第一章 复平面上的复变函数

1. 第一章 复平面上的复变函数 一 复数和复变函数 1． 复数和平面向量 2． 复数的三角表示 3. 平面点集的复数表示 4． 复变函数的概念 二 复变函数与高等数学的关系

2. Y ImZ O ReZ X 图1-1 第一节 复数和复变函数 一． 复数和平面向量 1 复数 初等代数中已引进记号 ， 代表代数方程 一个根， 其含义为 。 对 平面上一个点 ，其中 为实数，称 为A之对应的一个复数，通常记为。 也用 记的实部 ， 记的虚部 （如图1-1）。平面也称复平面。 对点 有惟一的向量 与之对应，所以复数 也是与向量 一一对应的，与原点或零向量对应的复数为 。

3. 定义复数 的绝对值 为向量 的模 ，即 可见总有 2 共轭复数 与点 关于实轴对称的点为 ，对 ，记 ，并称 为 的共轭复数，即 。

4. 图 1-2 • 如图1-2，显然有 。

5. 设有两个复数 与 ， 是指相对应的两个向量 和 相等，即。由于向量之间无不等式关系，故复数之间也不能比较大小。而由向量加减法的平行四边形法则，下列关于复数的模的三角不等式成立：

6. 4复数的乘法运算 求模 • 两个一元实系数多项式 和 的乘积，当取 时，由于 ，可得复数 和 的乘积: • 于是对复数

7. 复分式的分母实数化 设有复数 ， ，（ ），则 除 即相当于求 的值。对分式进行分母实数化，可得

8. 例1-1 设 ， 求 。 解：

9. 例1-2 设 ，求 ， 解：

10. 5 复数共轭下的四则运算 在今后应用中常进行复数共轭下的四则运算，主要 规则如下： 1 2 3 4

11. 例1-3 设 及 为两个复数，试证： 并用此等式证明三角不等式。 证： 由于， 所以由所证等式可得三角不等式。

12. 二． 复数的三角表示 1.三角表示 • 设 为一实数，由高等数学可知： • ， • 可得到 • 于是类比高等数学中指数函数的级数表达式，可记 • 这就是所谓欧拉公式。

13. 图1-4 对复数 ，利用极坐标公式 和欧拉公式有 复数的这种表示称为三角表示。这里 称为 的模， 为 的幅角，如图1-4。

14. 显然有。当复数 ， 。 这里 由 惟一确定而被称为复数 的主幅角。记 ， ，所以有 于是 表示复数 的幅角，而 表示复数 的主幅角。只有当 时， 无定义。

15. 2.关于幅角的计算： • 非零复数 的主幅角为从正实轴出发绕原点到向量 所在的射线所经过的绝对值小于或等于 • 的角 ，若 在上半平面及负实轴上时主幅角为正角，反之为负角。而 若在正实轴上时，即当 时， 。按此定义有

16. 所以，当 ， • 当 ， • 当 ，

17. 例1-4 求 和 。 解：由公式上述公式可知

18. 例1-5 把 进行三角表示。 解：因为 ，及 所以有

19. 例1-6 设则有 。 证：记 。由于，注意到 有 =|z| 再由三角不等式得到

20. 3.复数乘积的模和幅角 设有两个复数 表示成下列三角式 下面是它们的积的三角表示式，如图1-5：

21. 所以， ，

22. 例1-7 试求的模和主幅角。 解：记，有 ，所以， 但是 。故有 。另外，因 又因 ， 所以， 。即

23. 从几何上看，将复数 与复数 相乘相当于把 所代表的向量伸（或缩） 倍后再转 度角。 • 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转 度角，从而得到向量 ，而此向量对应复数 -1，这也可解释 为 的根。

24. 用数学归纳法可得，当 特别有， 作为特例有，当 注意，

25. 例如：取 ，则 故有 但是 从而 可见 取 的任意偶数倍，而 只取的 部分偶数倍，所以

26. 4.复数方根 给定非零复数 , 的 次方根 为使得 成立的复数 . 下面利用复数三角式求之。设 ， 待定 。由于 ，故有 所以， , 即

27. 例1-9 求 复数 的四次方根 . 解：令 ，有 所以， ，而由 得到

28. 5.单位圆内接正 边形的顶点的复数表示 • 设其中一个顶点为 其复数表示 若将其余 个顶点按逆时针依次在单位圆周上标出，记为 并相应以 表示对应的复数，则显然有 而对每个 ，从 沿单位圆周逆时针转移到 ，所转过的角度为 若 ，则 ，若 ，则 。

29. 于是有统一表达式，对 ，这正是1的ｎ次方根的ｎ个值。

30. 三. 平面点集的复数表示 1.平面曲线和区域的常识 本课程仅涉及平面上按段光滑曲线，即由有限段光滑曲线首尾连接而成。而所谓光滑曲线是指有连续切线的曲线，即该曲线的参数方程： 满足 在 连续，且

