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O PERACIONES 2 Teoría de Colas

O PERACIONES 2 Teoría de Colas. Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V. SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO Tomado y adaptado de “ Administración de Producción y las Operaciones ”. Adam y Ebert. PLANIFICACION. MODELOS. ORGANIZACION.

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O PERACIONES 2 Teoría de Colas

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  1. OPERACIONES2Teoría de Colas Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.

  2. SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELOTomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert PLANIFICACION MODELOS ORGANIZACION • PLANIFICACION • (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION: • ESTRATEGIAS DE OPERACION • PREDICCION (PRONOSTICOS) • ALTERNATIVAS DISEÑO PROCESOS • CAPACIDAD DE OPERACIONES • PLANEACION UBICACION INSTALACIONES • PLANEACION DISTRIBUCION FISICA • PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION • PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA • PROGRAMACION OPERACIONES M • ORGANIZACION PARA LA CONVERSION • DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO • ESTANDARES DE PRODUCCION/OPERACIONES • MEDICION DEL TRABAJO • ADMINISTRACION DE PROYECTOS • Productos • Servicios • Información MODELOS RESULTADOS INSUMOS MODELOS M M PROCESO de CONVERSION SEGUIMIENTO PRODUCTOS CONTROL • CONTROL • CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION • CONTROL DE INVENTARIO • PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES • ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD • CONTROL DE CALIDAD RETROALIMENTACION

  3. TEORIA DE COLAS La formación de líneas de espera es un fenómeno común cuando la demanda por un servicio excede momentáneamente la capacidad de proporcionarlo Esperar un servicio es parte de la vida diaria Se espera para comer en restaurantes, se hacen colas en las cajas de los supermercados, en los hospitales, etc Y el fenómeno no es exclusivo de los seres humanos: los trabajos esperan para que los procese una máquina (cuello de botella), los automóviles se detienen ante un semáforo, etc

  4. TEORIA DE COLAS Las colas se producen debido a que, en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es insuficiente, ya que la demanda por su servicio es aleatoria, lo que implica que la teoría de colas trabaje con modelos probabilísticos El estudio de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, incluyendo el tiempo de espera y la longitud de la cola promedio, entre otras variables de interés. Esta información sirve después para decidir el nivel apropiado de servicio para las instalaciones

  5. ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS Los clientes que requieren un servicio se generan a través de una fuente de entrada o población. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada, aleatorio, prioridades)

  6. ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS Después, se otorga el servicio requerido por el cliente mediante el mecanismo de servicio, caracterizado por el número de canales paraderos o servidores y por el tiempo de servicio, tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su término. El tiempo de servicio puede tener una distribución exponencial, degenerada o gamma

  7. ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS Sistema de Colas Clientes servidos Clientes Fuente de Entrada Cola Mecanismo de Servicio

  8. ALGUNOS MODELOS DE COLAS 1) Modelo simple con un solo servidor XXXX XXXX XXXX S Entrada Cola Servidor Salida 2) Sistema de colas en serie (trámites en serie) S S S XXX XXX XXX XXX XXX 3) Sistema de colas simple multiservidor XX S XX XXXXXX XXXXXX S XX S

  9. ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS • Fuente de Entrada: • Tiempo entre Llegadas: • Tamaño de las Colas: • Tiempo de Servicio: • Disciplina de Servicio • Servidor (es) • Clientes Puede ser finita (máquinas en un servicio de reparación) oinfinita (llamadas telefónicas) Es el arribo de clientes, puede ser probabilístico o determinístico Puede ser finitoo infinito Describe la prestación del servicio que el servidor le da al cliente. Puede ser determinístico o probabilístico

  10. IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE COLAS EN LAS OPERACIONES La teoría de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, es una técnica útil para diseñar la capacidad del proceso de operaciones, puesto que provee de información muy útil para decidir el nivel apropiado de prestación del servicio para las instalaciones Para determinar la capacidad del proceso de operaciones, se evalúan los costos asociados al servicio que se presta

