误差理论与测量平差基础

1. 误差理论与测量平差基础 第10章误差椭圆 主讲：王华

3. GPS Only 2001 Kokoxili

4. GPS &InSAR 2001 Kokoxili

5. 主要内容 • 点位中误差 • 点位任意方向的位差 • 误差曲线 • 误差椭圆 • 相对误差椭圆 • 点位落入误差椭圆内的概率

6. 1.点位中误差

7. 点位中误差定义 • 在某一个确定的坐标系中，假设A点是已知点，P为待定点，其真位置和观测位置分别是 • 其坐标真误差为 • 由此而产生的距离称为P点的点位真误差， 简称真位差:

8. 坐标系旋转某一角度，待定点P的坐标真值和观测值分别为坐标系旋转某一角度，待定点P的坐标真值和观测值分别为 真误差为，但真位差不变 点位真位差的性质 待定点的点位真位差与坐标系的选择无关，但在不同方向上真位差的分量不同； 任何一点的真位差的平方总是等于两个相互垂直方向上真误差分量的平方之和。

9. Δy P’ Δu ΔP Δx Δs P A y x 纵向误差：真位差p在AP方向的投影s； 横向误差：真位差p在AP的垂直方向的投影u。 真位差：

10. 2.点位中误差的计算 • 待定点的纵横坐标方差的实际计算公式为 点位方差： • 间接平差中待定点坐标协因数阵的计算 • 以三角网中待定点的坐标作为未知参数，按照间接平差法进行平差时，法方程的系数方阵的逆阵就是未知参数的协因数阵，即 （只有一个待定点时）

11. 条件平差中待定点坐标协因数阵的计算 当按照条件平差法进行平差时，设待定点的P的坐标权函数式为 平差值的协因数阵为 待定点坐标协因数阵为 • 待定点的坐标方差估值和点位方差估值

12. 2.点位任意方向的位差

13. 一、任意方向的位差 1、待定点在某一方向的真误差——P点点位真误差在方向的投影 假设在P点作一标准方向（纵坐标轴），从标准方向开始顺时针系绕P点旋转角度后，则待定点P在方向的真误差为，即P点点位真误差在方向的投影，其与P点坐标真误差x、y的关系为 2、方向位差的协因数 运用协因数传播律，为 3、P点在方向上的位差（计算式）

14. 4、P点在垂直方向上的位差 由此： 点位方差可以表示为任意两个垂直方向的方差分量之和

15. 二、位差的极大值E和极小值F 1、位差极大值E和极小值F的协因数 在众多的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分别设为 它们实际上就是在某一坐标系下点坐标协因素阵的特征值的两个根，向量的特征方程为 展开得 解得 式中

16. 2、位差极大值E和极小值F的计算 或 由于 故位差极大值E和极小值F相互垂直。 3、位差极大值E和极小值F的方向 分别表示P点在方向E和F上位差的权倒数，在E方向上的位差具有极大值E，在F方向上的位差具有极小值F。求出 E和F的值，才能知道极大值和极小值的方向。

17. 实际上分别是特征值 对应的特征向量的方位角，作的特征向量方程 或 则解得具有位差极大值的方向为： 类似地可以得到： 解得具有位差极小值的方向为：

18. 所以，当Qxy>0，极大值E在第一、三象限；极小值F在第二、、四象限。所以，当Qxy>0，极大值E在第一、三象限；极小值F在第二、、四象限。 当Qxy< 0，极大值E在第二、四象限；极小值F在第一、三象限。 可以看出，位差取得极大值和极小值都在互差180°的两个方向上，而且极大值与极小值的方向总是互相正交，即 极大值的两个方向为 极小值的两个方向为

19. 例10-1 已知某平面控制网中待定点P坐标平差值的协因数为 并求得，试求E、F 和之值。 解： 解得

20. 三、以极值E和F表示的任意方向上的位差 • 任意方向上的位差公式(1)式中的任意方向φ是从X轴起算的。若从极大值方向（E轴）起算，其公式会是怎样的呢？下面来推导。 方向上的位差：以极大值E轴（即方向 ）为起算 方向顺时针到任意方向的位差。 以极值E和F表示为坐标轴，任意方向上的误差是 方向上的位差的协因数

21. 另外由于 顾及 求得E、F的互协因数为 由 知

22. 例10-2 数据同例10-1，试计算当 =13°时的位差。 解：已知

23. 3.误差曲线

24. 误差曲线 以极大值方向与极小值方向的交点为极点、以极大值方向E为极轴、以不同的方位角 （由E轴起算）和位差 为极坐标的点的轨迹，是一条闭合曲线，形状如下图。 图中任意方向 上的向径 OP就是该方向上的位差 。 该曲线将各方向上的位差清 清楚楚地图解出来了。由图 知，该曲线关于E轴和F轴对 称。称该曲线为点位误差曲线。

26. 4.误差椭圆

27. 点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降低了它的实用价值。但可以用E、F为长半轴和短半轴的椭圆代替，此椭圆称为点位的误差椭圆。所以在实际应用中常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。在点位误差椭圆上可以图解出任意方向的位差。点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降低了它的实用价值。但可以用E、F为长半轴和短半轴的椭圆代替，此椭圆称为点位的误差椭圆。所以在实际应用中常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。在点位误差椭圆上可以图解出任意方向的位差。 1、点位误差椭圆的参数： 2、在点位误差椭圆上图解任意方向的位差 自椭圆作方向的正交切线PD，P为切点，D为垂足，则方向的位差为

