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例：设整数集 I 上的模2同余关系为 R, 这是 I 上的等价关系。 在 R 下，把 I 中所有与0有关系即与0等价的整数划分为一类，记为 E； 与1等价的所有整数划分为一类，记为 O

例：设整数集 I 上的模2同余关系为 R, 这是 I 上的等价关系。 在 R 下，把 I 中所有与0有关系即与0等价的整数划分为一类，记为 E； 与1等价的所有整数划分为一类，记为 O 集合 I 中的元素或者属于 E， 或者属于 O, 且它们互不相交。 由关系 R 把 I 分为两类： E 和 O， 这就是 I 的一个划分。. 三、等价关系与划分

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例：设整数集 I 上的模2同余关系为 R, 这是 I 上的等价关系。 在 R 下，把 I 中所有与0有关系即与0等价的整数划分为一类，记为 E； 与1等价的所有整数划分为一类，记为 O

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Presentation Transcript

  1. 例：设整数集I上的模2同余关系为R,这是I上的等价关系。例：设整数集I上的模2同余关系为R,这是I上的等价关系。 • 在R下，把I中所有与0有关系即与0等价的整数划分为一类，记为E； • 与1等价的所有整数划分为一类，记为O • 集合I中的元素或者属于E，或者属于O,且它们互不相交。 • 由关系R把I分为两类：E和O， • 这就是I的一个划分。

  2. 三、等价关系与划分 • 定义 2.14：设R是A上的等价关系, 对于每个aA,与a等价的元素全体所组成的集合称为由a生成的关于R的等价类,记为[a]R, 即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类的代表元。 • 在不会引起误解的情况下,可把[a]R简记为[a]。 • 定义 2.15：设R是A上的一个等价关系, 关于R的等价类全体所组成的集合族称为A上关于R的商集,记为A/R, 即A/R={[a]|aA}。

  3. 例：整数集I上的模2同余关系R，其等价类为[0],[1]。例：整数集I上的模2同余关系R，其等价类为[0],[1]。 • 其中[0]={…,-4,-2,0,2,4,…}=[2]=[4]=[-2]=[-4]=… • [1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=… • 因此A/R={[0],[1]} • 例:整数集I上的模n同余关系是I上的等价关系。I上关于R的等价类为： • [0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…} • [1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…} • … • [n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…} • 这些类又称I上模n同余类。 • I上关于R的商集I/R={[0],[1],…,[n-1]}

  4. 定理 2.13：设R是A上的等价关系, 则 • (1)对任一aA,有a[a]; • (2)若aRb, 则[a]=[b]; • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]=; 此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的(2)、(3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类，而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于A.由此定理说明A上等价关系R所对应的等价类集合是A的一个划分。 该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。

  5. 证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。 • (2)对a,bA, aRb,分别证明[a][b]，[b][a]。 • 对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。 • 下面证明[b][a] • 对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。 • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]= • 采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存在x[a]∩[b]。

  6. 例：设A={1,2,3,4}，R={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1), (4,2)}为等价关系。 • 其等价类为[1]={1,3} • [2]={2,4} • [3]={1,3} • [4]={2,4} • 划分={[1],[2]} • 前面是给定等价关系唯一确定划分，反过来，给定一个划分，也可唯一确定一个等价关系。

  7. 设非空集A上划分={A1,A2,…,An}，定义A上二元关系R：aRb当且仅当存在Ai,使得a,bAi。设非空集A上划分={A1,A2,…,An}，定义A上二元关系R：aRb当且仅当存在Ai,使得a,bAi。 • 即R=(A1A1)∪(A2A2)∪…∪(AnAn) • 容易证明R是等价关系。 • 定理2.14：集合A上的任一划分可以确定A上的一个等价关系R。 • 例：设A={a,b,c}的一个划分={{a,b},{c}},由确定A上的一个等价关系R： • R=({a,b}{a,b})∪({c}{c})={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b), (c,c)}

  8. 定理 2.15:设R1和R2是A上的等价关系,R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。 • 定理 2.13 和定理 2.15 说明集合A上的任一等价关系可以唯一地确定A的一个划分。 • 定理2.14和定理 2.15说明集合A的任一划分可以唯一地确定A上的一个等价关系。 • 集合A上给出一个划分和给出一个等价关系是没有什么实质区别的。 • 设集合A上的等价关系为R1和R2,它们通过并和交运算而得到的关系是不是等价关系? • 若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联系。

  9. 四、划分的积与和 • 1.划分的积 • 定理 2.16：设R1和R2是A上的等价关系,则R1∩R2是A上的等价关系。 • 定义 2.16：设R1和R2是A上的等价关系, 由R1和R2确定的A的划分分别为1和2,A上的等价关系R1∩R2所确定的A的划分,称为1与2划分的积,记为1·2。 • 定义 2.17：设和'是A的划分, 若'的每一块包含在的一块中, 称'细分,或称'加细。

  10. 例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2}, {3,4}} • 因为{1}{1,2}，{2}{1,2}， • {3,4}{3,4}， • 所以'细分 • 若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R它们之间有何联系？

