第二章 典型的数学建模案例

1. 第二章 典型的数学建模案例

2. 双层玻璃的功效问题 北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。

3. 模型准备: 热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果: 厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d k为热传导系数.（物理定律） 模型假设:(根据上定律做假设) 1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)； 2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数)； 3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)

4. T a Tb 符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度 T2:室外温度 Ta:靠近内层玻璃温度 Tb:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k1:玻璃热传导系数 k2:空气热传导系数 T2 T1 L

5. 模型构成: 由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量 消去不方便测量的T1 ,T2,有

6. 对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,有热传导:对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,有热传导: 而 说明双层玻璃比单层玻璃保温! 为得定量结果,考虑的s的值,查资料有 常用玻璃:k1=410-3 810-3 (焦耳/厘米.秒.度) 静止的干燥空气:k2=2.510 -4 (焦耳/厘米.秒.度)

7. 若取最保守的估计,有 显然Q/Q'可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效,它是h的函数. 从图形考察它的取值情况.

8. 此函数无极小值,从图中可知: 当h从0变大时,Q/Q'迅速下降,但h超过4后下降变慢. h不易选择过大,以免浪费材料! 模型应用: 通常取h4,有Q/Q'3%,此时双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达97%

9. 搭积木问题 将一块积木作为基础，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的“向右前伸”可以达到多少？

10. 模型准备 这个问题涉计到重心的概念

11. 关于重心的结果有： 设xoy平面上有n个质点，它们的坐标分别为 (x1 ,y1)，(x2 ,y2)，…, (xn ,yn)，对应的质量分别为m1,m2,…, mn,则该质点系的重心坐标满足关系式

12. 模型假设 • 所有积木的长度和重量均为一个单位 • 参与叠放的积木有足够多 • 每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同 • 最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上

13. x 模型构成 1．考虑两块积木的叠放情况 对只有两块积木的叠放，注意到，此时使叠放后的积木平衡主要取决于上面的积木，而下面的积木只起到支撑作用。假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为x。 上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为1/2。

14. 模型构成 2．考虑n块积木的叠放情况 为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插入在最底下的积木下方。于是，我们的问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。 这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假设已经叠放好n（n>1）块积木后，再加一块积木的怎样叠放问题。

15. 下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。 假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图）。考虑上面的n块积木的重心关系。 把上面的n块积木分成两部分 1. 从最高层开始的前n-1块积木，记它们的水平重心为x1,总质量为n-1; 2. 与最底层积木相连的第n块积木, 记它的水平重心为x2,质量为1.

16. 1.把上面的n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标 。n块积木的质量为n。在平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端，即有 ； 2.假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z，即有x1=z，而第n块积木的水平重心在距第n块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第n块积木的水平重心坐标为 。由重心的关系，有

17. 设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为dn+1，则有设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为dn+1，则有 说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。 本题给出的启示 当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。

18. 公平席位分配问题 某学院的最初人数见下表,此系设20个学生代表席位 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位

19. 若出现学生转系情况： 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 惯例席位分配方法为: 比例分配出现小数时,先按整数分配席位,余下席位按小数的大小依次分配之.

20. 为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加一席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 出现增加一席后,丙系却少一席的情况,说明按惯例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配席位方法.

21. 模型构成 讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A p1n1 p1/n1 单位B p2n2 p2/n2 要公平,应该

22. 一般不成立！ 但 若p1/n1> p2/n2 则单位A 吃亏(对单位A不公平 ) 若p1/n1< p2/n2则单位B 吃亏(对单位B不公平 ) 用 来衡量分配不公平程度 但此公式有不足之处（绝对数的特点），如： n1 =n2 =10 ,p1 =120 ,p2=100, p=2 n1 =n2 =10 ,p1 =1020 ,p2=1000, p=2

23. 采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式：采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式： 对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平.

