第七章伪随机数生成

第七章伪随机数生成

本章研究如何通过（0,１）区间上均匀分布的随机数，获得其它各种分布的随机变量的方法。 随机变量是模拟模型的输入变量，而且是以随机变量的样本输入模型的。模拟模型输入分析： 1. 是否随机变量？ 2. 分布是否已知？ 3. 参数是否已知？ 4. 伪随机数产生假定随机变量的分布是已知的。问题：要找出从已知分布中产生随机样本的方法。

常用随机数产生的方法 • 逆变换法，函数变换法，组合法，取舍法，近似法

逆变换法 定理：若 X是任意分布的随机变量，其CDF为 F(x) =P {X ≤x}，则Y = F (x)是在（0,1）区间内的均匀分布的随机变量，并且它与X的分布特征无关。证明： Fig.

反变换法步骤 1 确定随机变量X的CDF， F(x)； 2 产生（0,1）随机数u；令 u = F(x) 3 求反函数 X= F-1(u) 则在任意分布函数中进行模拟采样可以通过（0,1）之间均匀分布的模拟采样来达到。

1. (a,b) 区间上的均匀分布

2 指数分布

3 Weibull分布

4 离散分布

5 函数变换法 以正态分布为例

6 卷积法 • 先产生多个0-1均匀分布，再利用中心极限定理

U(0,1)均匀分布随机数的产生 • 有哪些要求？

§6.1 随机数及其产生 如何产生随机数 1）兰德公司：从随机数库中随机抽取（50年代）美国兰德公司在1950年曾将100万个在（0，1）区间内的实数存入计算机外存储器，以便在仿真过程中进行随机调用。由于效率太低，并且不能保证均匀分布的性质，这种方法不久即被淘汰。 2）科学家建议将计算机连接到物理效应设备（如噪声源）上获得随机数流. 这种方法的随机性和均匀性最好，但产生过程太复杂，也未能得到推广。 3）通过数学算法由计算机产生随机数。这种方法具有简单易行，占用内存少，运行速度快的优点，因此得到广泛的应用。

§6.1 随机数及计算机产生伪随机数 其产生 • 种子 • 迭代 • 均匀性？ • 独立性？ • 范围？

§6.1 随机数及其产生– 0~1间隔均匀分布随机数（1）随机数值是0到1的范围内的实数，包括0，或者包括或者不包括1。（2）在所定义的区间内，要具有均匀性。即将区间 [0,1] 分隔为n个等长的子区间，则在每一个子区间得到的观察值的个数的期望值应该等于N / n，（3）在所定义的区间内，要具有独立性。即每个观察值落在某一子区间的概率和前一观察值无关。

伪随机数发生器的要求 （1）较长的循环周期（2）再现性（3）产生伪随机数的算法过程应尽可能简单，以便减少所占用的内存和提高仿真效率。

§6.1 随机数及其产生 5.均匀分布随机数生成算法举例 1）. 平方取中法 2）. 乘法取中法 3）. Fibonacci序列法 4）. 线性同余法。

平方取中法 • 由冯·纽曼在40年代中期提出

缺点 • 利用这个方法产生的伪随机数序列的重复周期通常较短。 • 对于较长的伪随机数序列，利用这种方法可能无法通过随机性的统计检验。 • 生成一定数目的随机数之后，往后产生的数可能都为0。这种现象的出现称为“退化为零”。

退化为零 • 例利用“平方取中法”产生两位数的随机数序列，种子数取为x0=44。

退化为恒值 • 例设在产生四位数的随机数过程中，得到了一个xi 值为4500，即

乘积取中法

常数相乘法

斐波那契序列法 例取x0 =1，x1 =3，m=8，求由上述递推公式可以得到不同的随机数。

线性同余法 • 线性同余法在1951 年由菜默尔首先提出，目前大多数随机数发生器都采用这种方法 • 初始值x0 称为种子，常数a 称为乘子，常数c 称为增量，而常数m 称为模数。

例设a=5，c=3，m=16，取x0=7，利用线性同余法产生随机数序列。例设a=5，c=3，m=16，取x0=7，利用线性同余法产生随机数序列。

一般来讲，存在重复性。合理地选择a,c,x0 和m，可以使重复周期充分长 • m：取值尽量大，为(2k-1)最好，k最大字位数 • a 和c 的选取：当且仅当下列条件满足重复周期为m（这是最好的情况）。 • c 与m 互质 • (a-1)是每个能整除m的质数的倍数。 • 如果m能被4整除，则(a-1)也能被4整除。

乘同余法 • 对于乘同余法，由于c=0，无论怎样选择m，都无法满足c 与m 互质的条件，因而不可能得到满周期 • 若选择m=2k，则所产生的随机数序列的周期p≤m/4=2k-2，即在0 至m-1 之间的整数 • 至多只有四分之一可能成为xn的值，而且这四分之一的整数在0 至m-1 之间是如何分布的尚难确定。这与种子数x0的选取有关。

第七章 伪随机数生成