  11. COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS 1) Costos Directos del Servicio • Costos de la cantidad de servidores en paralelo que suministren el servicio • Costos de tecnología del servicio, relacionados con el tiempo del servicio (atención al cliente) Estos costos tienen una relación directa con la capacidad de prestación del servicio + nº servidores + costo Tecnología de servicio + + costo

  12. COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS 1) Costos Directos del Servicio Costos Directos Costo de operación de las instalaciones de servicio por unidad de tiempo Capacidad de prestación del Servicio

  13. COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS 2) Costos Indirectos del Servicio • Costo de oportunidad (eventual) por pérdida de clientes, si los tiempos de espera son muy largos Costos Indirectos Estos costos tienen una relación inversa con la capacidad de la prestación del servicio Costo de espera de los clientes por unidad de tiempo Capacidad del Servicio

  14. COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS El diseño del proceso de operaciones debe tomar en cuenta ambos tipos de costos, entonces: Costos Totales Costos Directos del Servicio Costo de Oportunidad por tiempo de espera = + El objetivo del proceso de operaciones consiste en minimizar los costos totales

  15. COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS Costos CT: Costos Totales C1: Costos Directos C2: Costos de Oportunidad Capacidad del Servicio Nivel Óptimo del Servicio

  16. COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS Es difícil plantear un modelo de costos que obtenga el nivel óptimo del servicio, ya que es difícil estimar el costo unitario de espera, en particular cuando el comportamiento humano influye en la operación del modelo Lo que se hace es evaluar diferentes configuraciones de servicios, utilizando las fórmulas propias de cada modelo de colas en particular

  17. COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLAS Es diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemáticamente es difícil plantear modelos en los inicios y términos de atención del sistema, es más simple plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los estados: Estado Estable Entradas al Sistema Salidas al Sistema = Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable

  18. TERMINOLOGIA Y NOTACION n Cantidad de clientes: Que están en el sistema en un momento dado L Valor esperado de clientes en el sistema = L E (n) W Valor esperado de tiempo de atención de un cliente en el sistema = W E (w) w: tiempo específico que tarda un cliente particular dentro del sistema. Es una variable aleatoria

  19. TERMINOLOGIA Y NOTACION Asimismo es posible definir: Lq Valor esperado de clientes en la cola Wq Valor esperado del tiempoen la cola Pn Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado P0 : Probabilidad de que el sistema esté vacío P1 : Probabilidad de que el sistema tenga 1 cliente P2 : Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientes P3 : Probabilidad de que el sistema tenga 3 clientes Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes

  20. TERMINOLOGIA Y NOTACION Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado Pn Esto tiene dos interpretaciones: Probabilidad de que en un instante cualquiera se observe el sistema y esté presente unestadon. Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del 10% (1) Pn es la fracción del tiempo en que el sistema permanece en el estadon (2)

  21. TERMINOLOGIA Y NOTACION En consecuencia: L Valor esperado de clientes en el sistema 8 LnPn = L E (n) = n=0

  22. LAS VARIABLES EN EL TIEMPO En general la cantidad de clientes es el sistema depende del instante de tiempo en que se determinan Luego, las variables dependen del momento de tiempo en que se miden. Por ende, Pn, L, W, etc, también dependen del tiempo: Pn(t), L(t), W(t), etc = n n (t) n(t) = n Sin embargo, los modelos de colas que se estudian, determinan tales variables cuando el sistema está en estado estable Pn(t) = Pn L(t) = L W(t) = W

  23. LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA La llegada de clientes se asume que tiene una distribución poisson, con parámetro Si A es el número de clientes que llegan en un intervalo específico de tiempo, entonces: - n e = P(n=A) n=1,2,3,.... A n ! Las llegadas al sistema sonaleatorias. Es decir que la probabilidad de llegada al sistema durante un instante de tiempo es un valor constante, independiente del número de arribos previos y de la duración del tiempo de espera

  24. LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA Se define: Tasa media de llegada de clientes al sistema Indica el número promedio de clientes que ingresa al sistema en un instante específico de tiempo 1 Tiempo promedio entre llegadas es el tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas sucesivas, entre el arribo de dos clientes consecutivos