24. 确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案）确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案） 假设单位A和单位B的人数分别为p1和p2 ，对应的席位为n1和n2 ，再分配一个席位时,有 1.当该席位分配给单位A时有对单位B的不公平值为 2.当该席位分配给单位B 时有对单位A的不公平值为

25. 究竟这个新席位应该分给哪一方，用这两个新的不公平值来决定。为得出一个便于使用的分配公式，我们从分配的结果来寻找这个新的分配公式。 若rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1),用不公平值的公式应该有增加的一席应给A，对应的不等式为 故可以令 于是增加的席位分配由Qi的最小值决定。

26. 上面的讨论说明Qk大的一方应该得到新增的一个席位。这说明我们可由Qk的大小决定新席位的分配。 上面的分配方式可以推广到两个以上单位的情况，此时有新的席位应该给所有Qk的最大者对应的单位，称用Qk的最大值决定席位分配的方法为Q值法。 对多个单位（m个单位）的席位分配Q值法可以描述为： 1．先计算每个单位的Q值： Qk , k=1,2,…,m 2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）； 3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i个单位。 这种分配方法很容易编程处理。

27. 模型求解 先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为 甲　　 10.815 n1=10 乙　　 6.615 n2=6 丙　 　3.570 n3=3 第２０席的分配由Q值决定

28. 第２１席的分配由Q值决定为 最后的席位分配为： 甲　１１席；乙　　６席；丙　　４席 注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3=1逐次增加一席，也可以得到同样的结果。该方法可以推广到一般情况。

29. 实物交换问题 甲有玉米若干千克，乙有山羊若干只。因为各自的需要，甲乙想交换彼此的东西，问怎样做才能完成交换活动？

30. 模型准备 实物交换问题在个人之间或国家之间的各类贸易中经常遇到。通常，交换的结果取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出一个确切的定量关系，此时，可以采用图形法建模的方式来描述双方如何交换物品才能完成交换活动。

31. 模型假设 • 交换不涉及其他因素，只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关 • 交换按等价交换原则进行

32. 模型构成 设交换前甲有玉米为X千克，乙有山羊Y只，交换后甲有玉米为x千克、山羊y只。 在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只，于是可以用一个平面坐标中的二维点坐标（x, y）描述一种交换方案，而这些坐标点满足 0 x X, 0 y Y 即交换只在这个平面矩形区域内发生。

33. 衡量偏爱程度的无差别曲线概念 无差别曲线表示为 f (x, y) = c，c称为在点(x, y)的满意度。 无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线或可以看成二元函数f (x, y)的等高线，虽然f (x, y)没有具体的表达式，但我们可以讨论这族无差别曲线的特点。

34. 无差别的曲f(x, y) = c的特点: 1.无差别曲线是彼此不相交的； 2.无差别取曲线是单调递减的； 3.满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方 4.无差别曲线是下凸的。

35. 实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生，要借助交换的原则。由假设2，交换按等价交换的原则。实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生，要借助交换的原则。由假设2，交换按等价交换的原则。 设玉米的价格为每千克p元，山羊的价格为每只q元，则有交换前甲方拥有玉米的价值为pX, 乙方拥有山羊的价值为qY。若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即 pX=qY 则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价值为 px+qy 乙方拥有玉米和山羊的价值为 p(X-x)+q(Y-y) 按按等价交换的原则应该有 px+qy=p(X-x)+q(Y-y) 用关系pX=qY，可得实际交换的点（x,y）满足关系式： x/X+y/Y = 1

36. y （X,Y） x 此曲线是一条直线，在交换路径坐标系中画出此曲线就得到实际交换发生的点。

37. 建模实例： 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模型假设 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设） 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。（对地面的假设） 3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）

38. 模型构成： 用变量表示椅子的位置，引如平面图形及坐标系如图 图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角线，由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度来唯一表示。 设某椅子脚与地面的垂直距离为y，显然它是的函数，记为 y=f()，由于正方形的中心对称性，可以用对应的两个脚与地面的距离之和来表示这两个脚与地面的距离关系 记 f()为A、C的距离之和 g()为B、D的距离之和 显然f()0、 g()0，都是的连续 函数（假设2），由假设3，对任意 的，有f()、 g()至少有一个为0， 不妨设当=0时，f()>0、 g()=0 故此本问题归为证明如下数学命题： B B A A C  D C D

39. 数学命题:（本问题的数学模型） 已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在0，使f(0)= g(0)=0 模型求解 证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0 令h()=f() - g(), 则有h(0) >0和h(/2) <0 由h()的连续性及连续函数的中值定理，必存在 一个0（0， /2），使h(0)=0，即则有存在0，使f(0)= g(0)=0。