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矩阵总结

矩阵总结. 第二章. 陇南师范高等专科学校. 小 结. 作 业. 结 束. 《 高等代数 》 面向 21 世纪新教材. 《 高等代数 》 面向 21 世纪新教材. 预备知识. 矩阵的概念和运算. 课件导航. 新课讲授. 常用的特殊矩阵. 矩阵的主要性质. 矩阵的分块. 预备知识. 预备知识. 一、数集. 数： 自然数→整数→有理数→实数→复数。. 数集： 由数作成的集合，称为数集（ number set ）. 设 S 是一个非空数集，若 S 中任意两个数作某一运算的结果仍在 S 中，则数集 S 对此运算是封闭 (closed) 的．.

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矩阵总结

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Presentation Transcript

  1. 矩阵总结 第二章 陇南师范高等专科学校

  2. 小 结 作 业 结 束 《高等代数》面向21世纪新教材 《高等代数》面向21世纪新教材 预备知识 矩阵的概念和运算 课件导航 新课讲授 常用的特殊矩阵 矩阵的主要性质 矩阵的分块

  3. 预备知识 预备知识 一、数集 数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数集：由数作成的集合，称为数集（number set）. 设S是一个非空数集，若S中任意两个数作某一运算的结果仍在S中，则数集S对此运算是封闭 (closed)的． 如: {0}零集合,Z—自然数集,N—整数集,Q—有理数集, R—实数集,C—复数集. 数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质称为代数性 质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。 有其它一些数集也具有这样的性质。

  4. 预备知识 预备知识 二、数环 定义 设S为非空数集，若 则称S为一个数环. 等价定义：S是一个非空数集，若 S对加法、减法、乘法是封闭的，则称S是一个数环． • 单独一个数0作成的数集{0}是一个数环． • 全体整数集Z作成一个数环． • 自然数集N不是数环，因为它对减法不封闭． • 数环有无穷多． • 所有的数环都包含零环，即零环是最小的数环．

  5. 预备知识 预备知识 三、数域 设C是全体复数构成的集合. FC, F中至少含有一个非零数. 如果在F内可以进行加、减、乘、除(当然在作除法运算时，要求除数不为零)四种运算，且运算结果都在F内，那么就称F为一个数域. 定义 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域.） 等价定义：如果一个包含0，1在内的数是封闭的，则称数 集F为一个数域． 任意数域F都包括有理数域Q.即,有理数域为最小数域. 任何一个数域都包含于复数域，即：复数域是最大的数域.

  6. 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。 关于矩阵 关于矩阵

  7. 1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念。1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念。 应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用。 1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则。 关于矩阵 关于矩阵

  8. 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 1.矩阵A：由m×n个数ai j (i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n)按一定的次序排成的m行n列的数表 矩阵A的(m.n)元 其中 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵. 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 元素全是零的矩阵称为零矩阵.记为0m×n, 即:aij= 0, i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n

  9. 行列数分别相等，即 各对应位置元素分别相等，即 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 2. 矩阵行列式|A|： 方阵A所对应的行列式叫做矩阵A的行列式，记为 detA=|A|. 当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵. 当|A|=0时，A称为奇异矩阵. 3. 矩阵的相等： 4. 矩阵集合: M(F)指数域F上矩阵的全体;Mmn(F)指数域F上m×n矩阵的全体; Mn(F)指数域F上n阶方阵的全体. 这些都是矩阵的集合.

  10. 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 5 .矩阵的运算与运算律： 1）数乘运算： 演示 运算规律为： 满足结合律： 满足交换律： 矩阵对数的加法可分配： 2）加法运算 定义:设A=[aij],B=[bij]都是m×n矩阵,则称m×n矩阵C=[Cij]为A与B之和,其中Cij=aij+bij. (i=1,2……m,j=1,2…….n) 即:A+B=[aij]m×n+[bij]m×n=[aij +bij]m×n. 记为:C=A+B.

  11. 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 2）加法运算 这个运算可以演示如下: 演示 说明： 两个矩阵只有当行数相同,列数相同才能相加. 若A、B都是m×n矩阵，则C也是 m×n矩阵． 不同形状矩阵的和不予定义(如没有意义). 其运算规律为： 满足交换律： 满足结合律： 具有恒等性： 零矩阵 使得 使得 具有相反性： 负矩阵

  12. 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 2）加法运算 有 数对矩阵加法可分配： 对 可移项：即 负矩阵: 设A=[aij]是m×n矩阵,把m×n矩阵[-aij]叫做A的负矩阵.记为: -A 有了负矩阵的概念,就可以定义两个m×n矩阵的差,设A=[aij]m×n,B=[bij]m×n，则如下定义A-B: A-B=A+(-B). 显然:A-A=0. 返回

  13. 运算过程演示 演示 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 3）乘法运算 定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这个矩阵的第i行第j列位置上的元素cij等于A 的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和. 即

  14. 矩阵的乘法也可以表示为 由矩阵的定义可以看出: • 当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时, 两个矩阵才可以相乘。 • 乘积矩阵AB中第i行第j列的元素aij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后列。

  15. 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 矩阵乘法不满足的性质: 交换律 矩阵的乘法不满足交换律. 当A和B可以相乘时, B和A不一定能相乘,即使A和B, B和A都能相乘, 乘积矩阵也不一定相等. 2.消去律 矩阵的乘法不适合消去律. 3.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.

