森田健 Tata Institute of Fundamental Research

ゲージ/重力対応と高次元BHのダイナミクス 森田健 Tata Institute of Fundamental Research 高次元Black Hole研究最前線 12月26日パナソニックホール

Gauge/Gravity correspondence Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein-Yankielowicz (1999) ･N枚のDブレーンに対する超重力解とゲージ理論の対応古典的なN Dpブレーン超重力解 p+1次元 U(N) 超対称性ゲージ理論 • 強結合 • N: 無限

Gauge/Gravity correspondence Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein-Yankielowicz (1999) ･N枚のDブレーンに対する超重力解とゲージ理論の対応古典的なN Dpブレーン超重力解量子重力? p+1次元 U(N) 超対称性ゲージ理論 • 強結合 • N: 無限 N: 有限

Gauge/Gravity correspondence Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein-Yankielowicz (1999) 理論物理におけるのGauge/Gravity対応の重要性 • 量子重力の定式化の可能性 • 古典重力を用いた強結合ゲージ理論の解析 • cf. 酒井-杉本模型: 超重力の古典論 → QCDの解析AdS/CMP: 重力の古典論 → 物性系 • ゲージ理論の視点から(古典)重力の新しい側面が • 理解できるかもしれない。(今日の話)

Gauge/Gravity correspondence Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein-Yankielowicz (1999) 理論物理におけるのGauge/Gravity対応の重要性ゲージ理論で知られている近似法を用いて重力場を解析できるのではないか? • ゲージ理論の視点から(古典)重力の新しい側面が • 理解できるかもしれない。(今日の話) • ゲージ理論の低エネルギー有効理論を用いた近似 • ゲージ理論の流体近似

Gauge/Gravity correspondence Itzhaki-Maldacena-Sonnenschein-Yankielowicz (1999) • ゲージ理論の低エネルギー有効理論を用いた近似 • 2dSYMの低エネルギー有効理論を用いた • Black hole/Black string相転移のダイナミクスの解析(Basu-Mandal-T.M.-Wadia work in progress) • 不安定BS(またはBH)の崩壊過程を行列模型で記述する。 • ゲージ理論の流体近似 • AdSブラックブレーン解における重力場のゆらぎが、 • boundaryのCFT(ゲージ理論)の流体力学として記述できる。(Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008)

目次 • Introduction and Motivation -gauge/gravity correspondence- • ゲージ理論の低エネルギー有効理論を用いた重力の解析-2dSYMを用いたBS/BH相転移の解析- • ゲージ理論の流体近似を用いた重力の解析-AdS/Fluid対応- • Conclusion and Discussion

BH/BS相転移とその問題 Gregory-Laflamme (1993) ･Horowitz-Maeda 予想 (2001) もし特異点がホライズンの外側に存在しないとすると、古典的な相対性理論ではホライズンが有限の affine time でちぎれることは決してない。不安定BS ( ) cf. BHはちぎれない。無限のaffine time 注) affine time: ホライズンで正則な時間 ≠ 無限遠での時間(ゲージ理論での時間) 今回考える D particle black string の場合無限のaffine time 無限の無限遠での時間

BH/BS相転移とその問題 Gregory-Laflamme (1993) 不安定BSの崩壊過程における困難 • アインシュタイン方程式の時間発展は解くのが難しい。→ 数値的な解析 → 特異点付近で破綻 (Choptuik et al) • 特異点付近では量子論な効果が重要になる可能性がある。数値解析によるhorizonの時間発展。 (Choptuik et al) 縦軸: horizonの大きさ横軸: 方向これ以上は数値解析が破綻する。

