.0000

  18. 点积计算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。 dot(a,b) a,b必须同维。 ?a=[1 2 3]; ?b=[3,4,5]; ?dot(a,b) ans = 26 ?sum(a.*b) ans = 26

  19. 叉积 表示过两相交向量的交点的垂直于两向量所在平面的向量。 cross（a，b） a，b必须为三维向量。 • 混合积 ?c=cross(a,b) c = -2 4 -2 ?dot(a,cross(b,c)) ans = 24

  20. 矩阵 大型矩阵通借助M文件来输入。 ?a=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  21. x=rand(1,5) %产生的均布随机数组 x = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3) %寻访数组x的第三个元素。 ans = 0.6068 x([1 2 5]) %寻访数组x的第一、二、五个元素组成的子数组。 ans = 0.9501 0.2311 0.8913 x(1:3) %寻访前三个元素组成的子数组 ans = 0.9501 0.2311 0.6068 x(3:end) %寻访除前2个元素外的全部其他元素。end是最后一 ％个元素的下标。 ans = 0.6068 0.4860 0.8913

  22. 常用的特殊矩阵 单位矩阵：eye(m,n); eye(m) 零 矩 阵：zeros(m,n); zeros(m) 一 矩 阵：ones(m,n); ones(m) 对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an] A=diag(V) 随机矩阵：rand(m,n)产生一个m×n的均匀分别的随机 矩阵

  23. 》eye(2,3) ans= 1 0 0 0 1 0 》zeros(2,3) ans= 0 0 0 0 0 0 》ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 》V=[5 7 2]; A=diag(V) A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2 》eye(2) ans= 1 0 0 1 》zeros(2) ans= 0 0 0 0 》ones(2) ans= 1 1 1 1 如果已知A为方阵，则V=diag(A)可以提取A的对角元素构成向量V。

  24. 其他特殊矩阵 compan 友矩阵函数 magic 魔方矩阵 hankel Hankel矩阵 rosser 对称特征值测试矩阵 hilb Hilbert矩阵 pascal Pascal矩阵 invhilb 反Hilbert矩阵 vander 范德蒙矩阵 ……

  25. 矩阵的基本运算 • 加减运算 要求两矩阵必须同阶。 ?a=[1 2 3;2 3 4; 3 4 5]; ?b=[1 1 1;2 2 2;3 3 3]; ?c=a+b c = 2 3 4 4 5 6 6 7 8

  26. 乘法 要求a为i×j阶，b为j×k阶时，ab才能相乘。 ?e=[b,[5 5 5]'] e = 1 1 1 5 2 2 2 5 3 3 3 5 ?f=a*e f = 14 14 14 30 20 20 20 45 26 26 26 60

  27. 除法 左除“\”: 相当于Ax=B的解，x=A-1B。 右除“/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 A-1B=(B’A’-1)’。 通常，右除稍快一些，而左除可以避免奇异性。对于Ax＝B，其中A为（n×m）阶矩阵： • n=m且非奇异时，方程为恰定方程； • n>m 方程为超定方程； • n<m 方程为欠定方程。

  28. ?A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0;1 3 5]; ?B=[1 3 5;2 4 6]; ?A/B ans = 0 0.5000 -3.0000 3.5000 -12.0000 10.2500 1.0000 0.0000 ?(B'\A')' ans = 0 0.5000 -3.0000 3.5000 -12.0000 10.2500 1.0000 0.0000

  29. 矩阵与常数的运算 常数与此矩阵的各元素之间进行运算。 注意：进行数除时，常数通常只能做除数。 • 矩阵的逆运算 函数 inv ?A=[2 1 -3 -1;3 1 0 7;-1 2 4 -2;1 0 -1 5]; ?inv(A) ans = -0.0471 0.5882 -0.2706 -0.9412 0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647 -0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706 -0.0353 -0.0588 0.0471 0.2941