  16. 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 矩阵乘法满足的性质: 结合律(AB)C=A(BC), 其中A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, C=(cij)p×q. 2.数乘结合律k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k为任意实数. A=(aij)m×s， B=(bij)s×n . 3. 分配律 (A+B) C=AC+BC, 其中A, B都为m×n矩阵,C是n×p矩阵. C(A+B) =CA+CB, 其中C为m×n矩阵,A,B都为n×s矩阵.

  17. 设 记为 或 (1) (2) (3) 一. 矩阵的概念和运算 一. 矩阵的概念和运算 4）矩阵的转置. 把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵。 转置有下面的性质:

  18. 二. 几种特殊矩阵 二. 几种特殊矩阵 方阵.也可记作 副(反)对角线 例如 是一个3 阶方阵. 主对角线 (2)只有一行元素和一列元素的矩阵 称为行矩阵(或行向量).

  19. 二. 几种特殊矩阵 二. 几种特殊矩阵 只有一列元素的矩阵 称为列矩阵(或列向量). （3）形如 即主对角线以下元素 全为零的方阵称为上三角矩阵。

  20. 二. 几种特殊矩阵 二. 几种特殊矩阵 形如 即主对角线以上元素 全为零的方阵称为下三角矩阵。 （4）既是上三角又是下三角矩阵的方阵，即 的方阵, 称为对角矩阵 (或对角阵）. 形如 记作

  21. 二. 几种特殊矩阵 二. 几种特殊矩阵 （5）上梯形矩阵和下梯形矩阵 上梯形矩阵 下梯形矩阵

  22. 全为1 二. 几种特殊矩阵 二. 几种特殊矩阵 (6) 数(纯)量矩阵（标量矩阵） 称对角线元相等的对角阵称 为数量矩阵或标量阵。 当 时，记作 称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.

  23. 设 矩阵 即 二. 几种特殊矩阵 二. 几种特殊矩阵 （7）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作0m×n或0 . 不同阶数的零矩阵是不“相等”的. 注意 例如 (8)负矩阵 称为A的负矩阵，记作－A .

  24. 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 1.初等变换与初等矩阵： （1）矩阵A的三种初等变换 交换A的某 两行（列） 用 乘以某行（列） 乘以某行（列） 用 后加到令一行列

  25. i 交换第I、j 行(列) I j 因为 可逆，且 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 (2)初等矩阵： 对单位矩阵I进行一次初等行（列）变换后所得的矩阵.

  26. 第i行（列） 乘以 I 因为 可逆，且 第j行（i 列）乘k 加到第r行（j 列） I 因为 可逆，且 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 i i j

  27. 对矩阵 实行行（列）初等变换，相当于矩阵 左（右）乘以相应的m(n)阶初等矩阵；即 i j j i 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 (3).初等变换与初等矩阵的关系：

  28. i j i i 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质

  29. （故可用初等变换求A的秩） 一系列初等变换 等价 矩阵 （存在可逆的 s 阶矩阵p及可逆的 n 阶矩阵 Q，使得 B=PAQ。） 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 （4）等价矩阵及其性质：

  30. （5）初等变换的性质: 实施第三种初等变换 对 实施初等变换 m n 对 且 m n 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质

  31. 1）A、B为数域F上的n阶方阵，A为可逆阵 B,使AB=BA=I; 称B为A的逆。 也可逆，且 也可逆，且 A 逆阵唯一，记作 A可逆 也可逆，且 AB也可逆，且 B可逆 aA也可逆, 且 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 2.可逆矩阵 2）可逆矩阵的性质：

  32. A的行（列）向量组 可逆，即 A I 线性无关 初等变换 B，使得AB=BA=I 其中 A可逆 为初等矩阵 A 非奇异，即 A满秩，即 B可逆，且 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 （3）矩阵可逆的充要条件：

  33. 初等变换 若 则称 是A的伴随阵 （ 是 的代数余子式），且： 三. 矩阵的主要性质 三. 矩阵的主要性质 （4）逆矩阵计算方法： 1) 公式法 是 A 的伴随阵 其中 2)初等变换法 3） 伴随矩阵及其性质 4.矩阵乘积的行列式定理：若A、B 都是方阵，则 AB|=|A||B|

  34. 分块矩阵,即在一个矩阵的行和列之间加上一些横线和竖线,分块矩阵,即在一个矩阵的行和列之间加上一些横线和竖线, 将它分成若干小块(子矩阵)的矩阵.其目的是为了简化高阶矩阵的运算. 四. 矩阵的分块 四. 矩阵的分块 1.分块矩阵的概念: 2.分块矩阵的运算性质: 分块矩阵的运算可注意以下四点: 1)分块矩阵可进行加、减、数乘、乘法、转置、共轭. 2)运算所需条件，与不分块的矩阵一致. 3)运算时，先将子矩阵当作“数” 来处理，然后再按矩阵进行运算. 4)运算结果，可以用不分块时的运算来检验.

  35. 四. 矩阵的分块 四. 矩阵的分块 3.主要的分块矩阵： 准对角矩阵 其中 都是方阵，显然 准上三角矩阵 其中 是 n 阶方阵，

  36. 同学们,再见!

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