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水平線

一、角度、方位與簡易測量. 1. 仰角與俯角：. 物體與地心的連線稱做 鉛垂線 ，. 和鉛垂線垂直的線稱為 水平線 ，. 觀測高處或低處目標時，. 視線與水平線所形成的夾角，分別稱作 仰角 和 俯角 。. 視線. 仰角. 眼睛. 水平線. 俯角. 視線. 本段結束. 2. 範例： 欲觀測某大樓高度，在地面上的 A 點測得樓頂 P 的. 仰角為 45  ，面向大樓的方向前進 100 公尺到達 B 點. 再測得樓頂 P 的仰角為 60  ，求此大樓的高度 ?. 解： 設過 P 的垂直線交地面於 H ，. P. 30 .

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Presentation Transcript

  1. 一、角度、方位與簡易測量 1.仰角與俯角： 物體與地心的連線稱做鉛垂線， 和鉛垂線垂直的線稱為水平線， 觀測高處或低處目標時， 視線與水平線所形成的夾角，分別稱作仰角和俯角。 視線 仰角 眼睛 水平線 俯角 視線 本段結束

  2. 2. 範例：欲觀測某大樓高度，在地面上的 A 點測得樓頂 P 的 仰角為 45，面向大樓的方向前進 100 公尺到達 B 點 再測得樓頂 P 的仰角為 60，求此大樓的高度? 解：設過 P 的垂直線交地面於 H， P 30 60 45 H A x 100 B Let’s do an exercise !

  3. 馬上練習.小新從家裡頂樓的窗口測得對面一棵大樹樹頂的俯角為 30， 又樹底的俯角為 60，已知大樹的高度為 14 公尺， 求小新眼睛與地面的距離是多少? 解：設小新眼睛在 A 點，樹頂為 P，樹底為 H， A 30 x 60 P B 2x 14 60 C H ＃

  4. 3. 範例：假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。 兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮 而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路 的夾角為4 5，試求丙、丁兩鎮間的距離。 D(丁) 解： 45 A(甲) 120 20 20 B(乙) C(丙) Let’s do an exercise ! 20

  5. 馬上練習. 如右圖，A、B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。 距離 A 點 50 公尺的 C 點與距離 A 點 200 公尺的 D 點， 某人在通往 A 點的筆直公路上，分別 測得 ACB  60， ADB  30， 求 A 與 B 的距離。 解：CBD CDB 30 B 30 = 5021502  250150cos 60 150  17500， 60 30 A D 50 C 150 ＃

  6. 4.方位：地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向，4.方位：地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向， 除了東南西北四個主要方位之外，若要更精確則需配合角度， 例如：A點的位於 O點的北 30東 北 A (或東 60 北)， B點的位於 O點的北 70西 30 B (或西 20 北)， 70 60 20 西 東 O 45 50 C點的位於 O點的南 40西 40 45 (或西 50 南)， C D D點的位於 O點的東 45南 南 (或東南方)， 本段結束

  7. 5. 範例：氣象局測出在 20 小時期間，颱風中心的位置 由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南15西的200公里處， 試求颱風移動的平均速度(四捨五入取整數)。 O 解：設恆春為 O，則AOB 60， 45 200 400 15 B  4002  2002  2400200cos60 A  2002 (4  1  2) 20023，  2001.732 346.4 所求平均速度 = 346.4  20  17.32  17 (km / hr)。 Let’s do an exercise !

  8. 馬上練習. 一汽艇在湖上沿直線前進，有人用儀器在岸上先測得 汽艇在正前方偏左 50，距離為 200 公尺。一分鐘後， 於原地再測，知汽艇駛到正前方偏右 70，距離為 300 公尺。 那麼此汽艇在這一分鐘內行駛了多少公尺? 解： A B 50 70 200 300 O ＃

  9. 6. 範例：如右圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處， 直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去， 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。 試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度？ 解： A(27,8) 5 B(2,3) 25 F 所求為左轉 45。 3 3 ＃ 25 13 2 C E D O(0,0)

  10. 二、三角函數值的求法 1.查表：常用的三角函數值表最左邊一行為介於 0到 45之間的 銳角度數，由上而下遞增，由最上一列查出對應這些角的函數值； 表的右一列為介於 45到 90 之間的銳角度數， 由下而上遞增，其所對應的函數值由最下一列查出。 cos sin tan 1 .0175 .9998 .0175 57.29 89 .0349 .9994 .0349 28.64 2 88 .6947 1.036 46 44 .7193 .9657 .7071 1.000 .7071 1.000 45 45 cos sin tan 1 分再分成 60 秒， 為了使測量更精密，我們將 1 度分成 60 分， 即 1 度 = 60 分 ， 1 分 = 60 秒。 以符號表示為 1 = 60' ， 1' = 60" 。 To be continued  查 表

