Verlust + Verlust = Gewinn

1. Verlust + Verlust = Gewinn Parrondos Paradoxon Josef Züger und Marc Sigron 11. September 2013

2. Aufbau • Wie bin ich auf das Paradoxon gestossen? • Grundfragestellung • Vorstellen der Spiele • Berechnung der erwarteten Gewinne (oder Gewinnwahrscheinlichkeiten) • Berechnungen in der Originalfassung • Verallgemeinerungen, welche im Rahmen einer Maturaarbeit entstanden sind (Marc Sigron) • Letzte Lücke im Beweis schliessen • Varianten und Anwendungen

3. Wie bin ich auf des Paradoxon gestossen? Erhard Behrends

4. Grundfragestellung Maschine nach Richard Feynman

5. Grundfragestellung Ein mikroskopisch kleines Teilchen führt eine thermische Zufallsbewegung aus, wobei einmal ein Kraftfeld K und ein anderes Mal ein Kraftfeld K‘ angelegt ist; kann es dann sein, dass das Teilchen weder bei angelegtem Kraftfeld K noch bei K‘ im Mittel vorankommt, wohl aber, wenn man zwischen beiden Feldern hin- und herschaltet? Juan Parrondo Richard Feynman

6. Flashing ratchet (pulsierende Ratsche) – Brownian motor Zum gegenwärtigen starken Interesse an Ratschen trägt erheblich deren mögliche Bedeutung für das Verständnis molekularer Motoren in lebenden Zellen bei. Diese sind komplexe Proteinmoleküle, die über eine Nichtgleichgewichtsreaktion chemische Energie in mechanische Arbeit umwandeln, zum Beispiel beim Materialtransport innerhalb der Zelle, bei der Zellteilung oder beim Zusammenziehen von Muskeln. Juan Parrondo Simulation auf derHomepage der Uni Basel

7. Die Spiele „Ausgangspunkt sind zwei Glücksspiele gegen die Spielbank, bei denen der Spieler im Mittel einen leichten Verlust machen wird. Beim ersten zahlt man eine Spielgebühr und gewinnt oder verliert dann mit Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Euro. Beim zweiten hängen die Chancen vom bisherigen Spielverlauf ab, es gibt für den Spieler günstige und weniger günstige Spielrunden, die Chancen gleichen sich im Mittel aber aus. Und nun die Überraschung: Wenn man vor jeder Spielrunde eine Münze wirft, um zu entscheiden, ob die nächste Spielrunde mit dem einen oder anderen Spiel gespielt werden soll, so ergibt sich für den Spieler ein Gewinnspiel.“ Erhard Behrends: Fünf Minuten Mathematik (2006), vieweg

8. Spiel A 1/2 1/2 -1 +1 Erwartungswert für den Gewinn: E(A) = 0

9. „Die genauen Spielregeln für Spiel 2 Die Spielregeln für das erste Parrondospiel sind schon beschrieben worden, für das zweite sind sie etwas komplizierter: • Falls der bisher angesammelte Gewinn des Spielers durch Drei teilbar ist, sind die Chancen für ihn ungünstig: Mit Wahrscheinlichkeit 9/10 verliert er einen Euro, nur mit Wahrscheinlichkeit 1/10 ist er um einen Euro reicher. • Besser sieht es aus, wenn der Gewinn nicht durch Drei teilbar ist. Dann gewinnt der Spieler mit 3/4 Wahrscheinlichkeit und verliert mit 1/4 Wahrscheinlichkeit. Damit gibt es für den Spieler ungünstige und günstige Situationen, je nachdem, wie es mit der Teilbarkeit seines gegenwärtigen Gewinns durch Drei steht. Es lässt sich zeigen, dass das perfekt ausgewogen ist. Aufgrund der Spielgebühr liegt aber, langfristig gesehen, ein Verlustspiel vor.“ Erhard Behrends: Fünf Minuten Mathematik (2006), vieweg

