REALNE FUNKCIJE ENE REALNE SPREMENLJIVKE

1. REALNE FUNKCIJE ENE REALNE SPREMENLJIVKE

2. 3.1. Definicija in podajanje funkcije 3.2. Lastnosti funkcije (omejenost, monotonost) 3.3. Limita funkcije 3.4. Zveznost funkcij 3.5. Odvod funkcije 3.6. Uporaba odvoda 3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo 3.6.2. De l’Hospitalovo pravilo 3.6.3. Diferencial funkcije 3.6.4. Taylorjeva vrsta 3.6.5. Ekstrem funkcije 3.6.6. Konkavnost, konveksnost in prevoj 3.7. Nedoločeni integral 3.8. Določeni integral 3.9. Uporaba določenega integrala 3.9.1. Ploščina med krivuljama 3.9.2. Prostornina vrtenine

3. 3.1. Definicija in podajanje funkcije DEFINICIJA. Funkcija f: IR → IR je predpis, ki vsakemu številu x iz množice Df ⊆ IR priredi enolično določeno število y = f(x) ∈ IR. x - neodvisna spremenljivka, y - odvisna spremenljivka Df - definicijsko območje funkcije Df := {x ∈ IR; y = f(x) ∈ IR} ⊆ IR Zf - zaloga vrednosti ali zaklad funkcije, Zf := {y ∈ IR; ∃ x ∈ Df , tako da je y = f(x)} ⊆ IR

4. Primer. Poiščite definicijsko območje in zalogo vrednosti danih funkcij.

5. Podajanje funkcije 1. Opisno 2. Analitično – z enačbo 2.1. F(x, y) = 0 implicitna (nerazvita) oblika 2.2. y = f(x), x ∈ Df razvita (eksplicitna) oblika 2.3. x = x(p), y = y(p) parametrična oblika p ∈ IR parameter 3. Grafično Gf := {(x, y); x ∈ Df ∧ y = f(x)} graf funkcije

6. PRIMER • Krožnica s središčem v koordinatnem • izhodišču in polmerom 5. • 2.1. implicitna oblika • 2.2. , x ∈ [−5, 5] eksplicitna oblika • , x ∈ [−5, 5] eksplicitna oblika • 2.3. x = rcosϕ, • y = r sin ϕ, ϕ ∈ IR parametrična oblika.

7. 3.2.2. Omejenost funkcije DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] ⊆ Dfnavzgor omejena natanko tedaj, ko obstaja tako realno število G, da velja ocena f (x) ≤ G za vsak x ∈ [a, b]. Število G je zgornja meja funkcije na danem intervalu. DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] ⊆ Dfnavzdol omejena natanko tedaj, ko obstaja tako realno število g, da velja ocena f (x) ≥ g za vsak x ∈ [a, b]. Število g je spodnja meja funkcije na danem intervalu.

8. DEFINICIJA. Funkcija f je omejena na intervalu [a, b] ⊆ Df, natanko tedaj, ko je na tem intervalu omejena navzgor in navzdol.

9. DEFINICIJA. Natančna zgornja meja funkcije f na intervalu [a, b] je najmanjša zgornja meja. sup{ f (x); x ∈ [a, b] } := M[a,b] DEFINICIJA. Natančna spodnja meja funkcije f na intervalu [a, b] je največja spodnja meja. inf{ f (x); x ∈ [a, b] } := m[a,b]

10. Če je funkcija navzgor omejena na intervalu [a, b], velja za vsak x ∈ [a, b] ocena f (x) ≤ M[a,b]. Če je funkcija navzdol omejena na intervalu [a, b], velja za vsak x ∈ [a, b] ocena f (x) ≥ m[a,b]. Če je funkcija omejena na intervalu [a, b], potem velja za vsak x ∈ [a, b] ocena m[a,b] ≤ f (x) ≤ M[a,b].

11. Primeri. Raziščite omejenost danih funkcij.

12. 3.2.3. Monotonost funkcije DEFINICIJA. Funkcija je naraščajoča na intervalu [a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili sklep DEFINICIJA. Funkcija je strogo naraščajoča na intervalu [a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili sklep

13. DEFINICIJA. Funkcija je padajoča na intervalu [a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili sklep DEFINICIJA. Funkcija je strogo padajoča na intervalu [a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili sklep

14. Funkcija f je (strogo) naraščajoča (oziroma padajoča) v točki a ∈ Dfnatanko tedaj, ko je (strogo) naraščajoča (oziroma padajoča) v neki okolici točke a. Obstaja tako realno število ε > 0,da je f (strogo) naraščajoča (oziroma padajoča) na intervalu Uε(a) = (a − ε, a + ε).