  11. (1)若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R满足R'R。(1)若'细分,则与它们对应的二元关系R'和R满足R'R。 • 证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R • (2)若R'R，是否有'细分？ • 证明：对任意S‘’,目标是S • S‘S • 定理 2.17：设',是A的划分,它们确定A上的等价关系分别为R,R',则'细分当且仅当R'R。

  12. 定理 2.18：设1,2是A的划分,则 • (1)1·2细分1与2。 • (2)设'是A的划分,若'细分1与2,则'细分1·2。 • 证明：(1)设1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1·2对应的关系为R1∩R2。 • (2) 设'对应A上关系是R'，1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1·2对应的关系为R1∩R2。

  13. 2.划分的和 • 设集合A上的等价关系为R1和R2,容易证明R1∪R2是A上的自反和对称关系,但不是A上的等价关系。然而R1∪R2的传递闭包是A上的等价关系。 • 定理 2.19:设R1和R2是集合A上的等价关系,则(R1∪R2)+是A上的等价关系。 • 定义 2.18:设R1和R2是A上的等价关系, R1和R2确定A的划分分别为1和2。 A上的等价关系(R1∪R2)+所确定A的划分称为1与2划分的和,记为1+2。

  14. 定理 2.20：设1,2是A的划分, 则 • (1)1与2细分1+2； • (2)设'是A的划分,若1与2细分',则1+2细分'。 • 证明：(1)设1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1+2对应的关系为(R1∪R2)+。 • (2) 设'对应A上关系是R'，1和2分别对应的A上关系是R1和R2，则1+2对应的关系为(R1∪R2)+。

  15. 2.7 次序关系 • 集合中还有一种重要的关系：次序关系。它可用来比较集合中元素的次序,其中最常用的是偏序关系和全序关系。 • 1.偏序关系 • 定义 2.19,2.20:设R是集合A上的二元关系, 若R是自反的, 反对称的和传递的, 则称R是A上的偏序关系。又记为≤(注意,此符号在这里并不意味着小于或等于)。若集合A具有偏序关系R,则称A为偏序集,记为(A,R)。

  16. 实数集R上的小于或等于关系≦； • 正整数集Z+上的整除关系； • 集合A的幂集P(A)上的包含关系。 • 由于它们都是偏序关系，因此(R,≦) (Z+,|), (P(A),)都是偏序集。 • 偏序集必须有一个具体给定的偏序关系 • 例：A={1,2},P(A)={,{1},{2},{1,2}},则A的幂集P(A)上的包含关系 {(,),(,{1}),(,{2}),(,{1,2}), ({1},{1}),({1},{1,2}),({2},{2}), ({2},{1,2}),({1,2},{1,2})}

  17. 定义：对于集合A上的偏序关系R, 如果A中两个元素a,b有aRb,则称a与b是可比较的。 • 在上例中，与,{1},{2}与{1,2}都是可以比较的，而{1}与{2}无包含关系，故不可比较 • 由此可见：偏序集合中任意两个元素不一定可比较的。 • 但对于实数集上的小于或等于关系≦，对任意两个实数x,y,或者x≦y,或者y≦x，必有一个成立，故x和y是可以比较的。 • 全序关系

  18. 定义 2.22,2.23：设≤是集合A上的二元关系, 如果对于A中任意两个元素a,bA,必有a≤b或b≤a, 则称≤是A上的全序关系(或称线性次序关系)。而该集合称为全序集或线性次序集,记为(A,≤)。 • 整数集I上的小于或等于关系≦是全序关系, 但I上的整除关系/不是全序关系。而前面给出的幂集P(A)上的关系也不是全序关系。

  19. 2．Hasse图 • 偏序集(A,R)可以通过图形表示, 该图叫哈斯图。是对关系图的简化。 • (1)由于偏序关系是自反的，即对每个元素a,都有aRa，因此在图上省去自环 • (2)由于偏序关系是传递的，即若有aRb, bRc则必有aRc,因此省去a与c之间的连线 • (3)对于aRb,规定b在a的上方，则可省去箭头。 • 这样的图称为哈斯图。

  20. A={1,2},画出A的幂集P(A)上的包含关系的哈斯图 • P(A)={,{1},{2},{1,2}}

  21. 例A={2, 3, 6, 12, 24, 36}, 画出偏序集(A, /)的哈斯图。

  22. 设A上的小于等于关系≦,A={1, 2, 3, 4, 5, 6},画出偏序集(A,≦)的哈斯图。

  23. 3.拟序关系 • 定义 2.21:集合A上的二元关系R是反自反的和传递的, 称R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集,或记为(A,<)(注意, 此符号<在这里也不意味着小于)。 • 常见的拟序关系有：实数集R上的小于关系<；集合A的幂集P(A)上的真包含关系。

  24. 定理 2.22:集合A上的二元关系R是拟序的, 则R必为反对称的。 • 证明：假设R不是反对称的 • 由此定理, 我们可知拟序关系实际上是满足反自反的, 反对称的和传递的。 • 定理 2.23：设R是A上的二元关系,则 • (1)若R是A上的拟序关系, 则r(R)=R∪IA是A上的偏序关系。 • (2)若R是A上的偏序关系, 则R-IA是A上的拟序关系。

  25. 作业:p42 19,25(2),26,28,35,38, 39

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