  30. 矩阵的行列式运算 函数 det ?A=[2 1 -3 -1;3 1 0 7;-1 2 4 -2;1 0 -1 5]; ?a1=det(A) a1 = -85 ?a2=det(inv(A)) a2 = -0.0118 ?a1*a2 ans = 1

  31. 矩阵的幂运算 与数字的幂运算形式相同，用“^”算符。 • 矩阵的指数运算 常用函数 expm expm1 expm2 expm3 • 矩阵的对数运算 函数 logm • 矩阵的开方运算 函数 sqrtm

  32. ?b=magic(3) b = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 ?sqrtm(b) ans = 2.7065 + 0.0601i 0.0185 + 0.5347i 1.1480 - 0.5948i 0.4703 + 0.0829i 2.0288 + 0.7378i 1.3739 - 0.8207i 0.6962 - 0.1430i 1.8257 - 1.2725i 1.3511 + 1.4155i ?b^0.5 ans = 2.7065 + 0.0601i 0.0185 + 0.5347i 1.1480 - 0.5948i 0.4703 + 0.0829i 2.0288 + 0.7378i 1.3739 - 0.8207i 0.6962 - 0.1430i 1.8257 - 1.2725i 1.3511 + 1.4155i

  33. 矩阵的基本函数运算 • 特征值函数 函数 [x,y]=eig(A) 可以给出特征值和特征向量的值 x为特征向量矩阵，y为特征值矩阵。 ?A=[7 3 -2;3 4 -1;-2 -1 3]; ?[x,y]=eig(A) x = 0.5774 0.0988 -0.8105 -0.5774 -0.6525 -0.4908 0.5774 -0.7513 0.3197 y = 2.0000 0 0 0 2.3944 0 0 0 9.6056

  34. 奇异值函数 函数 svd svds • 矩阵翻转 函数 fliplr flipud rot90 a = 7 3 -2 3 4 -1 -2 -1 3 ?fliplr(a) ans = -2 3 7 -1 4 3 3 -1 -2 ?flipud(a) ans = -2 -1 3 3 4 -1 7 3 -2 ?rot90(a) ans = -2 -1 3 3 4 -1 7 3 -2

  35. 范数函数 函数 norm（X，P） P＝1 1范数 P＝2 2范数 P＝inf 无穷范数 P＝fro F范数 norm（X）＝norm（X，2） • 秩函数 函数 rank e = 1 1 1 5 2 2 2 2 3 3 3 5 ?rank(e) ans = 2

  36. 迹函数 矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。 函数 trace • 正交空间函数 函数 orth 用来求矩阵的一组正交基。 • 条件数函数 判断矩阵的“病态”程度。 函数 cond 计算矩阵的条件数的值 condest 计算矩阵的1范数条件数的估计值 rcond 计算矩阵的条件数的倒数值 • 伪逆函数 函数 pinv 求解“病态”问题时，避免产生伪解。

  37. ?a=magic(4) a = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 ?b=a*[1 1 1 1]'; ?inv(a)*b Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.567374e-017. ans = 0 8 0 0 ?pinv(a)*b ans = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

  38. 通用函数形式 通用函数调用格式 funm（A，‘funname’） funname包括sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan exp log log2 pow2 sqrt abs …

  39. ?funm(a,'sqrt') ans = 3.7584 - 0.2071i -0.2271 + 0.4886i 0.3887 + 0.7700i 1.9110 - 1.0514i 0.2745 - 0.0130i 2.3243 + 0.0306i 2.0076 + 0.0483i 1.2246 - 0.0659i 1.3918 - 0.2331i 1.5060 + 0.5498i 1.4884 + 0.8666i 1.4447 - 1.1833i 0.4063 + 0.4533i 2.2277 - 1.0691i 1.9463 - 1.6848i 1.2506 + 2.3006i ?sqrtm(a) ans = 3.7584 - 0.2071i -0.2271 + 0.4886i 0.3887 + 0.7700i 1.9110 - 1.0514i 0.2745 - 0.0130i 2.3243 + 0.0306i 2.0076 + 0.0483i 1.2246 - 0.0659i 1.3918 - 0.2331i 1.5060 + 0.5498i 1.4884 + 0.8666i 1.4447 - 1.1833i 0.4063 + 0.4533i 2.2277 - 1.0691i 1.9463 - 1.6848i 1.2506 + 2.3006i ?sqrt(a) ans = 4.0000 1.4142 1.7321 3.6056 2.2361 3.3166 3.1623 2.8284 3.0000 2.6458 2.4495 3.4641 2.0000 3.7417 3.8730 1.0000

