APLICACIONES DE LAS MATRICES A LA VIDA COTIDIANA

1. APLICACIONES DE LAS MATRICES A LA VIDA COTIDIANA Pablo Ledesma Menchón

2. ÍNDICE • NOMBRE Y ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. • TIPOS DE MATRICES. • ÁLGEBRA MATRICIAL Y DETERMINANTES. • RESOLUCIÓN DE CURVAS CÓNICAS. • ADMINISTRACIÓN Y FINANCIAS. • FÍSICA CUÁNTICA. • EJEMPLO DE RESOLUCIÓN MATRICIAL. Pablo Ledesma Menchón

3. NOMBRE Y ELEMENTOS DE UNA MATRIZ • El nombre de una matriz viene dado por la letra del alfabeto con que se le designe. Así si designamos una matriz con la letra A sus elementos cuando lo queramos mencionar todos juntos solo tenemos que decir la matriz A. • A un elemento de la matriz A se le puede se le puede designar con la letra aij. • Las matrices cuentan con 5 elemento nobles: Filas, Columnas, Diagonal Principal, Secundaria y la Traza. • Filas: Todos los elementos depuesto en forma horizontal. • Columna: Todos los elementos situados en forma vertical. • Diagonal principal: Todos los elementos que se encuentran partiendo de la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. • Diagonal secundaria: Todos los elementos que se encuentran partiendo de la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. • Traza: es la suma de los elementos que se encuentran en la diagonal principal. Pablo Ledesma Menchón

4. TIPOS DE MATRICES • Matriz Nula: Matroz en la que todos sus elementos son nulos. • Matriz Rectangular: Matriz que tiene distinto numero de fila que de columna. • Matriz Diagonal: Solo los elementos de la diagonal principal no son nulos. • Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, con la diferencia de que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. • Matriz Unidad: Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. • Matriz transpuesta: Matriz que se obtienen de intercambiar las filas por las columnas. • Matriz simétrica: matriz en la que sus conjugados son iguales. Aquí también se cumple que si obtiene su transpuesta es la misma matriz original. • Matriz Antisimetrica: Aquí sus conjugados tiene signos distintos y la diagonal principal es nula. • Matriz Negativa u Opuesta: Matriz que se obtiene de intercambiar los signos de la matriz original. • Matriz Triangular superior: aquella matriz en la que los elementos por debajo de la diagonal principal son todos nulos: • Matriz Triangular Inferior: Matriz donde sus elementos por encima de la diagonal principal son nulos. Pablo Ledesma Menchón

5. ÁLGEBRA MATRICIAL Y DETERMINANTES • El estudio del álgebra lineal resulta esencial en las carreras de ciencias exactas ya que provee de herramientas necesarias para encarar la resolución de problemas que plantean otras ciencias e incluso otras ramas de la matemática. Son innumerables las aplicaciones de esta disciplina en la ciencia y en la vida real. • Básicamente el álgebra lineal estudia los espacios vectoriales, las transformaciones lineales entre ellos y todos aquellos objetos vinculados con los conceptos mencionados, como por ejemplo: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, valores y vectores propios, etc. • Muchas veces se dispone de una gran cantidad de datos con lo cual se hace necesario organizarlos para que sean rápidamente identificados y su manipulación resulte sencilla. Pablo Ledesma Menchón

6. RESOLUCIÓN DE CURVAS CÓNICAS • Las curvas (como elipse, la parábola y la hipérbola) que se obtienen al seccionar un cono por un plano se llaman cónicas. Si desarrollamos la ecuación (ax + by + c)2 = 0 podemos expresarla de esta forma: a00+ 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 Esta es la ecuación general de cualquier cónica. Esta ecuación se puede expresar elegantemente en forma matricial. • Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, se dice que la cónica es degenerada y no degenerada en caso contrario. La ecuación general puede simplificarse (girando y trasladando los ejes coordenados) de forma que sólo queden los términos elevados al cuadrado y el término independiente. Esta forma de la ecuación se llama ecuación reducida. • Haciendo los cambios oportunos la ecuación general se puede transformar en una de los siguientes: x2/ a2 + y2 / b2 = 1 (elipse, cuando a = b circunferencia).x2/ a2 + y2 / b2 = -1 (elipse imaginaria).x2/ a2 + y2 / b2 = 0 (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real).x2 / a2- y2 / b2 = 1 (hipérbola).x2 / a2- y2 / b2 = 0 (par de rectas reales que se cortan).x2 - 2py = 0 (parábola).y2 - 2px = 0 (parábola).x2 - a2 = 0 (par de rectas reales paralelas).x2 + a2 = 0 (par de rectas imaginarias paralelas).x2 = 0 (par de rectas reales coincidentes). Pablo Ledesma Menchón

7. ADMINISTRACIÓN Y FINANCIAS • Es necesario si se conoce que para las ventas hay que llegar a un punto de equilibrio dado por la suma de utilidad - costos de producción, a groso modo. Además si de los costos de producción se conoce que es igual a la suma de los gastos operacionales y los gastos no operacionales. De los cuales se derivan muchas variables, por tanto usando las matrices se puede calcular el valor de cada variable en el sistema de ecuaciones simultáneas que se requiera por más complejo que sea. Pablo Ledesma Menchón

8. FÍSICA CUÁNTICA • Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang ErnstPauli. Estas matrices tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de espín para una partícula de espín 1/2, como un electrón, un neutrón o un protón. Así el observable, que sirve para medir al espín, o momento angular intrínseco, de un electrón, en la dirección i, viene dado por un operador. • Cumplen las reglas de conmutación del álgebra de Lie donde es el Símbolo de Levi-Civita (pseudotensor totalmente antisimétrico).También satisfacen la siguiente regla de anticonmutación • Otras propiedades importantes son: • Caso de espín 1/2 Las matrices de Pauli son tres, al igual que la dimensión del álgebra del Lie del grupo SU(2). • Caso de espín 1 Por abuso de lenguaje se suele llamar matrices de Pauli a otras representaciones lineales diferentes a las usadas en el caso de espín 1/2 anterior. Por ejemplo para representar el espín de una partícula con valor 1, se usa la representación lineal mediante matrices de 3x3 Pablo Ledesma Menchón

9. EJERCICIO RESUELTO Pablo Ledesma Menchón