  11. cos sin tan 1 .0175 .9998 .0175 57.29 89 .0349 .9994 .0349 28.64 2 88 .6947 1.036 46 44 .7193 .9657 .7071 1.000 .7071 1.000 45 45 cos sin tan 例如：欲查 sin44之值，得 sin440.6947。 而查 cos46之值時，亦得 cos460.6947。 發現 sin44和 cos46的值是一樣的， 因為此兩角互為餘角的關係。 欲查 sin4420'之值，得 sin4420'0.6988。 本段結束 而查 cos4540'之值時，亦得 cos4620'0.6988。

  12. 2. 範例：在與水平面成 10 的東西向山坡上，鉛直 (即與水平面垂直) 立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上時， 旗竿的影子長為 11 公尺，如右圖所示 (其中箭頭表示陽光投射的方向， 而粗黑線段表示旗竿的影子)。 請問旗竿的長度最接近以下哪一選項？ (1) 19.1 (2) 19.8 (3) 20.7 (4) 21.1 (5) 21.7 公尺。 C 解： 60 30 H 60 B 20 A 西 東 故選(3)。 10 ＃ 10

  13. 3.內插法：若要查的三角函數值無法由查表求得，3.內插法：若要查的三角函數值無法由查表求得， 可仿照對數表的線性內插法來估算。 範例：(1) 利用查表，求出 sin3540與 sin3550的值。 (2) 利用(1)的結果，以內插法求sin3543的近似值。 解：(1) 查表得 sin3540 0.5831 ， y = sinx sin35500.5854。 B (3550, 0.5854) P(3543 , y ) C(3543 , k ) A (3540, 0.5831) Let’s do an exercise ! 故所求 y = sin3543k  0.5838 。

  14. 馬上練習. 利用查表與內插法，求 cos = 0.7817 的銳角 的近似值。 解：(1) 查表得 cos3830 0.7826 ， cos3840 0.7808。 y = cosx A(3830, 0.7826) P(  , 0.7817) C(  , k ) B(3840, 0.7808) ＃

  15. 三、三角測量 1. 範例：自塔的正東方 A 點測得塔頂仰角為 30； 而在塔的東 30南 B 點測得塔頂仰角為 45。 已知 A 與 B 相距 50 公尺，求塔高。 P 解：設塔高 h， h ABH 中， 30 H A 30 h 45 50 B Let’s do an exercise !

  16. 馬上練習. 某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時， 山的方位為東偏北 60，山頂的仰角為 45， 某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點， 山的方位變成在西偏北 60，則山有多高﹖ P 解：如圖， PAH為等腰直角， 45 600 ABH為正， H 60 600 600 ＃ 45 60 60 A B 600

  17. 2. 範例：小明發現正北方仰角 60處有一架飛機， 且此架飛機正保持 等速朝東方飛行，經過 10 秒後 再測得飛機的仰角只有45，問飛機的速度每秒多少公尺﹖ A B 解： O D 1000 60 45 C ＃

  18. 3. 範例：有人於山麓測得山頂的仰角為 45， 由此山麓循 30斜坡上行 200 公尺， C 再測得山頂的仰角為 75。求山的高度。 300 100 解： B 75 D 200 100 100 15 45 30 A H ＃

  19. 馬上練習. 在坐標平面的 x 軸上有 A(2 , 0)，B(  4 , 0) 兩觀測站， 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點， 測得 BAC 及 ABC 之值後，此兩個角的正切值 y 求砲臺 D 至目標 C 的距離。 C(x, y) 解： x C較靠近B。 O A(2, 0) (x,0) B(4, 0) ＃

  20. 4. 範例：根據氣象局發布的颱風消息，颱風目前的中心位置在鵝鑾鼻 正南方 300 公里處，以每小時 50 公里的速度朝北 30西等速直線 前進，暴風半徑為 250 公里。如果此颱風的速度方向及暴風半徑 都不變，那麼鵝鑾鼻在暴風圈內前後共計多少小時﹖ 解： C 250 O 200 150 H 250 200 300 B 300 Let’s do an exercise ! A

  21. 馬上練習. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。 開始時該物位置在 P 點，一分鐘後，其位置在 Q 點， 且∠POQ＝90。再過一分鐘後，該物位置在 R 點， 且∠QOR＝30。請以最簡分數表示 tan2(∠OPQ)＝_____。 y 解：因作等速直線運動， R 過 R 作垂線交 x 軸於 H， k Q 2t k 30 P  60 x t t O H ＃

  22. 5. 範例：一船在湖面上直線前進，若船的行進方向與飯店不共線， 且起初測得湖邊飯店頂的仰角為 30， 前進 30 公尺後測得飯店頂的仰角為 45， 再前進 20 公尺後測得飯店頂的仰角為 60，求飯店的高度。 解：設飯店高 h， P A 30 h  30 H 45 B 60 20 ＃ C

  23. 6. 範例：自地面上 A、B、C 三點，分別測得空中一氣球的仰角 皆為 60。 求此氣球的高度。 解：設汽球高 h， P h 60 A 60 C 30 50 O 60 B 本 章 結 束

  24. ＃ Let’s do an exercise ! 總複習 第九章 結束 本段結束 To be continued  範 例 To be continued  注 意

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