第二章流体静力学

2.1 作用在流体上的力 2.2 静止流体的应力特征 2.3 流体静力学的基本方程 2.4 重力场中静止流体的压力分布 2.5 重力场中压力平衡方程的能量意义（自学） 2.6 重力场中静止液体对物面的作用力（自学） 2.7 非惯性坐标系中的静止流体（自学）第二章流体静力学

这里所说的力是静力学及动力学均适用的力。作用在流体上的力被分为质量力和表面力两类。这里所说的力是静力学及动力学均适用的力。作用在流体上的力被分为质量力和表面力两类。 2.1.1 质量力: 又称体积力，作用于流体的质量上，是一种非接触力。如重力，静电力，电磁力；研究非惯性系统问题时引入惯性力概念，它也是质量力。　　对应于某流体微元，其体积为，作用于该微元上的质量力为。在流体力学中，常关心单位质量流体所受的质量力，即： 2.1 作用在流体上的力

又称为质量力分布密度，在直角坐标系中： 流体团（体积为V）所受的总值量力F : 2.1.2 表面力: 由毗邻的流体质点或其它的物体所直接施加的接触力。对应于某流体微元表面,其面积为 ,其外法线单位向量为，作用于该微元表面的表面力为。我们常关心单位面积所对应的表面力，即：

从普遍意义上讲，表面力有如下特点： (1) 和作用面不一定垂直；（可分解为正应力和切应力两部分）。 (2) 和的方向有关。

本节专门研究静止流体的表面力的特征： ①静止流体中，只存在法向压应力，即 ②其法向压应力的值仅仅是空间位置和时间的函数，与所取作用面的方向无关。　　特征①可以这样来说明：静止流体，速度处处为零，没有速度梯度，也就没有切应力。此外流体不能承受拉应力。　　特征②可引入直角坐标系中二维流体微元来说明。 2.2 静止流体的应力特征

设ｙ方向宽度为１。ds即表示任意方向微元表面。设ｙ方向宽度为１。ds即表示任意方向微元表面。

分析ｚ方向力平衡：dx对应的表面力为 。ds对应的表面力在ｘ方向投影为而。即ds的投影面积为dx。微元质量力为三力平衡有：忽略高阶小量后，化简，得：。同理我们可以得到。

这里的就是任意方向微元平面上的应力 ，它和该点坐标平面方向的应力 , 相等。三维流体的结论是相同的： = = = 　特征②表明静压力是各向同性的。　　另外，我们要告诉大家，对于运动的理想流体也具有上述①，②两条应力特征。因为理想流体中没有切应力，动力学问题中的加速度项可以演变为惯性力项，和表面力相比是高阶小量。

2.3 流体静力学的基本方程 以直角坐标系为例，在静止流体中任取一微元六面体，如图：微元流体在质量力，表面力作用下平衡。以ｚ方向受力分析为例：　　表面力：下表面（对应坐标为ｚ）受力。

上表面（对应坐标为ｚ+dz）受力(ｐ+dp)dxdy。　　质量力： 。　　力平衡方程：

重力场是工程中常常遇到的质量力场，其间的液体压力分布关系式形式简明，特点鲜明。重力场是工程中常常遇到的质量力场，其间的液体压力分布关系式形式简明，特点鲜明。质量力液体不变，积分上式，得: 2.4 重力场中静止流体的压力分布由上式知：一种液体静止平衡时，(1)等压面与等高度面重合；

(2)自由面 与等高度面重合；若自由面压力为积分常数，代入原方程表示ｚ点的水深ｈ是液面传递过来自由面的压力，这可用帕斯卡定理解释（施加于不可压流体表面的压力，以同一数值沿各个方向传递到所有的流体质点）由压力平衡式还可知，两种液体静止平衡的分界面是等压面。表示单位截面积上的液体重量。

证明如下：设密度不同的两种液体置于同一容器内，分界面两侧满足平衡方程， 假定液体平衡分界面为某一曲面如图示，在分界面上任取临近两点AB其向径为dr, dr在ｚ方向投影为dz。对液体而言：对液体而言：

两点压差只能是一个值，故 只有，即分界面只能是等压面，重力场中它是水平面。

2.5 重力场中压力平衡方程的能量意义 表明：液体平衡时，单位重量液体重力势能与压力能之和为常数，这里显示了机械能守恒的意义。

2.6 重力场中静止液体对物面的作用力 为清楚起见，分几个方面说明对物面之作用力：1.对竖放平壁面之作用力:如图，将xoy平面放在自由面上，使ｘ轴与竖放平面垂直，平壁面外法线单位向量为。

可见含有两部分： （1）为帕斯卡定理传递的自由表面压力作用（2）液体的附加作用力，它等于形心处压力乘以面积 2.对平放平壁面之作用力:

3.对任意曲面之作用力 对于，若所有的微元面积投影正负号相同。（工程中许多曲面满足此条件），则的求解与竖放平壁面相同。可用求投影面积及其形心深度的方法来解算。亦然。

对于是dA对应的至水面的柱体体积。曲面对应的至水面的柱体体积，工程上称之为压力体是压力体对应的液体重量。帕斯卡定理传递的压力很容易计算；水的附加作用力，可用上述工程方法计算，压力体内可能真有液体，也可能并没有液体

4.物体的浮力： 完全浸没或部分浸没在液体中的物体受到液体的作用力，其合力为物体所受的浮力。分析完全浸没的物体。如图，对于，可用物体向yoz平面投影的方法求解，得到两个投影面其形状相同，正负号相反，分别对应于左右两个曲面，故合力为零，同理合力亦为零。

对于，用物体向xoy平面投影的方法求解，得对应于上下两部分物面的两个压力体，两个压力体一正，一负，其代数和恰为物体体积。

若坐标系本身作变速运动，则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。两类典型的非惯性系：(1)直线等加速运动的坐标系。(2)等角速度旋转的坐标系。　　研究其间静止流体的压力分布规律。 2.7.1直线等加速运动坐标系： 2.7 非惯性坐标系中的静止流体

基本关系式仍为，注意 应包含单位质量的惯性力。　在重力场中，若动坐标系加速度为。特性：1）等压面为斜平面等压面方程

2）自由面为斜平面 若坐标原点在自有面上由此可得自有面方程，即令与惯性系中结论相比，方程的形式相同，但重力加速度项有变化。(3)两种液体相对平衡的分界面是斜平面。（证明从略）

2.7.2等角速度旋转坐标系 是向心加速度，柱坐标系中沿ｒ增加的方向的单位向量（不变）相邻任意两点的向径：

性质： （1）等压面是旋转抛物面。（2）自由面是旋转抛物面。将坐标原点放在自由面的转轴上。　　　　　由　　　　　及　　　　　得自由面上

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