BH/BS相転移とその問題 Gregory-Laflamme (1993) 不安定BSの崩壊過程における困難 • アインシュタイン方程式の時間発展は解くのが難しい。→ 数値的な解析 → 特異点付近で破綻 (Choptuik et al) • 特異点付近では量子論な効果が重要になる可能性がある。 • ゲージ/重力対応を用いてゲージ理論の有効理論でBH/BS相転移を解析する。 • 定性的に重力で予測されている崩壊過程を再現、解析もかなり簡単。 • 量子論的な効果に関しても1/Nの効果を通して議論できる。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 Susskind (1998), Aharony, Marsano, Minwalla, Wiseman (2004) + Papadodimas, Raamsdonk (2005) Gravity Gauge theory(2D SYM) 上の IIA超重力 1d SYM (Matrix theory) on N個のD0braneを考える。 T-dualを方向にとる。半径: 2d U(N) SYM(D1-branes) on BH/BSのsourceとなる。半径: 2d SYMを通して BH/BSを理解できるかもしれない。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 方針 Gravity Gauge theory(2D SYM) 2d U(N) SYM 上の IIA超重力低エネルギー有効理論 N個のD0braneを考える。 N個のfermionの量子力学 (～N D0braneの量子力学) 半径: BH/BSのsourceとなる。 • 熱力学的性質を再現する。 • 古典重力のダイナミクスを定性的に再現する。 • 量子重力のダイナミクスを予言する。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 2dSYMの低エネルギー有効理論の予想いくつかの状況証拠(fermionが無ければOK) 低エネルギー有効理論はUnitary matrix modelではないか? 一般に unitary matrix modelはN個のFermionにmapできる。 D0 braneの位置に対応 Fermion間のinteractionは引力

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 低エネルギー有効理論の解 N個のFermionの運動はphase spaseのdropletで記述できる。例)等速運動をしている1個のFermion 面積は1/N 例) N個のFermion total areaは1

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 低エネルギー有効理論の解 N個のFermionの運動はphase spaseのdropletで記述できる。 3つの static解が存在する。 Non-Uniform解 Gapped解 Uniform解

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 低エネルギー有効理論の解 Fermionの分布ρ(θ)がS1上のD0 braneの分布を与える。 Non-Uniform解 Gapped解 Uniform解

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 BS/BHとの対応 D0 braneの分布と重力でのHorizonの配位が対応すると予想されている。 Uniform black string Non-uniform BS black hole

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 BS/BHとの対応解の間の熱力学的安定性の関係も一致する。超重力 (UBS: uniform BS, NBS: non-uniform BS) 安定UBS 安定UBS 安定UBS 準安定UBS 不安定UBS 不安定BH 不安定NUBS 不安定NUBS 準安定BH 準安定BH 安定BH 安定BH N Fermion (UD: uniform解, NUD: non-uniform解, GD: Gapped解) 安定UD 安定UD 安定UD 準安定UD 不安定UD 不安定GD 不安定NUD 不安定NUD 準安定GD 準安定GD 安定GD 安定GD bosonic 2dYMでは

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 ここまでのまとめ 2dSYMの低エネルギー有効理論はおそらくN fermion で記述できる。超重力の熱力学的な安定性を再現できた。この系の時間発展を解くことで重力の時間発展を記述できる可能性解析的に解くのは難しいが、N体問題は比較的簡単に数値で解ける。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 N fermionの時間発展位相空間でのFermionの時間発展を調べた。 BH or NUBS(?)を構成 Uniform解+摂動熱平衡過程を示す。(ホライズンの証拠) Gapped解を初期条件にしても同様の振る舞い。 → BS/BHの時間発展とconsistent

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 Horowitz-Maeda予想 in 2d SYM 数値なのでBHかNUBSかわからない古典力学: (無限のN) phase spaceのdropletのtopologyは時間発展で変化しない。起こりえない終状態はNUBS

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 Horowitz-Maeda予想 in 2d SYM 数値なのでBHかNUBSかわからない量子力学: (有限のN) phase spaceのdropletのtopologyは量子効果により意味を持たない。量子重力では BHになれる。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 Horowitz-Maeda予想 in 2d SYM 古典力学でも、BH→BSは起こりえる。 D0ブレーンの配位はphase spaceをθ座標へ投射したもの

Summary 2dSYMの低エネルギー有効理論と予想されるN fermion を用いることで、BH/BSのダイナミクスを定性的に再現できる。また量子重力のダイナミクスに対する予想もできる。今後やるべきこと • 2d SYMの低エネルギー有効理論の導出。 • 定量的な解析。 • 上述のHamiltonianは1/N効果を無視していた。 • Hawking輻射など重力の量子効果をきちんと取り扱うのには、有限のNの • 有効理論をきちんと求める必要がある。

Summary 2dSYMの低エネルギー有効理論と予想されるN fermion を用いることで、BH/BSのダイナミクスを定性的に再現できる。また量子重力のダイナミクスに対する予想もできる。重力の専門家の皆さんへのお願い • SYMで不安定BSの時間発展が解析できる。 • しかし対応する超重力での時間発展は行われていない。 • → near extremal BH/BSの数値相対性理論によるダイナミクスの解析 • SYMの運動方程式はかなり単純になった。 • → アインシュタイン方程式もBH/BSに関してはreductionできる可能性。

