第 13 讲 Lusin 定理

1. 第13讲 Lusin定理 • 目 的：通过本讲的学习，使学生了解Lusin定理的科学意义。懂得如何从熟悉的理论或现象中寻找新的东西，发现一般规律。学会从分析中寻求所要的证明。 • 重点与难点：从熟悉的理论出发发现Lusin定理；寻求Lusin定理的证明。

2. 第13讲 Lusin定理 • 基本内容： •  一．一般集合上的连续函数 • （1）回忆闭区间上连续函数的性质。 • 最大最小值原理、介值定理、Weirstrass定理 • 回忆前一章，对任意可测集E及任意 • 可以找到闭集 ，使

3. 第13讲 Lusin定理 • （见第二章§2定理3的证明）。因此，如果函数序列 在E上几乎处处收敛到 • ,且 几乎处处有限，则我们可以先利用Egoroff定理，找一个集合 • 使 在 上一致收敛到 ，然而再找闭集 ，使 • 限制在 上当然

4. 第13讲 Lusin定理 • 也是一致收敛到 的，并且 • 这说明，Egoroff定理（ii）中的 可以取成闭集。假如我们已经定义了闭集上的连续函数概念，便可以将数学分析中有关闭区间上的边续函数及其序列的许多结论搬到这里来。例如，闭集上一致收敛的连续函数序列的极限应该也是连

5. 第13讲 Lusin定理 • 续的。为此，我们先来定义一般可测集上连续函数的概念。 • （2）一般可测集上连续函数的定义。 • 问题1：如何修改区间上连续函数的定义，使其适合一般可测集？

6. 第13讲 Lusin定理 • 定义1 设E是 中的点集， 是定义在E上的函数， ，如果对于任意 ，存在 ，使得当 时，有 • 则称 在点 相对于E连接。 • 如果对任意 点相对于E连续，则称在E上处处连续，或说是E上的连续

7. 第13讲 Lusin定理 • 函数。 • 这里应该提醒注意，此处所说的连续性是与某个特定集合E 有关的，相对于不同的集合，连续性就不一样了。 • 例如[0，1]上的函数。

8. 第13讲 Lusin定理 • 处处不连续，这里的连续性是相对于集合[0，1]而言的。例如取E=[0，1]-Q，将D(x)看作E上的函数，则D(x)恒等于0，它当然是E上的连续函数。这就是说，同一个函数，将其看作定义在某个集E上的函数可能是连续的，若将其看作定义在另一个集E上的函数，则可能是不连续的。此外，根据定义1，如果 是E的孤立点，

9. 第13讲 Lusin定理 • 则 一定在相对于E连续。 • 正是由于函数的连续性能是一个相对概念，所以几乎处处连续就可能有多种含义。如果 是E上的函数，称 在E上几乎处处连续是什么意思呢？按几乎处处的定义， 在去掉中一个零测集后是连续的，那么这个连续性是相对于哪个集合而言的呢？显然，相对于E而

10. 第13讲 Lusin定理 • 言和相对于E去掉一个零测集后的集合而言，连续性是不一样的。仍以上述函数 • 为例。记是[0,1]去掉一个零测集后得到的集合。如果将 • 看作上的函数，则 在E上处处连续；如果将 仍看作[0,1]上的函数，则对任意 ， 在点 不连续。所以，

11. 第13讲 Lusin定理 • 如果我们要说函数的几乎处处连续性，一定要指明相对于哪能个集合而言。 • （3）连续函数序列的极限 • 问题2：回忆区间上连续函数序列的一致收敛极限的性质，这一性质在一般可测集上是否仍成立？

12. 第13讲 Lusin定理 • 引理1 假设 是闭集， 是F上的连续函数序列，且一致收敛到 则 在F上连续。 • 证明：对任意 ，由下列不等式

13. 第13讲 Lusin定理 • 以及 的连续性与一致收敛性易得证明。 • 二．Lusin定理（第一形式） • （1）定理的建立 • 问题3：Weirstrass定理及Fourier级数的本质是什么？ • 问题4：一般可测集上哪些函数可以被认为是比较简单的函数？

14. 第13讲 Lusin定理 • 问题5：回忆Egoroff定理，从中可以发现什么？ • 问题6：何种简单函数是连续函数？对于一般的简单函数如何用连续函数逼近？按何种方式逼近？

15. 第13讲 Lusin定理 • 问题7：从以上分析，可以得到什么样的结论？ • 定义了一般集上的连续函数概念，自然希望弄清楚连续函数与可测函数是什么关系。从连续函数的定义不难看出，可测集上的任一连续函数都可以用简单

16. 第13讲 Lusin定理 • 函数来逼近，因而连续函数一定是可测函数，反之则不然。但是从前面的分析，我们可以粗略地发现，对任意可测集上的可测函数 ，类似定理1的证明可作简单函数序列 ，使 处处收敛到 ，由Egoroff定理，对任意 ，可以找到 ，使 • 在 上一致收敛到