10. Spiel B Gewinn Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1

11. Kombiniertes Spiel (Spiel C) Münzwurf 1/2 1/2 Spiel A Spiel B Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/2 1/2 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1 +1 -1

12. Spiel B Gewinn 1/3 2/3 Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1 Erwartungswert für den Gewinn: E(B) = =

15. Spiel B Gewinn x 1-x Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1

16. Ú 0 (mod 3) 1/10 9/10 1/4 3/4 Ú 1 (mod 3) Ú 2 (mod 3) 3/4 1/4

17. Ú 0 (mod 3) 1/10 9/10 1/4 3/4 Ú 1 (mod 3) Ú 2 (mod 3) 3/4 1/4

18. Wahrscheinlichkeiten der Zustände

19. Ú 0 (mod 3) 1/10 9/10 1/4 3/4 Ú 1 (mod 3) Ú 2 (mod 3) 3/4 1/4

20. Spiel B Gewinn 5/13 8/13 Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1 Erwartungswert für den Gewinn: E(B) = =

21. Kombiniertes Spiel Münzwurf 1/2 1/2 Spiel A Spiel B x 1-x Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/2 1/2 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1 +1 -1

22. Ú 0 (mod 3) 1/4 + 1/20 1/4 + 9/20 1/4 + 1/8 1/4 + 3/8 Ú 1 (mod 3) Ú 2 (mod 3) 1/4 + 3/8 1/4 + 1/8

23. Wahrscheinlichkeiten der Zustände

24. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten der Zustände Spiel B Kombiniertes Spiel

25. Münzwurf 1/2 1/2 Spiel A Spiel B 245/709 464/709 Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/2 1/2 1/10 9/10 3/4 1/4 +1 -1 +1 -1 +1 -1

26. Original nach Parrondo Spiel A 1/2-e 1/2+e -1 +1

27. Original nach Parrondo Spiel B Gewinn x 1-x Ú 0 (mod3) Ú 1 , 2 (mod 3) 9/10+e 1/10-e 1/4+e 3/4-e +1 -1 +1 -1

28. Ú 0 (mod 3) 1/10-e 9/10+e 3/4-e 1/4+e Ú 1 (mod 3) Ú 2 (mod 3) 3/4-e 1/4+e

30. Spiel B Gewinn 8/13+440/2197 e-0(e2) 5/13-440/2197 e+0(e2) Ú 0 (mod 3) Ú 1 , 2 (mod 3) 1/10-e 9/10+e 3/4-e 1/4+e +1 -1 +1 -1 Wahrscheinlichkeit zu gewinnen: p(Gewinn) = e +0(e2)

31. Vergleich der drei Spiele Spiel A: p(Gewinn) = e Spiel B: p(Gewinn) = e +0(e2) Spiel C: p(Gewinn) = e +0(e2) = e +0(e2)

32. ABBABB

33. ABBABB

34. ABBABB

35. ABBABB

36. A + B + C + ABBABB Einsatz 0.02

37. B C A Tritt Parrondos Paradoxon auch mit anderen Wahrscheinlichkeiten auf? K mod 3 ≠ 0 K mod 3 = 0 α β +1 - 1 +1 - 1 - 1 +1

38. B A C Tritt Parrondos Paradoxon auch mit anderen Wahrscheinlichkeiten auf? K mod 3 ≠ 0 K mod 3 = 0 α β +1 - 1 +1 - 1 - 1 +1

39. 0 x Spiel B a 2 1 1 – b z y

40. Spiel B

41. 0 x Spiel B a 2 1 1 – b z y

42. Spiel B

43. Spiel B

44. 0 x Spiel C 2 1 z y

45. Spiel C

46. Spiel C

47. Funktioniert Parrondos Paradoxon auch mit anderen Moduln?M = 4? M = 5? M = …?

48. x a b Spiel B mit M=5 0 1 – b 4 v 1 y b 1 – b b 1 – b 1 – b b 3 2 u z

49. pGewinn für M=5

50. pGewinn für M=5