Introduction and Motivation -gauge/gravity correspondence- • ゲージ理論の低エネルギー有効理論を用いた重力の解析-2dSYMを用いたBS/BH相転移の解析- • ゲージ理論の流体近似を用いた重力の解析-AdS/Fluid対応- • Conclusion and Discussion

ブラックホールと流体力学 ○ BH熱力学ブラックホールは熱力学と対応がある。これらの関係は熱平衡状態と定常時空の間に成り立つ。 Q. 平衡状態からずれた場合にどの様な対応が成り立つか?

ブラックホールと流体力学 Q. 平衡状態からずれた場合にどの様な対応が成り立つか? ｢ずれ｣が小さい場合 (場所依存性が小さい場合) 流体力学熱力学粘性定数、電気抵抗、･････ナビエーストークス方程式･熱力学第一法則 BH熱力学 BH流体力学? ?

流体力学の復習 流体力学: 熱平衡状態から少しずれた状態における物理量(E, Q, etc)の伝搬を速度場を用いて評価する。速度場: エネルギーの流れを示すvector 流体力学の記述は場所依存性が小さい場合に良い(長波長近似) 保存則を解くことで、速度場の時間発展をこの近似の下で解く。ガンジス川の流れ

流体力学の復習 流体力学: 熱平衡状態から少しずれた状態における物理量(E, Q, etc)の伝搬を速度場を用いて評価する。速度場: エネルギーの流れを示すvector 流体力学の記述は場所依存性が小さい場合に良い(長波長近似) 保存則を解くことで、速度場の時間発展をこの近似の下で解く。 4次元CFT: EM tensorは速度場を使って一般に次のように展開できる。 shear: ポイントは流体の運動を与える。ただし散逸のため終状態は定常流。無限に解が作れる。 AdS/CFTを通して同様な振る舞いの重力解を作れるはず。

AdS/CFT対応 ○ AdS5中の超重力場と4d CFTの間に対応がある。例) AdS5 static black brane解と4d CFTの熱平衡状態の間に対応がある。 boundary Thermal CFT(SYMのプラズマ) AdS BH CFTではゆらぎがある場合、長波長近似を用いることで流体描像が得られる。重力でも対応する近似が存在し、新しい重力解を構成できるのではないか?

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) ･black brane in AdS5 boundary time-like killing : Eddington-Finkelstein coordinate : temperature

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) ･black brane in AdS5 boundary time-like killing boost (transverse direction) : constant boost parameter : Eddington-Finkelstein coordinate : constant : temperature

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) ･black brane in AdS5 Thermal CFT boundary Boundaryがある場合、BoundaryでBrown-York EM tensorをmetricから計算できる。 CFTの完全流体のEM tensorと同一視できる。 Stefan-Boltzmann定数を重力から決定できる。

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 1. 定常状態 AdS CFT

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 1. 定常状態 AdS CFT 2.非定常状態一般にmetricは次のように書ける。長波長近似を用いることで解ける。に比例する項アインシュタイン方程式をで展開し逐次解いていく。 Eddington-Finkelstein coordinateにおけるhorizonでの正則性を課すことでmetricが決まる。

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 1. 定常状態 AdS CFT 2.非定常状態得られたmetricからBrown-York EM tensorが読み取れる。 CFTにおけるviscosityが読み取れる。 : Policastro-Son-Starinetsの関係を再現。

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 3.熱力学的量局所的な熱力学量が定義できる。 i) Temperature Killingが存在しないのでsurface gravityを定義できない。 → boundaryでの温度を用いて系の局所温度と見なすことができる。 ii) Energy Boundaryでの EM tensorから局所エネルギーを読み取れる。 iii) Entropy (BHMR+Loganayagam+Mandal+T.M+Reall) Event Horizonの位置を長波長近似で決めることができる。 horizonの面積要素を計算できる。局所entropyと見なせる。