17. 第13讲 Lusin定理 • 此处 可以取成闭集，由引理1，只要能证明 在一个测度充分接近的 闭子集 • 上连续，则 的一致收敛性便可知 • 在 上连续，这正是鲁津（Lusin）定理证明的基本思想。

18. 第13讲 Lusin定理 • 定理2（Lusin）设E是有限测度集， 是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意 • ，存在闭集 ，使 • 是上的连续函数。 • 证明：由于可测函数是简单函数的极限，

19. 第13讲 Lusin定理 • 所以先考察简单函数。 • 设 ，任意 ， （任意 ）， 。对每个 ，可以找到闭集 ，使 ，令 • ，则 仍是闭集，且

20. 第13讲 Lusin定理 • 往证 是 上的连续函数。事实上，设 ，则存在 ，使得 ，由于 是互不相交的闭集，所以存在 • ，使得 （任意 ），取 ，则当 时，必有 • ，从而 在 上是常数，因此 在每一点 连续。

21. 第13讲 Lusin定理 • 若 是可测函数，不妨设 在E上处处有限，否则可去掉一个零测集，则存在简单函数序列 ，使 • ，由Egoroff定理知对任意 ，存在 ，使 • 且 在 上一致收敛到 。由上面的证明，对任意 及

22. 第13讲 Lusin定理 • 每个n，存在闭集 ，使得 • ，且 是 上的连续函数。记 ，则 是闭集，且 • 在 上显然也是一致收敛到 的，由 在 上的连续性知 在 上连续，显然

23. 第13讲 Lusin定理 • 定理证毕。

24. 第13讲 Lusin定理 • 问题7：从以上分析，可以得到什么样的结论？ • 1 证明闭集上的简单函数为连续函数。 • 2 将Egoroff定理中的Eδ取为闭集。

25. 第13讲 Lusin定理 • 三．Lusin定理（第二形式） • （1）通常意义下的连续函数与可测集上连续函数的比较 • 问题9： 第一形式的Lusin定理有何缺陷？

26. 第13讲 Lusin定理 • 问题10：回忆闭集的构造，有界闭集上的连续函数如何扩张到全空间？ • 问题11：无界闭集上的连续函数如何扩张？

27. 第13讲 Lusin定理 • 值得注意的是，定理1指的是 限制E 的一个闭子集上可以是连续的，然而我们对一般闭集上的连续函数远不象对区间或区域上的函数那样直观易理解，所以我们总是希望用通常意义下的连续函数来描述可测函数。这就是说，对 E 上任意可测函数，我们能不能找到 上的连续函数，使得它们在E的一个测度

28. 第13讲 Lusin定理 • 充分接近mE的闭子集上相等？由定理1，这等价于说，闭集 上的连续函数可不可以连续地延拓到 上？下面我们对情形 来讨论这个问题。 • （2）Lusin定理（第二形式）的叙述 • *定理3 设E是 中的有界可测集， 是 • E上几乎处处有限的可测函数，则对

29. 第13讲 Lusin定理 • 任意 ，存在闭集 及 上连续函数 ，使 • ，即任意 ，有 • 此外，若 （任意 ）,则还可 • 以要求 ，（任意 ）。 • （3）Lusin定理（第二形式）的证明

30. 第13讲 Lusin定理 • 证明：由定理2，对任意 ，存在闭集 ，使 限制在上 连续，且 • ，下面的问题是如何将 连续延拓到 上。记 • 则 ，由闭集的构造知是从 • 中挖去至多可数个互不相交的开区

31. 第13讲 Lusin定理 • 间后剩下的集合，记挖去的开区间为 • ，则 • 对任意 ，由于 ，所以 • ， 有定义，我们首先作 上的函数 如下

32. 第13讲 Lusin定理 • 显然对任意 及任意 ， 在点连续，而当 时，对任意 ，存在 使得只要 ，就有

33. 第13讲 Lusin定理 • 若 是 的孤立点，则 是某两个区间 • 与 的公共端点，即 ，或 ，无论何种情形， 在 的左、右附近均是线性函数，它当然是连续的。 • 若 不是 的孤立点，则 • 含 中无穷多个点，因此 不是任何两个开区间 ， 的公共端点。若

34. 第13讲 Lusin定理 • 在某个区间 中，则 ，如果 ，则 ，故 在 点右连续，若 ，即 ，则 • 。于是对任意开区间 ，或者 ，或者 ，而当 • 时，由 在 上是线性函数及

35. 第13讲 Lusin定理 • 立知 • （任意 ），进而 • 任意 ，有 。如果 ，则对任意 ，或者 • ,或者 • 类似可证 （任

36. 第13讲 Lusin定理 • 总之 在 点是右连续的。同理可证 在 点是左连续。于是 在点 连续。 • 这样，我们将 连续地延拓到了 • 上，接下来的事情就简单了，取 • ，并令

37. 第13讲 Lusin定理 • 显然 在 上连续，且 • 从而当 时，有 证毕。

38. 第13讲 Lusin定理 • 作 业：P78 16，19，20