31. 若所论按段光滑曲线已定向，则 总表示按此方向沿曲线经过的始端，而 总表示按此方向沿曲线经过的终端。若存在两相异的参数 ，使得 ，则称 为曲线的一个重点。若满足 • ，称此曲线为闭曲线。无重点的按段光滑曲线也称为简单曲线。 无重点的按段光滑闭曲线称简单闭曲线。数学上可证明任一条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是任一条简单闭曲线总是有有限长度的。

32. 平面上以 为心， 为半径的圆周显然是一条简单闭曲线。 • 对给定点 和正数 ，称 为P的一个邻域 。

33. 平面上的区域 为可用折线连通的开集， 即满足： （1）对任意一点 ,存在 ，使得， （2） 内任意两点可用一条完全含于内 的折线相连接。 对平面上的区域 ，若存在一个正数 使得 ，称 为有界区域，否则称为无界区域。

34. 图 1-6 • 如图1-6，平面被以 为中心， 为半径的圆周所围住的部分，即圆的内部，显然是一个有界区域，而未围住的部分，即圆的外部，当然是一个无界区域。由此，显而易见的事实（称为约当定理）对所有简单闭曲线都成立。可是严格的证明却比较复杂，不属于本课程范围。

35. 再看曲线的定向。一般非闭的简单曲线的定向是人为的，因题而异，个案是给定的。 但是一条简单闭曲线的定向原则是确定的：由约当定理可知，它把平面分为内外两部分，以自身为界，内部为一有界区域，外部为一无界区域。规定这条简单闭曲线的正向为，当设想你在此曲线上行走时，保持内部有界区域始终位于你的左边。换言之，一条简单闭曲线的正向规定为逆时针方向。

36. （a） (b) (c) (d) 图 1-7 • 单连域：设 为一个区域，如果 内任一条简单闭曲线在平面上所围的内部有界区域完全含于 • 内，则称为单连通区域，简称单连域。如图1-7，

37. (b) (a) 图 1-8 圆内部，多边形内部，半平面，角域等都是 单连域。 有一类重要的单连域 即作为一条简单闭曲线 的内部而形成，数学上称 连同 一起的集合为 的闭包，记为 也称 为 的边界。 • 多连域：即非单连通区域。多连域的典型例子为环域及圆内挖去有限个互不相交的小圆后所剩的区域（如图1-8）。

38. 本课程中经常出现的多连域 为有限条简单闭曲线 按以下方式围成的区域：设 分别为 的内部区域，满足 (1) （2） （3） 称此多连域 为复围线

39. 围成的区域, 即 。也称 为 的边界。而数学上称 即 连同 起的集合为多连域 的闭包，也记为 。而复围线 的正向定义为，在 上取逆时针方向，而在 上都取顺时针方向。

40. 2 平面曲线的复数表示 • 由解析几何可知，平面曲线的一般方程式为： 经变换　 得到Ｃ的复数表示

41. 若平面曲线参数方程为 则其复数表示为

42. 例1-10（1）求连接 及 两点的线段的参数方程； （2）求过 及 两点的直线的参数方程。 解：（1）连接 及 两点的线段的参数方程为 （2）求过 及 两点的直线的参数方程为

43. 例1-11 求以 为心，R为半径的圆周参数方程复数形式。 解： 解析几何中，该圆的参数方程为： 故有复数形式的

44. 例1-12考察平面上的曲线具有下列复数形式： 并给出该曲线实形式的代数方程。 解： 先看满足题意的曲线上的点在平面上的性态。考察以 三点构成的三角形，并取点 当 即三角形 在B点处的外角。于是，若 在曲线上，则有

45. 即在上半平面内所论曲线上的点 ，记为C, 与三点 构成的三角形 的顶角 始终等于 。由平面几何可知，这表明所论曲线在上半面内为以线段AB为弦，圆周角为 的一条圆弧（不含A,B两点）：当 ， ， 由于 ，故有 ， 即可知下半平面内没有所论曲线上的点。

46. y x 0 1 1 图 1-9 图1-9 而当 ，由于 在 无定义，仅需考察点，，，但此时显然有， ，即可知在实轴上没有所论曲线上的点。由以上分析，利用平面几何，不难得到所论曲线的实形式的代数方程（如图1-9）：

47. 3 重要区域的复数表示举例（图示） （1）圆内： ；圆外：（图1-10） 图 1-10 阴影部分为 ，阴影之外为

48. 上半平面：角域： （图11） 上半平面 角域

49. 四．复变函数的概念 复变函数的定义 复变量被定义为取复数值的变量。复变函数则定义为复 平面上某个集合到 复平面的映射，可完全模仿高等数 学中的一元实函数及其记号而得到： ，不过这 里 ， 都为复变量。它应遵从作为函数的最基本原则： （1） 作为定义域，要确定; （2）按一定的规律，对每个 有惟一的 与 对 应。也称 所在的复平面为 平面， 而 所在的复平面为 平面（见图示）。

50. z D 复变函数 可视为从 平面到 平面的一个映 射，D为原象，而 为象集（图1-15）。如图所示 图 1-15