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 3.熱力学的量ホライズンは左図のように時間発展する。

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 4.その後の発展 • 外力を加えた場合の応答 (BM+Loganayagam+Nampuri+Trivedi-Wadia) • dilaton場を手で与えることで外力に対する応答を調べた。 • boundaryがflatでない場合も調べた。 • 電荷のある場合(Banerjee-Bhattacharya-B-Dutta-Loganayagam+Surowka) • U(1)カレントについての振る舞いも調べた。電気抵抗の導出 • 非相対論極限 (BM+Wadia) • 共形流体の非相対論極限で非相対論的流体の新しい対称性を見つけた。 • 他にも、高階微分項のある重力、AdS5以外への拡張など様々な • 応用が見つかった。

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 5. 関連する話題 • 強結合における流体の性質はRHICでの実験との関係で積極的に • 研究されている。また粘性や電気抵抗などの散逸係数の評価はAdS/CMP • で重要。重力理論としても長波長近似は有効。 • (Nakamura-Sin, Maeda-Natsuume-Okamura, Kinoshita-Mukohyama-Nakamura-Oda, Haack-Yarom, Maeda-Miyamoto, Hasen-Kraus, Fouxon-Oz, Kanitscheider-Skenderis, Son-Surowka, D’Hoker-Kraus) • AdS/CFTによる二点関数を用いたの導出 • (Policastro-Son-Starinets) • viscosity boundの存在? • 高階微分項のある重力では一般により小さい値も可能。(Myers-Paulos-Sinha) • New viscosity bound? (Brigante-Liu-Myers- Shenker-Yaida) • 5次元 GB gravityの場合は : GB結合定数 • の場合にboundaryの causalityが破れる。 • GB gravityの場合のviscosity bound?

流体に対応する解の構成 (Bhattacharyya-Hubeny-Minwalla-Rangamani 2008) 5. 関連する話題 • Membrane paradigm • Stretched horizonの上で流体的な描像が得られる。 • をAdSブラックホール以外でもuniversalに得られる。 • ただしbulk viscosityが universalに負。物理的解釈は不明 • Membrane paradigmとAdS/CFT (Iqbal-Liu) • Membrane paradigmにおけるshear viscosityやconductivityとAdS/CFT • における二点関数から求めたそれらの定数の値が等価な理由の説明。 • Black hole formationとCFTの熱平衡化過程 (Bhattacharyya-Minwalla) • AdS5に dilaton波束を入射することでブラックホールが生成される過程を • Small波束近似を用いて解析的に解いた。ホライズンが生成される過程はCFT • における熱平衡化過程と解釈できる。

まとめ 理論物理におけるのGauge/Gravity対応の重要性ゲージ理論の視点から(古典)重力の新しい側面が理解できるかもしれない。 • ゲージ理論の低エネルギー有効理論を用いた近似 • BS/BHの(量子)ダイナミクスが2dSYMで理解できる可能性。 • ゲージ理論の流体近似 • CFTでの流体近似を用いて流体的な重力解を構成できた。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 強結合2d U(N) SYMの低エネルギー有効理論強結合のため摂動計算が難しく解かれていない。これまで研究されている範囲で推測する。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 強結合2d U(N) SYMの低エネルギー有効理論強結合のため摂動計算が難しく解かれていない。これまで研究されている範囲で推測する。高温極限 2d SYM on 1次元 bosonic YM理論 on 最近この理論は解けることが理解された。 (Mandal-Mahato-T.M.) 低エネルギー有効理論は方向のWilson loop Uで記述される。 1/N 効果

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 強結合2d U(N) SYMの低エネルギー有効理論 proposal 2次元 SYMのeffective actionを一次元の結果から推測する。最近この理論は解けることが理解された。 (Mandal-Mahato-T.M.) 低エネルギー有効理論は方向のWilson loop Uで記述される。 1/N 効果

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 強結合2d U(N) SYMの低エネルギー有効理論 proposal 2次元 SYMのeffective actionを一次元の結果から推測する。 • (根拠) • bosonic 2d YMの場合も同様の低エネルギー有効理論が得られる。 • 重力や解析計算、数値計算から予測される2dSYMの性質と矛盾がない。 • 後で示すようにBH/BSを定性的に再現できる。

ゲージ理論におけるBS/BH相転移過程の記述 強結合2d U(N) SYMの低エネルギー有効理論 2d SYMの相図 BH BS 1次元 SYM領域 Kabat et al Nishimura et al 数値的に解析できる。相転移は起こらない。超重力により理解されている Unknown 1d YMとして解析的に解ける。(Mandal-Mahato-T.M) 低温と高温で相の性質が一致している。→1dYMを低温に拡張できるのでは?

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