  25. SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA Según los sistemas de colas, puede ser una distribución exponencial, degenerada o gamma Pero, para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista para que el modelo proporcione predicciones razonables y, también debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable Para lograr todo lo anterior, se asume que los tiempos de prestación del servicio tienen una distribución exponencial, con parámetro 1

  26. SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA Si B es el tiempo de servicio para un cliente promedio, la función de distribución acumulada es: - - t < = > P(B t) 1 e si t 0 Obs: Poisson se refiere a unidades de evento partido por unidades de tiempo fija Exponencial se refiere a unidad de tiempo existente entre dos eventos seguidos Poisson Exponencial

  27. SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA Se define: Tasa media de prestación del servicio en el sistema Indica el número promedio de clientes que reciben el servicioen el sistema en un instante específico de tiempo. Es la tasa media del servicio, implica el concepto de velocidad de atención del sistema Tiempo promedio entre prestaciones del servicioes el tiempo promedio que se demora en atender a un cliente en el sistema 1

  28. ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS Sistema de Colas Clientes servidos Clientes Población Cola Mecanismo de Servicio Lq,Wq 1 L ,W Exp Poisson (clientes / tiempo) (tiempo / clientes)

  29. DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE Muestra el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema de colas 0 1 2 3 ...... 0 1 2 3 1 2 3 4

  30. DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE Para salir del estado 2 hay dos posibilidades: • Sale un cliente que es atendido y en tal tiempo no ingresa nadie al sistema ( ) • El cliente que está siendo atendido no termina de ser atendido e ingresa otro cliente al sistema ( ) 2 2 pasa del estado 2 al estado 1 2 pasa del estado 2 al estado 3 2

  31. ESTADO ESTABLE Estado Estable Entradas al Sistema Salidas al Sistema = En estado estable y bajo el supuesto de que puede ocurrir sólo una llegada o sólo una salida a la vez: = Estado 0 P1 P0 1 0 = Estado 1 + P1 P1 P2 P0 + 2 0 1 1 = Estado 2 + P2 + P3 P1 P2 3 1 2 2 = Estado 3 P4 P3 P2 P3 4 2 + + 3 3

  32. ESTADO ESTABLE Se forma un sistema de n-ecuaciones y (n +1) incógnitas. Resolviendo en función del Pn se tiene: De la primera ecuación (estado 0) 0 = P1 P0 1 De la segunda ecuación (estado 1) - = ( ) P2 P1 + P0 2 1 1 0 - ( ) P1 + P0 1 1 0 = P2 2

  33. ESTADO ESTABLE reemplazando P1: 0 - ( ) + P0 P0 1 1 0 1 = P2 2 ( ) - 1 0 P0 + 0 0 = 1 P2 2 0 1 = P2 P0 1 2

  34. ESTADO ESTABLE En general: 0 1 2 3 n-1 = Pn P0 1 2 3 4 n Suponiendo que las tasas son constantes, entonces: = = = = = = 1 2 3 4 n = = = = = = n-1 0 1 2 3 Luego n = Pn P0

  35. ESTADO ESTABLE 8 = Si además se considera que: Pn 1 n=1 = P0 + P1 + P2 + P3 + ........................ 1 2 3 = P0 P0 P0 P0 1 + + + + ............... Progresión Geométrica Suma de la progresión geométrica n a ( 1 - r ) n i = a r ( 1 - r ) i=1

  36. ESTADO ESTABLE n - Por lo tanto 1 P0 = 1 - 1 Además Condición de estado estable < 1 La tasa de llegada ( ) tiene que ser menor que la tasa del servicio ( )

  37. ESTADO ESTABLE n Como < 1 0 si n 8 P0 Entonces ( 1 - 0 ) - = = 1 P0 1 - 1 - Es la probabilidad de que hayan 0 clientes en el sistema = P0

  38. ESTADO ESTABLE Asimismo, reemplazando: - Es la probabilidad de que hayan n clientes en el sistema n = Pn Las fórmulas anteriores son un caso particular analizado, no son fórmulas generales, puesto que incluyen muchos supuestos en su análisis Obs:

