EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA: “NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

1. EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA: “NADIEENTRA SINSABER GEOMETRÍA”

2. CONOCIENDO MÁS DE LOS TRIÁNGULOS

3. Triángulo.... Más que un polígono de treslados...

4. Postulado de existencia de un triángulo, llamado tambiéndesigualdad triangular Un triángulo queda determinado cuando ocurre que la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado o la diferencia de las medidas de dos de sus lados es siempre menor que el tercer lado.

5. Clasificación de triángulos Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser: • Equilátero. • Isósceles. • Escalenos. Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser: • Acutángulos (ángulos internos agudos). • Rectángulos (un ángulo recto). • Obtusángulos (un ángulo obtuso).

6. C b a a A B Triángulo isósceles • Isósceles: se denomina al triángulo que posee dos lados iguales (AC y BC) y uno desigual, este se llama base (AB) y son los ángulos que se encuentran en sus extremos los idénticos. (ángulos a)

7. C 60° 60° 60° A B Triángulo equilátero. • Equilátero: es el único triángulo regular; o sea tiene sus tres lados iguales y por ende sus tres ángulos miden lo mismo (60° cada uno).

8. C c a b A B Triángulo escaleno. • Escaleno: se denomina al triángulo que posee sus tres lados diferentes y por ende, sus ángulos también lo son.

9. 57° 35° 88° Otra clasificación es... • Según sus ángulos. • Pero para eso debes saber que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

10. 46° 105° 29° Triángulo obtusángulo. • Obtusángulo: se le llama al triángulo que tiene uno de sus ángulos interiores obtuso; o sea uno de ellos mide más de 90°.

11. 47° 59° 74° Triángulo acutángulo. • Acutángulo: se denomina al triángulo que posee sus tres ángulos interiores agudos o sea, cada uno de sus ángulos miden menos de 90°.

12. A c b B C a Triángulo rectángulo • Rectángulo:se denomina al triángulo que posee uno de sus ángulos interiores recto o sea, mide 90°. • Los lados que forman el triángulo recto reciben el nombre de catetos y, el tercer lado, o sea, el opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa.

13. Rectas y puntos notables en el triángulo (elementos secundarios) Las rectas secundarias en el triángulo son: 1. Altura 2. Bisectriz 3. Mediana 4. Simetral 5.Transversal de gravedad

14. ALTURA DE TRIANGULOSSe llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuestoLa altura se designa con una h

15. C ba bb bc = { I } bb ba I = incentro I A B bc BISECTRIZ DE UN TRIANGULOEs la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo, que se nombran generalmente con una letra griega El punto donde se cortan se llama incentro

16. La propiedad de la mediana consiste en que cada mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado y además la medida de su longitud corresponde a la mitad de la longitud del lado paralelo. Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4 triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.

17. MEDIANA DE TRIANGULOSSe llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por la unión de los puntos medios de cada lado del triangulo. La longitud de una mediana corresponde a la mitad del lado paralelo .

18. Sa Sb Cc = { C } Se Sd C = circuncentro C Simetral Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el lado al cual dimidian. F D E Sf

19. C S T  GT B A R Transversal de Gravedad Corresponde a un trazo que está determinado por el vértice y el punto medio del tercer lado. La propiedad está dada por el punto G o baricentro que determina en cada transversal dos segmentos menores que están en razón 2 : 1

20. R C S L1   A B Teoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si , y  son ángulos interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º.

21. Hipótesis: , y  ,ángulos interiores del triángulo ABC Tesis:  + + = 180º Demostración: • AfirmaciónJustificación • L1 // V postulado de Euclides. • m RCA +  + m  SCB = 180ºson ángulos adyacentes que están a un mismo lado de la recta. • m  RCA = son ángulos alternos internos entre paralelas. • m  RCB = son ángulos alternos internos entre paralelas. • 5)  +  +  = 180ºreemplazando 3 y 4 en 2.

22. ’ C  ’  Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º. A ’ B

23. ’ C  ’  ’ Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. B A

24. Cateto a Cateto b Hipotenusa 3 4 6 8 9 12 6 cm x (a) 12 16 15 20 8 cm (b) 18 24 Relaciones Métricas en el Ángulo • Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida de la hipotenusa.

25. Teorema de Pitágoras Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. a2 + b2 = c2

26. Observación: Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que satisfacen la relación pitagórica • 32 + 42 = 52 • + 16 = 25 • 25 = 25 Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de triángulos.

27. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS SEMEJANTES • “Toda paralela a un lado de un triangulo forma con los otros dos lados un triangulo semejante al primero • 1Posición

28. 2Posición 3Posición

29. LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES • 1° TEOREMA: En todo triángulo isósceles, la bisectriz correspondiente al ángulo del vértice es la altura, transversal de gravedad y simetral • HIPOTESIS: • ABC Isosceles • CD = b

30. 2° TEOREMA: En todo los triángulos isósceles, los ángulos básales son iguales • HIPOTESIS: • ABC ISOSCELES __ CD = t C

31. 3° TEOREMA: En todo triángulo, el ángulo mayor se opone al lado mayor __ ___ CD> CB

32. 4°TEOREMA: TODO LADO DE UN TRIANGULO CUALESQUIERA ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTYROS LADOS • HIPOTESIS: • ABC cualquiera • TESIS: • ___ ___ ____ • AB < AC + BC

33. 5° TEOREMA: Todo lado de un triangulo cualquiera es mayor que la diferencia de los otros lados. • TESIS: • ___ ___ ___ • AB> AC + BC

34. PODEMOS DARNOS CUENTA QUE • A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA TODO • LO QUE ESTA EN NUESTRO • ENTORNO TIENE SENTIDO . • FIN