  40. 矩阵分解函数 • 特征值分解 • [V,D]=eig(X) 矩阵的特征值分解：X×V＝V×D • [V,D]=eig(X,’nobalance’) 关闭平衡算法的求解方法（平衡算法对于某些问题可以得到更高的精度）。 • [V,D]=eig(A,B) 广义特征值分解：A×V＝B×V×D ?a=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25]; ?[v,d]=eig(a) v = 0.3162 0.4041 0.1391 -0.9487 -0.9091 -0.9740 0.0000 -0.1010 0.1789 d = 1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 3.0000

  41. ?b=[2 10 2;10 5 -8;2 -8 11]; ?[v,d]=eig(a,b) v = 0.8211 -0.3138 -0.0191 -0.3452 0.9495 -0.9441 -0.4546 -0.0044 0.3290 d = 12.9030 0 0 0 -0.0045 0 0 0 0.0706

  42. 奇异值分解 [U,S,V]=svd(X) 其中X＝U×S×V’ ?a=[1;1]; ?[U,S,V]=svd(a) U = 0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 S = 1.4142 0 V = 1

  43. LU分解 [L,U]=lu(A) 又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即A＝L×U ?a=[1 2 3;2 4 1;4 6 7]; ?[l,u]=lu(a) l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1（其对角线元素为1）的乘积。

  44. ?[l,u,p]=lu(a) l = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ?inv(p)*l*u ans = 1 2 3 2 4 1 4 6 7 p为置换矩阵，此时满足A＝P-1LU

  45. Chol分解 如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个非奇异下三角实矩阵L，使得A＝LLT,当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。 ?a=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]; ?chol(a) ans = 2.0000 -0.5000 0.5000 0 2.0000 1.5000 0 0 1.0000

  46. 正交分解 A＝QR ?a=[1 1 1;2 -1 -1;2 -4 5]; ?[q,r]=qr(a) q = -0.3333 -0.6667 -0.6667 -0.6667 -0.3333 0.6667 -0.6667 0.6667 -0.3333 r = -3 3 -3 0 -3 3 0 0 -3 将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。

  47. 矩阵的特殊操作 • 变维 • reshape(X,M,N) X变为M×N维 • reshape(X,M,N,P,…) X变为M×N×P×… 或reshape(X,[M N P …]) • “：” 操作符 ?c=zeros(4,3); ?c(:)=a(:) c = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 ?a=[1:12]; ?b=reshape(a,2,6) b = 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12

  48. 矩阵抽取 • 对角元素抽取 diag（X,k）抽取X的第k条对角线元素，k=0为主对角线，上对角线为正值，下对角线为负值。 diag（X） 抽取主对角线元素 ?a=pascal(4) a = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 ?v=diag(a) v = 1 2 6 20 ?v=diag(a,2) v = 1 4

  49. 三角阵的抽取 tril(X) 提取X的主下三角部分 tril(X,k) 提取X的第k条对角线下面的元素 triu(X) 提取X的主上三角部分 triu(X,k) 提取X的第k条对角线上面的元素 ?al=tril(a,-1) al = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0 ?au=triu(a,-1) au = 1 1 1 1 1 2 3 4 0 3 6 10 0 0 10 20

  50. 稀疏矩阵 用元素的行列号和元素值来存储一个元素。 ?a=speye(100) a = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 … … (99,99) 1 (100,100) 1 ?b=eye(100); ?whos a b Name Size Bytes Class a 100x100 1604 sparse array b 100x100 80000 double array Grand total is 10100 elements using 81604 bytes

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