  39. SUPUESTOS PARA LA CONDICION DE ESTADO ESTABLE El sistema de colas no colapsa, o sea que el sistema oscila entre los estados razonables, si bien hay cola, ésta no crece sin fin < 1 S Las entradas y salidas de clientes al sistema de colas, son de a un cliente cada vez La tasa promedio de llegada de clientes y la tasa promedio del tiempo de prestación del servicio, son independientes del estado (cantidad de clientes) en el sistema de colas

  40. FACTOR DE UTILIZACION Indica la proporción de tiempo en el que el sistema de colas está ocupado = > Si 1 El sistema está sobrecopado la mayor parte del tiempo: la cola está creciendo permanentemente < El sistema no está copado Si 1 = Por ejemplo, si 0,9 indica que el 90% del tiempo el sistema de colas está ocupado y que, el 10% del tiempo no lo está

  41. FACTOR DE UTILIZACION Las fórmulas anteriores de P0 y de Pn, se pueden denotar también como: - = 1 P0 - n = ( 1 ) Pn

  42. VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA 8 nPn = = L E (n) n=0 = E (n) 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + ................... 2 3 = ........ L 0(1- ) + 1 (1- ) + 2 (1- ) + 3 (1- ) + Factorizando: 2 3 4 = L (1- ) + 2 + 3 + 4 + ........................ = 2 3 ...................... L (1- ) 1 + 2 + 3 + 4 + 2 3 4 = L (1- ) ( + + + + ......................

  43. VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA es progresión geométrica 2 3 4 5 ( + + + + + ) donde .......... Suma de la progresión geométrica n n a ( 1 - a ) i = a 1 - a i=1 n (1- ) = Por lo tanto L (1- ) 1 - < 1 como (condición de estado estable) n < 1 0 8 si n

  44. VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA En consecuencia = L (1- ) 1 - derivando: - (-1) (1- ) = (1- ) L 2 (1- ) 1 = (1- ) = L - L 2 (1- ) 1 reemplazando = = L -

  45. PROPIEDADES También se pueden demostrar: 1 = = Wq W - - ( ) = 2 L W = Lq - ( ) = Lq Wq Si se dispone de los valores de y , entonces es posible conocer a cada una de las variables principales de los modelos de colas: L, W, Lq, Wq

  46. RELACION ENTRE W y Wq Se define Ws Tiempo medio de la prestación del servicio que es un valor a priori desconocido W = Wq + Ws Ws = W - Wq - 1 = Ws - - ( ) - 1 1 = = = WWq + Ws - ( )

  47. VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE Se puede demostrar de acuerdo a las fórmulas planteadas en las propiedades anteriores 1 = 1 = W - W = Wq + Ws WWq + Pero también se puede obtener mediante W = E(w) determinando la distribución de probabilidades de w w es el tiempo específico que tardaun clienteen el sistema. Es una variable aleatoria Recuerdo:

  48. VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE Consideremos la probabilidad de que un cliente tarde más de un tiempo T en salir del sistema Sn+1 = T1 + T2 + T3 + .............. + Tn + Tn+1 Sea Sn+1 es la suma de los tiempos de atención de los “n” clientes que ya estaban en el sistema, más el tiempo de atención del “n+1” cliente, que acaba deingresar al sistema donde T1, T2, T3, ........... son variables aleatorias independientes que tienen una distribución exponencial

  49. PROPIEDAD REPRODUCTIVA Por una propiedad reproductiva, la suma de las variables aleatorias con distribución exponencial, tiene una distribución de probabilidades gamma Sn+1 tiene una distribución gamma Entonces 8 > = > P (w t) Pn P(Sn+1 t) n=0 > P (w t) considera dos supuestos • Al ingresar el cliente al sistema, éste está ocupado • El tiempo de espera en la cola más el tiempo de atención del cliente sea mayor que t

  50. VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE > Reemplazando las fórmulas de Pn y , y después de mucho trabajo algebraico se llega a: P(Sn+1 t) - - 1 t > > = e P (w t) ,si t 0 ¡¡¡ w también tiene una distribución exponencial !!! 1 1 = = = E(w) W E(w) - - - 1

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