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数学建模简明教程

数学建模简明教程. 国家精品课程. 目录. 上页. 下页. 返回. 结束. 第三章 常微分方程. 一、 引言. 二、模型的建立 — 机理分析法. 三、 SARS 传播模型中参数的确定. 四、 SARS 传播模型的求解. 五、参数的灵敏度分析. 目录. 上页. 下页. 返回. 结束. 一、引言. 2003 年全国数模竞赛的 A 题“ SARS （ Severe. Acute Respiratory Syndrome ，非典型肺炎）的. 传播”要求建立一个能够预测以及能为预防和控. 制提供可靠、足够的信息的传染病模型：.

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Presentation Transcript

  1. 数学建模简明教程 国家精品课程

  2. 目录 上页 下页 返回 结束 第三章 常微分方程 • 一、引言 • 二、模型的建立—机理分析法 • 三、SARS传播模型中参数的确定 • 四、SARS传播模型的求解 • 五、参数的灵敏度分析

  3. 目录 上页 下页 返回 结束 一、引言 2003年全国数模竞赛的A题“SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，非典型肺炎）的 传播”要求建立一个能够预测以及能为预防和控 制提供可靠、足够的信息的传染病模型： 非典型肺炎是21世纪第一个在世界范围内传 播的恶性传染病，潜伏期约2~12天，通常在4~5 天发病， SARS自02年11月发现以来，迅速蔓延

  4. 目录 上页 下页 返回 结束 年6月13日，全世界的SARS病例已达8454人，共 到世界28个国家，据世界卫生组织报告，截至03 792人死亡，我国情况尤为严重，病例高达5327 人，其中343人死亡，高峰期，北京市每日新增 患者即高达百人以上. SARS的爆发和蔓延给我国 的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从 中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地 研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓 延创造条件的重要性，这是人们十分关注的问题.

  5. 目录 上页 下页 返回 结束 问题分析： 建立SARS传播的数学模型，可以在一般情 况分析受感染人数的变化规律，然而实际SARS 流行的观测往往也不完善和充分，因此通常主要 是依据机理分析的方法来建模. 为此，本章首先 介绍利用机理分析法建立SARS传播模型，然后 针对SARS传播模型讨论如何确定模型中的关键 参数，从而利用Runge-Kutta方法求解该模型， 最后给出参数的灵敏度分析以探讨SARS的预防 和控制.

  6. 目录 上页 下页 返回 结束 二、模型的建立—机理分析法 1. SI模型 推知：

  7. 目录 上页 下页 返回 结束 SI模型

  8. 目录 上页 下页 返回 结束 i ~ t曲线

  9. 目录 上页 下页 返回 结束 di/dt ~ t 曲线

  10. 目录 上页 下页 返回 结束 关于SI模型的结论： 1、最终全部感染为病人 2、模型没有考虑病人可以治愈 3、i=0.5时，di/dt最大，传染病高潮到来，此时

  11. 目录 上页 下页 返回 结束 2. SIS模型 推知：

  12. 目录 上页 下页 返回 结束 SIS模型的解

  13. 目录 上页 下页 返回 结束 SIS模型的分析

  14. 目录 上页 下页 返回 结束 i ~ t曲线

  15. 目录 上页 下页 返回 结束 关于SIS模型的结论： 1、接触数的临界值为 2、SI模型可视为本模型的特例，此时

  16. 目录 上页 下页 返回 结束 3. SIR模型 推知：

  17. 目录 上页 下页 返回 结束 相平面S-I分析

  18. 目录 上页 下页 返回 结束 SIR模型的相轨线

  19. 目录 上页 下页 返回 结束 关于SIR模型的结论：

  20. 目录 上页 下页 返回 结束

  21. 目录 上页 下页 返回 结束 4. SARS的传播模型 事实上，SARS在传播过程中涉及的因素很 多，如患病者的数量、易感者的数量、传染率和 治愈率的大小等. 另外，还要考虑人群的迁入 迁出以及潜伏期和地理环境等因素的影响.如果 把所有的因素全部考虑在内建立模型，将无从下 手.微分方程建模是从实际问题出发，在某些合 理假设的前提下，确定主要因素之间的关系，也 就是抓住主要矛盾，忽略一些不必要的因素和 次要矛盾.

  22. 目录 上页 下页 返回 结束 关于SARS的假设 1、所研究地区的人口总量一定，不考虑人口迁入 迁出、自然出生和自然死亡 2、结合SARS的病理特性，假设其传播方式为接 触性传播，不与患病者接触就不会被感染 3、假设病人被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期 内不具备传染性

  23. 目录 上页 下页 返回 结束 4、假设易感者与患病者在人群中混合充分均匀， 易感者感染的机会与接触患病者的机会成正比， 并且传染率为常数 5、假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离 者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以 传染他人 6、假设SARS康复者不会被再次感染，且无传染性

  24. 目录 上页 下页 返回 结束 人口分类（在此用绝对人数）

  25. 目录 上页 下页 返回 结束

  26. 目录 上页 下页 返回 结束 SARS传播仓室模型的框图

  27. 目录 上页 下页 返回 结束 参数说明

  28. 目录 上页 下页 返回 结束 SARS模型

  29. 目录 上页 下页 返回 结束 三、SARS传播模型中参数的确定 在SARS流行初期，建模所碰到困难主要 是对这一突发的新型恶性传染病缺乏认识，无 历史数据，如对其传染率就难以估计；另一方 面，如何将我国一系列强有力的隔离预防措施 反映到模型中，亦是应当回答的一个重要问题. 事实上，确定模型的参数往往是一般传染病模 型所面临的一个关键问题. 针对 SARS 传播模 型，可参照传染病的一般原理，充分利用卫生 部门每天发布的精确数据，通过对数据的动态 仿真、模拟来确定参数随时间变化的函数关系.

  30. 目录 上页 下页 返回 结束 北京地区确诊病人的死亡率和治愈率

  31. 目录 上页 下页 返回 结束

  32. 目录 上页 下页 返回 结束 先建立简单的SIR模型

  33. 目录 上页 下页 返回 结束 从而，有 因此，只要得到免疫率参数，就可以拟合出传染系数

  34. 目录 上页 下页 返回 结束 四、SARS传播模型的求解 1. Runge-Kutta方法 迭代公式解法： p阶公式： 如果有

  35. 目录 上页 下页 返回 结束 二阶Runge－Kutta公式

  36. 目录 上页 下页 返回 结束 2. 模型求解

  37. 目录 上页 下页 返回 结束 香港疫情分析图（有自愈）

  38. 目录 上页 下页 返回 结束 香港疫情分析图（无自愈）

  39. 目录 上页 下页 返回 结束 五、参数的灵敏度分析 第500天时累计患病人数随着参数z的变化图

  40. 目录 上页 下页 返回 结束 第500天时累计患病人数随着参数z的变化图（续）

  41. 目录 上页 下页 返回 结束 再见

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