28. 3、误差曲线的椭圆方程 在图10-8中，粗虚线EF表示误差曲线，大圆弧EE′的半径是E,小圆弧FF′的半径是F,作一以oE为起始方向的角度的向径，交大圆于P′,交小圆于P″，过P′作y轴的平行线交x轴于a点。过P″作x轴的平行线交y轴于b点,两平行线的交点P,正好是椭圆上的一点。得其参数方程为 椭圆方程为

29. 5.相对误差椭圆

30. 利用误差曲线或误差椭圆可以已知点与任一待定点间的边长中误差和方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长中误差和方位角中误差，因为这些待定点的坐标是相关的。为了确定任意两个待定点与待定点之间的相对位置精度，就需要做出两个待定点之间的相对误差椭圆。利用误差曲线或误差椭圆可以已知点与任一待定点间的边长中误差和方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长中误差和方位角中误差，因为这些待定点的坐标是相关的。为了确定任意两个待定点与待定点之间的相对位置精度，就需要做出两个待定点之间的相对误差椭圆。 一、相对误差椭圆的参数计算 1、两待定点相对位置关系 设两个待定点为Pi和Pk，两点的相对位置可通过其坐标差来表示，即 2、坐标增量的协因数有

31. 据协因数传播律，有

32. 单位权中误差的估值为 3、两待定点间相对误差椭圆参数的计算 （10-5-3） 例10-3 在平面控制网中插入P1和P2两个新点，用间接平差法平差法方程为

33. 解得参数的协因数阵为 解：（1）计算P1点的误差椭圆参数

34. （2）计算P2点的误差椭圆参数

35. （3）计算两点间的相对误差椭圆参数

36. 图10-10 4、相对误差椭圆的绘制及应用 P1,P2点的相对误差椭圆一般画在相关两点连线的中间位置，如图10-10的O点。先绘出坐标轴的方向，按比例绘出这两点位置，找出连线中点，确定极大值、极小值的方向，按比例绘出相对误差椭圆曲线。 相对误差椭圆的应用 求SP1P2的中误差：作P1 P2的垂线，且与相对误差椭圆相切，则垂足e到中心o的长度oe即为 求P1 P2边的横向位差：过O点作P1 P2的垂线of,与相对误差椭圆相交于g点，Og就是该边的横向位差，可据此和边长求出该边的方位角中误差。

37. 6.点位落入误差椭圆内的概率

38. 平面控制点的点位是通过一组观测值求得的，由于观测值带有随机误差，求得的点位通常不是其真位置。随着观测值的不同，实际求得的点位分布于待定点真位置周围的一组平面上的随机点,其误差分布就是二维正态分布。平面控制点的点位是通过一组观测值求得的，由于观测值带有随机误差，求得的点位通常不是其真位置。随着观测值的不同，实际求得的点位分布于待定点真位置周围的一组平面上的随机点,其误差分布就是二维正态分布。 1、二维正态分布的联合密度函数 （10-6-1） 式中，分别为待定点x、y坐标的数学期望、中误差、协方差，是随机向量x与y的相关系数，即

39. 图10-11 2、二维正态分布曲面与误差椭圆 在几何上可以把二维正态分布函数f ( x , y )描绘成某一曲面（图10-11），称其为分布曲面，形状如山峰，在点上达到高峰。 用平行于f ( x , y )轴的平面截分布曲面，得到类似于正态分布的曲线。用平行于平面xOy的平面截该分布曲面,将截交线投影到xOy平面上，得到一族同心的椭圆，这些椭圆的圆心是，它们的方程是 式中为一常数。 这些椭圆称为等密度椭圆。当分布密度函数f ( x , y )为不同常数时，这族同心椭圆反映了待定点点位分布情况，故称为误差椭圆。

40. 3、误差椭圆方程的标准化 将坐标原点移到椭圆中心上，误差椭圆方程为 或 解析几何中，为消去二次方程 中的Bxy项，使其标准化，需要将坐标系旋转一角，其角值为 将（10-6-4）式中的系数代入上式，则有 则上式可以写成

41. 由式计算出的旋转角度实际上就是点位位差取得极大值、极小值的方向。即坐标轴旋转与E、F方向重合，椭圆方程就可变成标准化形式。此时=0,令=k，则式由式计算出的旋转角度实际上就是点位位差取得极大值、极小值的方向。即坐标轴旋转与E、F方向重合，椭圆方程就可变成标准化形式。此时=0,令=k，则式 可写为 当k取不同值时，就得到一族同心的误差椭圆，记作。当k=1时，误差椭圆为标准误差椭圆。 4、标准化后的二维正态分布的密度函数 经过上述简化后，二维正态分布的密度函数为

42. 5、待定点落入误差椭圆内的概率 经过上述简化后，待定点落入误差椭圆族（记作）内的概率为 令 则标准的误差椭圆方程为 上式是一族半径为圆的方程，待定点落入误差椭圆内的概率就相当于落入圆内的概率，因而有 （10-6-6） 令 将其代入（10-6-6）式，则将平面直角坐标转换为极坐标表达式,即

43. 图10-12 给予不同的k值，就得到误差椭圆相对应的概率P,见表10-1。 将k=1、2、3、4的四个相应的误差椭圆画于图10-12中，右下部分的数字表明是在该半径的 误差椭圆内出现的概率，左上部分的数字是两相邻半径误差椭圆出现的概率差值。待定点误差出现在k=1、2两个椭圆之间的概率最大，约为47%，而点出现在k=3椭圆以外的概率很小，约为1%，k=3为最大的误差椭圆。