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線形計画問題に対する 主双対内点法

線形計画問題に対する 主双対内点法. 小崎　敏寛 東京工業大学大学院 経営工学専攻. 目的：輸送問題を数値的に解く →主双対内点法の適用 線形計画問題に対する主双対内点法 輸送問題の定式化 輸送問題に対する内点法 結論と今後の課題. 1-1 標準形の線形計画問題. 主問題 (P). 双対問題 (D). 最適条件. 1-2 フィージブル内点法. センターパス. みたす. w k. 強くみたす. w k+1. 最適解. 各 μ につき近似解を得て， μ↓0 とすれば， 等式不等式系が最適条件に近づくので，最適解が得られるはず

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線形計画問題に対する 主双対内点法

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Presentation Transcript

  1. 線形計画問題に対する主双対内点法 小崎　敏寛 東京工業大学大学院 経営工学専攻 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  2. 目的：輸送問題を数値的に解く →主双対内点法の適用 • 線形計画問題に対する主双対内点法 • 輸送問題の定式化 • 輸送問題に対する内点法 • 結論と今後の課題 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  3. 1-1標準形の線形計画問題 主問題(P) 双対問題(D) 最適条件 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  4. 1-2 フィージブル内点法 センターパス みたす wk 強くみたす wk+1 最適解 各μにつき近似解を得て，μ↓0とすれば， 等式不等式系が最適条件に近づくので，最適解が得られるはず 主問題と双対問題を同時に考えるので主双対内点法 理論で使われる 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  5. 1-3 インフィージブル内点法1 wk wk+1 最適解 実行可能領域の外から最適解に近づく 数値的に最適解を得られる 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  6. 1-4 インフィージブル内点法2 • 計算時間の大半は次の方程式を解くのにかかる AXZ-1ATΔy=AXZ-1(c-ATy-z)-γμAZ-1e+b Δz=-ATΔy+c-ATy-z Δx=-XZ-1Δz+γμZ-1ex eは要素が全て1のベクトル X:=diag(x) Z:=diag(z) 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  7. 1-5 インフィージブル内点法3 • ステップサイズα+ • 内点であるようにステップサイズをきめる 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  8. b1 a2 b2 a3 cij N=2 2-1 輸送問題1 • 仮定： • 仮定：全てのiとjの間にアークが存在する • 制約が一つ冗長なので一番下の制約を取り除く a1 ソース 供給 工場 シンク 需要 消費地 M=3 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  9. MN変数M+N-1制約の線形計画問題 実行可能解 が存在する 2-2 輸送問題2 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  10. 2-3 輸送問題と他の問題の関係 （割当問題）　（輸送問題）　（多品種輸送問題） 輸送問題で，M=Nとして，ai , bj =1として， 変数を0-1に限定． 多品種輸送問題で品種を一つにしたもの． 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  11. 2-4 輸送問題に対する内点法の既存研究 • 変数に対する非負制約だけでなく，上限制約のある定式化 ←実行可能解が存在するかわからない • ニュートン方向の計算に共役勾配法を使用 a1=3 u11=1 u12=1 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  12. 3-1 輸送問題のニュートン方向 • AXZ-1AT 　＝ M N-1 M N-1 計算量はO(MN)　 密だとすると O(m2n)=O((M+N-1)2MN) 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  13. Δx1 α x1 Δx2 Δx 3-2　ステップサイズの決定（LP） ステップサイズの決め方に問題がある 正値性をみたしていれば， ニュートン方向には できるだけ進んだ方がよいと考える Infeasibilityはステップサイズが1以下なら大きいほど改善する 座標ごとに計算する x2 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  14. ステップサイズと残差の関係 xTz γxTz α 考えない Ax b α 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  15. 3-3 ステップサイズの決定（提案）(SOCP,SDP) (１)変数が二次錐の直積で表されている場合 (2)SDPで変数がブロック対角の場合 各ブロックごとにステップサイズを決定する 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  16. 3-4MATLABでの実装で注意したこと • diagを使用しない →A*sparse(1:M*N,1:M*N,x./z)*A’ • ステップサイズの計算の時に，先に領域を確保しておく 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  17. 4 結論と今後の課題 • 輸送問題の係数行列の疎性を利用した計算と（線形計画問題に対する）ステップサイズの決定により効率的に最適解を得られた． • 整数解を求める． 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  18. Δy（の近似）を求めるのに，直接法でなく反復法を使う．Δy（の近似）を求めるのに，直接法でなく反復法を使う． • SOR法(Successive Over-Relaxation，逐次加速緩和法)を適用するが，3倍時間がかかったので諦めた． 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  19. 輸送問題の表 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

  20. 参考文献 最近のサーベイ L. T. Guardia and G. B. Lima, Interior Point Methods for Linear Multicommodity Flow Problems, 2nd International Conference on Engineering Optimization, 2010. MATLABの本 　上坂吉則，MATLABプログラミング入門，牧野書店，2006. 2011 5/28 29 SCOPE@つくば

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