15. Primer. Raziščite naraščanje oziroma padanje danih funkcij.

16. 3.3. Limita funkcije DEFINICIJA. Naj bo a notranja točka definicijskega območja funkcije f. Število A je limita funkcijef v točki a natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstajaδ > 0,tako da velja sklep |h| < δ ⇒ |f(a + h) − A | < ε. Zapis:

17. IZREK. natanko tedaj, ko za polju- bno zaporedje {an; n ∈ IN}, ki konvergira k a, konvergira zaporedje funkcijskih vrednosti {f(an); n ∈ IN} k vrednosti A. IZREK. Funkcija f je v točki a zvezna natanko tedaj, ko je

18. Primer. Izračunajte dane limite.

19. DEFINICIJA. Naj bosta f in g poljubni funkciji in naj bo x ∈ Df ∩Dg. Na množici Df ∩Dg lahko tedaj definiramo funkcije f + g, f − g, f g in f/g: (f + g)(x) := f(x) + g(x) (f − g)(x) := f(x) − g(x) (fg)(x) := f(x) g(x)

20. IZREK. Naj bosta f in g poljubni funkciji in naj obstajata limiti ter . Tedaj obstajajo tudi limite funkcij f + g, f − g, f g in kf, pri čemer je k poljubna konstanta. Pri tem veljajo enakosti Če je , obstaja tudi limita funkcije in velja

21. DEFINICIJA. Neprava limita funkcije DEFINICIJA. Limita v neskončnosti. Število C je limita funkcije, ko gre x čez vse meje v pozitivno smer: Število D je limita funkcije, ko gre x čez vse meje v negativno smer:

22. Primer. Izračunajte dane limite.

23. 3.4. Zveznost funkcije DEFINICIJA. Funkcija je zvezna v notranji točki a definicij- skega območja Df natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstajaδ > 0, tako da velja sklep |h| < δ ⇒ |∆f | = | f (a + h) − f (a) | < ε. (Majhna sprememba neodvisne spremenljivke povzroči ustrezno majhno spremembo funkcijske vrednosti.) IZREK. Naj bo funkcija f v točki a zvezna. Za poljubno zaporedje {an; n ∈ IN}, ki konvergira k a, konvergira zaporedje funkcijskih vrednosti { f (an); n ∈ IN } k f (a):

24. DEFINICIJA. Naj bo {an; n ∈ IN}, poljubno naraščajoče zaporedje, ki konvergira k a. Leva limita funkcije f v točki aje enaka limiti zaporedja {f(an); n ∈ IN}, če ta limita obstaja. DEFINICIJA. Naj bo {an; n ∈ IN}, poljubno padajoče zaporedje, ki konvergira k a. Desna limita funkcije f v točki aje enaka limiti zaporedja {f(an); n ∈ IN}, če ta limita obstaja.

25. IZREK. Funkcija f je zvezna v notranji točki a definicijskega območja Df natanko tedaj, ko je f(a − 0) = f(a + 0) = f(a). DEFINICIJA. Točka nezveznosti prve vrste: obstajata leva limita f(a − 0) in desna limita f(a + 0), vsaj ena od teh limit pa ni enaka f(a). Točka nezveznosti druge vrste: vsaj ena od limit f(a − 0) in f(a + 0) ne obstaja.

26. Primer. Poiščite in analizirajte točke nezveznosti danih funkcij. (signumx = predznak števila x) (odpravljiva nezveznost)

27. DEFINICIJE. Funkcija je zvezna v robni točki a definicijskega intervala Df = [a, b] natanko tedaj, ko je vrednost funkcije f v točki a enaka desni limiti te funkcije v točki a: f(a) = f(a + 0). Funkcija je zvezna v robni točki b definicijskega intervala Df = [a, b] natanko tedaj, ko je vrednost funkcije f v točki b enaka levi limiti te funkcije v točki b: f(b) = f(b − 0).

28. Funkcija je zvezna na intervalu [a, b] ⊆ Df natanko tedaj, ko je zvezna v vsaki notranji točki tega intervala, v točki a zvezna z desne, v točki b pa zvezna z leve. Funkcija je zvezna na definicijskem območju Df natanko tedaj, ko je zvezna v vsaki točki definicijskega območja.

29. POSLEDICA. Naj bosta f in g zvezni funkciji v točki a. Tedaj so v točki a zvezne tudi funkcije f + g, f − g in f g. Če je , je v točki a zvezna tudi funkcija f/g. IZREK.Če je funkcija f zvezna v točki a, funkcija g pa v točki f(a), je v točki a zvezen tudi kompozitum g ◦ f. POSLEDICA. Naj bo f zvezna monotona funkcija. Tedaj obstaja tudi inverzna funkcija in je zvezna funkcija.

