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1. Poliedros Prof. Hugo A. Snchez Surez
2. POLIEDROS Etimolgicamente:
La palabra poliedro deriva de los trminos griegos:
Poli (?o??s) mucho, varios y
Edro (ed?a) plano.
3. CUERPOS SLIDOS Un cuerpo slido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.
Los cuerpos geomtricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).
4. Actividad a. Qu caractersticas comunes ves a todos ellos?
5. DEFINICIN Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son slidos limitados por caras en forma de polgonos.
6. ngulos diedros Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ngulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta comn a las dos caras se llama arista.
7. Si son tres planos los que se cortan, se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.
Al punto comn se le llama vrtice.
8. Actividad Observa los siguientes poliedros.
9. DEFINICIN A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cncavos y a los dems convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.
10. Actividad En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En l se te indican algunos elementos caractersticos.
11. FRMULA DE EULER (1750) En los poliedros de la figura, cuenta el nmero de caras, vrtices y aristas y escrbelos en la tabla.
12. CONCLUSIN En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el nmero de caras ms el nmero de vrtices es igual al nmero de aristas ms dos:
13. Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer:
14. Explica razonadamente cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cules son falsas 1. El nmero de aristas de un poliedro que concurren en un vrtice es, como mnimo, 4.
15. POLIEDROS REGULARES Se les conoce con el nombre de slidos platnicos en honor a Platn (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qu poca llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitgoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)
16. DEFINICIN Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vrtices son del mismo orden.
17. TETRAEDRO REGULAR Formado por tres tringulos equilteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparacin con su superficie. Representa el fuego. Est formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vrtices.
18. OCTAEDRO REGULAR Formado por ocho tringulos equilteros. Gira libremente cuando se sujeta por vrtices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Est formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vrtices.
19. ICOSAEDRO REGULAR Formado por veinte tringulos equilteros. Es el tiene mayor volumen en relacin con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vrtices.
20. HEXAEDRO REGULAR O CUBO Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Est formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vrtices.
21. DODECAEDRO REGULAR Formado por doce pentgonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vrtices.
22. A finales del siglo XVI, Kepler imagin una relacin entre los cinco poliedros regulares y las rbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno). Segn l cada planeta se mova en una esfera separada de la contigua por un slido platnico.
23. DESARROLLO DE POLIEDROS Si en un poliedro cortamos por un nmero suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.
24. Un desarrollo de cada slido platnico
