геометрия

1. геометрия Планиметрия (от лат. planum — плоскость и... метрия), часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Обычно под П. понимают часть курса геометрии в средней школе. Содержание П. и способ её изложения были установлены древнегреческим учёным Евклидом(3 в. до н. э.). Первое систематическое изложение планиметрии впервые было дано Евклидом в его труде «Начала».

3. Аксиома.Теорема Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство. Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств. Аксиома– утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальными достаточнымдля доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема. Начальные понятия. В геометрии ( и вообще, в математике ) существуют понятия, которым невозможно дать сколько-нибудь осмысленное определение. Мы их принимаем как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямойлинииявляются начальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям.

4. Аксиомы геометрии Евклида Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну. Аксиома порядка.  Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других. Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов. Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой. Аксиома параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну. Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда).  Для любых двух отрезков  AB  и CD  существует конечный набор точек  A1  , A2  ,…, An , лежащих на прямойAB, таких, что отрезки  AA1 , A1A2 ,…, An-An  конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An . Следует подчеркнуть, что замена одной из этих аксиом на другую, превращает её в теорему, уже требующую доказательства. Так, вместо аксиомы параллельных прямых можно использовать в качестве аксиомы свойство углов треугольника («сумма углов треугольника равна 180º »). Но тогда необходимо доказывать аксиому о параллельных прямых.

10. Медиана Медиана треугольника - это отрезок, который связывает вершину треугольника с серединой одной из сторон данного треугольника. Биссектриса Биссектриса угла – это исходящий из вершины угла луч, пролегающий между образующими сторонами и разделяющий его пополам. Биссектрисой треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, объединяющий его вершину с точкой на противолежащем отрезке этого треугольника. Высота Высотой треугольника называется линия, проведенная из вершины треугольника к одной из сторон расположенной перпендикулярно. Средняя линия Отрезок, который соединяет две стороны треугольника в их серединах, называется - средняя линия треугольника.

11. Медиана Медиана треугольника - это отрезок, который связывает вершину треугольника с серединой одной из сторон данного треугольника. Свойства медиан треугольника Медиана делит треугольник на два треугольника, площади которых одинаковы. Медианы треугольника пересекаются только в одной точке, которая разделяет каждую из них в отношении 2 : 1, отсчитывая от вершины. Такая точка именуется центром тяжести треугольника. Весь треугольник разбивается своими медианами на шесть равных по значению треугольников ( Медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольника)

12. Биссектриса Биссектриса угла – это исходящий из вершины угла луч, пролегающий между образующими сторонами и разделяющий его пополам. Биссектрисой треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, объединяющий его вершину с точкой на противолежащем отрезке этого треугольника. Свойства биссектрис треугольника • -     любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла; • -   любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла. Биссектриса угла треугольника, разделяет проиволежащую сторону на отдельные отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам: x / y = a / b В точке, где пересекаются биссектрисы треугольника, находится центр окружности, который вписан в этот треугольник.

13. Высота Высотой треугольника называется линия, проведенная из вершины треугольника к одной из сторон расположенной перпендикулярно. Свойства высот треугольника Перпендикулярная линия высоты прямоугольного треугольника разделяет его на два подобных ему треугольника. Две линии высоты остроугольного треугольника, отделяют от него подобные треугольники. Срединный перпендикуляр Перпендикулярная прямая, которая проходит через середину отрезка, называется - срединный перпендикуляр к отрезку. Свойства серединных перпендикуляров треугольника Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от окончаний этого отрезка. Верно так же и обратное утверждение, что каждая точка, находящаяся на равных расстояниях от концов отрезка, расположена на серединном перпендикуляре к нему. В точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных в направлении к одной из сторон треугольника, находится центр окружности, который описывает данный треугольник.

14. Длина медианы треугольника выражается формулой: .Длинасторонытреугольникачерезмедианывыражаетсяформулой: Длина биссектрисы треугольника ыражается формулой: ,

15. Определение параллельных прямых Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую Определение параллельных прямых Определение параллельных прямых Две различные прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются. Две прямые на плоскости называются параллельными,если они не пересекаются. Параллельность прямых а и b обозначается так:a||b Через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.

18. Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусам. • Сумма углов треугольника. -         сумма углов треугольника равна 180°; -         сумма любых двух углов треугольника меньше 180°; • δ= α + β -         внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним; -         внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

19. 1..     В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона. 2.   (Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны. Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A. 3. Сумма внутренних углов треугольника: -         сумма любых двух углов треугольника меньше 180°; -         в каждом треугольнике два угла острые; -         внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним; -         сумма углов треугольника равна 180°; -         внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. -         сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

21. Контрольная работа №1.Начальные геометрические сведения Вариант 1 1. Три точки В,С и D лежат на одной прямой. Известно, что ВD = 17 см, DС = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС? 2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DОС, образованных при пересечении прямых МС и DЕ, равна 204о. Найдите угол МОD. 3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78о, и проведите биссектрису смежного с ним угла. Контрольная работа №1.Начальные геометрические сведения Вариант 2 1. Три точки M, N, K лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15 см, NK = 18 см. Какой может быть длина отрезка MK? 2. Сумма вертикальных углов AOB и COD, образованных при пересечении прямых AD и BC, равна 108о. Найдите угол BОD. 3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132о, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов.

22. Контрольная работа №2 A C O B D М К D Р Е Вариант 1 • На рисунке отрезки АВ и СD имеют общую середину О. • Докажите, что Контрольная работа №2 . 2. Луч АD – биссектриса угла А. на сторонах угла А отмечены точки В и С так, что . • . Докажите, что АВ = АС. • 3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ1 к боковой стороне АС. Контрольная работа №2 Вариант 2 • На рисунке отрезки МЕ и РК точкой D делятся пополам . • Докажите, что 2. На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DМ = DК. Точка Р лежит внутри угла D, и РК = РМ. Докажите, что луч DР – биссектриса угла МDК • 3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и острым В. С помощью циркуля и линейки проведите высоту из вершины угла А.

23. Контрольная работа №3. Параллельные прямые Вариант 1 1. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ║QF. 2. Отрезок DM – биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне СD и пересекающая сторону DЕ в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если . . Контрольная работа №3. Параллельные прямые Вариант 2 1. Отрезки MN и EF пересекаются в их середине Р. Докажите, что ЕN║МF. 2. Отрезок АD – биссектриса треугольникаАВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника АDF, если

24. Контрольная работа №4 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Вариант 1 • 1.На рисунке Е М В А D С F M E A B C D F , , , , АC = 12 см. Найдите сторону АВтреугольника АВС. , • 2.В треугольнике СDЕ точка М лежит на стороне СЕ, причем угол СМD острый. • Докажите, что DЕ > DМ. • 3.Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, • а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника Контрольная работа №4 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Вариант 2 • 1.На рисунке , BC = 9 см. Найдите сторону АC треугольника АВС. • 2.В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, • причем угол NKP острый. Докажите, что KP < МP. 3.Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.

25. Контрольная работа №5 Прямоугольные треугольники. Вариант 1 • 1.В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой МN. 2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. 3. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150о. Контрольная работа №5 Прямоугольные треугольники. Вариант 2 • 1.В прямоугольном треугольнике DCE c прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу. 3. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105о.

26. Прямая и отрезок. • Луч и угол. • Измерение углов. • Перпендикулярные прямые. Контрольная работа • Первый признак равенства треугольников. • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. • Второй и третий признаки равенства треугольников. • Контрольная работа №2 • Признаки параллельности двух прямых. • Аксиома параллельных прямых • Контрольная работа №3 • Сумма углов треугольника. • Соотношения между сторонами и углами треугольника. • Контрольная работа №4 • Прямоугольные треугольники. • Построение треугольника по трем элементам. • Контрольная работа №5

27. Контрольная работа по теме «Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трем элементам» Вариант 1 1.В треугольнике АВС А=900, В=300. Найдите С и установите вид треугольника. 2.В прямоугольном треугольнике АВС В=600, С=300. Найдите АВ, если ВС=10см.. 3.На рисунке АОD=900, ОАD=700, ОСВ=200. Доказать: AD||BC. 4.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к нему из вершины треугольника. Контрольная работа по теме «Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трем элементам» Вариант 2 1.В треугольнике АВС А=600, В=300. Установите вид треугольника и найдите АВ, если АС=4см. 2.На рисунке ВАD=ВСD=900, ADB=150, BDC=750. Доказать: AD||BC. 3.В треугольнике АВС С=600, В=900. Высота ВВ1 равна 2см. Найдите АВ. 4.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника.