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常外数学视野. 陈 伟. 关于常外. 常外是美丽的花园 常外是师生的家园 常外是学习的乐园 常外的人勤勉严谨 常外的人睿智开放. 数学是什么?. 数学的通常定义 : 字面解释 ——“ 数学 ” 是数的学问 数学是量的科学(亚里士德) 数学是关于现实社会的空间形式和数量关系的科学(恩格斯)(抽象结构、形式体系和一般关系). 数学的归属. 数学不属于传统学科分类中自然科学或社会科学中的任何一类。 自然科学 —— 研究自然界的物质形态、结构、性质和运动规律的科学。
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常外数学视野 陈 伟
关于常外 常外是美丽的花园 常外是师生的家园 常外是学习的乐园 常外的人勤勉严谨 常外的人睿智开放
数学是什么? 数学的通常定义: • 字面解释——“数学”是数的学问 • 数学是量的科学(亚里士德) • 数学是关于现实社会的空间形式和数量关系的科学(恩格斯)(抽象结构、形式体系和一般关系)
数学的归属 • 数学不属于传统学科分类中自然科学或社会科学中的任何一类。 自然科学——研究自然界的物质形态、结构、性质和运动规律的科学。 • 《大不列颠百科全书》将人类文化知识分为六类:逻辑学、数学、科学、历史、人文科学和哲学。数学是独立的、非常特殊的一门科学。 • 数学不属于文科也不属于理科。
常外人眼中的数学 • 数学是工具——数学是研究自然的工具 • 数学是思维——数学是一种思维方式 • 数学是艺术——可看作人类一种思维的自由创造,一种发明 • 数学是语言——数学是一种通用语言 • 数学是猜测——数学研究的方式 • 数学是文化——“每一种文化都有自己的数学……”
数学是什么? 如果:你想当经济学家,药学家,化学家, 数学是统计分析工具 你想当物理学家,数学是微积分 你想当计算机专家,数学是算法语言 你想当建筑学家,数学是几何三视图 你想当数学家,数学就是你的世界 若果你不幸什么都当不了,小心数学就是你的克星!
数学的特点 • 抽象性—— 反思:强调的必要性是什么? • 严谨性——“严谨的形式逻辑演绎体系” 反思:数学哲学家拉卡托斯――证明与反驳的交互过程。 • 广泛应用性—— 反思:能被多少人感觉到?
数学思维的特点 宏观 ——数学思维乃是生动活泼的策略创造 微观 ——数学思维进行严谨的逻辑演绎。 策略创造是主导(70%) 逻辑演绎是基础(30%) 策略创造与逻辑演绎的结合
数学知识的特点 数学的真理如何被其它学科所使用? 数学之所以重要,就在于它是精确简约通用的科学语言。 通用精确简约的科学语言
数学美学的教学思考 境界一:美观 1/2+ 1/3 = 2/5 ? (和谐的天性) 境界二:美好 二次方程求根公式( 丑陋但美好) 境界三:美妙 辅助线,代换,变形,妙!(对人的冲击) 境界四:完美 数学的体系,数学的发展!( 人类的数学追求)
常外数学教学(包括竞赛教学)的传统 • 提供背景,开拓视野 • 尝试探究,训练思维 • 积累模型,解一通一 • 分组分类,强化训练
风筝形 镖形 图1 提供背景,开拓视野 • 下图是由风筝形和镖形两种不同的铺设砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案,并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度?
风筝形 镖形
像铺瓷砖那样的现象,在龟壳、鱼鳞甚至人的皮肤蓝胞上是很明显的,它们看上去就像是镶嵌一样。像铺瓷砖那样的现象,在龟壳、鱼鳞甚至人的皮肤蓝胞上是很明显的,它们看上去就像是镶嵌一样。 • 镶嵌分周期性和非周期性镶嵌。在周期性镶嵌中,一种基本的图案在人们眼睛往垂直和水平方向移动时,会重复地出现。图是用直角三角形做的非周期镶嵌的一个例子。
数学家相信,如果一种非周期镶嵌能够用特殊形状铺镶的话,那么用同样的形状也能做出一种周期的镶嵌,但是,并未证明。1964年,发现了一套只能用于非周期镶嵌的瓷砖,这套瓷砖含有20000种不同的形状。自然,人们会问:有无更少的瓷砖,用它们只能做非周期的镶嵌呢?数学家相信,如果一种非周期镶嵌能够用特殊形状铺镶的话,那么用同样的形状也能做出一种周期的镶嵌,但是,并未证明。1964年,发现了一套只能用于非周期镶嵌的瓷砖,这套瓷砖含有20000种不同的形状。自然,人们会问:有无更少的瓷砖,用它们只能做非周期的镶嵌呢? • 此题是著名数学物理家R.Penrose于1974年发现的一套能产生无数种不同的平面非周期镶嵌的瓷砖,仅有两种类型:镖形和风筝形。用Penrose瓷砖虽然不能作周期平面镶嵌,但是却有5折对称,即若将Penrose镶嵌印在一张透明纸上,将镶嵌旋转圈,图形和原有的图形相合。
例题2(日本算术奥林匹克) 尝试探究、训练思维 • 如图,四边形ABCD中,AD = DC = BC,角CDA = 150°,∠C为直角,则∠B=。
60 90 辅助线的添加显现了完美的对称
H A D E G B C F 积累模型,解一通一 下图是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是正方形四条边的中点,请计算图中红色八边形的面积。
H A D P E G M B C N F O P H A M O E N
我们在竞赛学习中获取的有价值的能力和影响 数学要求是: • 建立有适当运算的数学问题的能力; • 处理这些问题的各种技能的知识; • 了解一个问题的基本数学事实; • 用数学思想观察日常的或复杂的问题的能力; • 会提出与问题有关情景征求解答,因为大多数实际问题并无现成答案; • 具有运用和评价数学的信念。
民族数学 —— 一种该民族特有的数学知识体系 • 民族文化中特有的数学内容 • 民族特有的数学知识、风格 • 我们任重而道远