30. IZREK. Naj bo f zvezna na omejenem zaprtem intervalu [a, b] . Če je , zavzame funkcija f na tem intervalu vsako vrednost med f(a) in f(b) vsaj enkrat. IZREK. Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a, b]. Tedaj je f na tem intervalu omejena. IZREK. Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija. IZREK. Inverzna funkcija zvezne funkcije je zvezna funkcija.

31. ODVOD FUNKCIJE

32. 3.5. Odvod funkcije Isaac NEWTON (1642 – 1727 ) GottfriedWilheimvon LIEBNITZ (1646 – 1716 ) f: IR → IR, a notranja točka Df , funkcija f zvezna v točki a ∆x, h - sprememba neodvisne spremenljivke ∆f - sprememba odvisne spremenljivke Funkcija f je zvezna v točki a, zato velja

33. DEFINICIJA. Diferenčni količnik funkcije f v točki a je količnik Pri h = 0 je diferenčni količnik nedoločen: .

34. DEFINICIJA. Odvod funkcije f v točki a je enak limiti diferenčnega količnika, ko gre h proti 0 (oziroma proti 0) če ta limita obstaja in je končna (tedaj pravimo, da je funkcija fodvedljiva v točki a).

35. Geometrijska interpretacija odvoda Funkcija f naj bo v točki a zvezna in odvedljiva. Sekanta na graf funkcije f je premica, ki gre skozi točki T(a, f(a)) in T’(a+h, f(a+h)). Smerni koeficient sekante ks je αs je kot, ki ga sekanta oklepa s pozitivnim poltrakom osi x.

36. Ko gre h proti 0, zdrsne točka T’ po grafu funkcije f v točko T. Pri tem se sekanta presuče v tangento na krivuljo y = f(x) v točki T. Zato je smerni koeficient tangente enak αt je kot, ki ga tangenta oklepa s pozitivnim poltra-kom osi x. POSLEDICE: tangenta je vodoravna, a je stacionarna točka funkcije f. v točki a je funkcija naraščajoča. v točki a je funkcija padajoča.

37. DEFINICIJA. Naj bo x poljuben element definicij-skega območja Df funkcije f. Odvod f ’ funkcije f v točki x je če ta limita obstaja in je končna. Diferencialna oblika zapisa odvoda:

38. Funkcija f je odvedljiva na intervalu [a, b], če je odvedljiva v vsaki notranji točki intervala, v točki a odvedljiva z desne , v točki b pa z leve . Funkcija f je odvedljiva na definicijskem območju Df, če je odvedljiva v vsaki točki definicijskega območja. VELJA: če je funkcija odvedljiva, je zvezna. Obratni sklep nasploh ne velja.

39. Primer. Izračunajte odvod funkcije . Uporabite definicijo odvoda. Primer. Pokažite, da funkcija ni odvedljiva v točki x = 0.

40. Odvodi elementarnih funkcij Funkcija f(x) Odvod f ’(x) Konstantna funkcija C 0 Potenčna funkcija Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Trigonometrične funkcije

41. Funkcija f(x) Odvod f ’(x) Obratne trigonometrične funkcije

42. Pravila za odvajanje funkcij Naj bosta odvedljivi funkciji. Odvod vsote (razlike) Odvod produkta Odvod količnika Odvod posredne funkcije (kompozituma) (v diferencialni obliki)

43. Primer. Izračunajte odvode danih funkcij.

44. Odvod inverzne funkcije Naj bo f povratno enolična in odvedljiva funkcija. Odvajamo enačbo V diferencialni obliki:

45. Odvod implicitno podane funkcije Naj bo funkcija podana v nerazviti obliki (implicitno) F(x, y(x)) = 0. Z odvajanjem enačbe F(x, y(x)) = 0 lahko izračunamo odvod y’(x) brez poznavanja razvite oblike enačbe funkcije y(x) . Primer. Izračunajte odvod funkcije, podane z enačbo

46. 3.6. Uporaba odvoda3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x = a. V točki T(a, f(a)) tedaj obstaja tangenta in normala na graf funkcije f (na krivuljo y = f(x)). Enačba tangente točki T(a, f(a)): Enačba normale v točki T(a, f(a)) (upoštevamo, da je ):

47. Primer. Zapišite enačbo tangente in normale na graf funkcije v točki z absciso .

48. 3.6.2. De l’Hospitalovo pravilo IZREK 1. Naj bosta funkciji u, v: IR → IR v okolici U(a) točke a definirani in odvedljivi in naj bo u(a) = v(a) = 0. Tedaj je

49. IZREK 2. Naj bosta funkciji u, v: IR → IR v okolici U(a) točke a definirani in odvedljivi povsod razen v točki a in naj velja , Tedaj je

50. Primer. Izračunajte dane limite.