第 11 章堆積（Heaps）

第11章堆積（Heaps） • 11-1 堆積的基礎 • 11-2 建立最大堆積 • 11-3 堆積排序法 • 11-4 優先佇列

11-1 堆積的基礎-說明 • 「堆積」（Heap）是一棵特殊二元樹，這棵二元樹必須滿足一些條件，如下所示： • 堆積是一棵完整二元樹。 • 在堆積的每個父節點都比其左右子節點的資料大或相等。

11-1 堆積的基礎-最大堆積 • 在堆積的節點中，最大值是根節點9，所有子節點的資料都等於或比父節點小，這種堆積稱為「最大堆積」（Max Heap），如下圖所示：

11-1 堆積的基礎-最小堆積 • 反過來，如果根節點的資料是最小，所有子節點的資料都等於或比父節點大，稱為「最小堆積」（Min Heap），如下圖所示：

11-2 建立最大堆積-實作 • 最大堆積是一棵完整二元樹，除了最高階層外，它是一棵完滿二元樹（Full Binary Tree），在實作上可以使用陣列來儲存第11-1節的最大堆積，如下圖所示：

11-2 建立最大堆積-索引計算 • heap[]陣列儲存堆積資料，heap_len是目前堆積的元素數，索引值是從1開始，索引值0並沒有使用，此時堆積節點的索引值計算，如下所示：右子節點索引 = 父節點索引 * 2 + 1 左子節點索引 = 父節點索引 * 2 父節點索引 = 子節點索引 / 2

11-2 建立最大堆積-插入節點(說明) • 在最大堆積插入節點，首先將節點插入heap[]陣列的最後，也就是插入成為二元樹的葉節點。 • 然後與父節點進行比較，往上一一和其父節點比較，就可以將二元樹調整成為堆積。

11-2 建立最大堆積-插入節點(圖例1) • 左邊的二元樹插入節點9，首先插入在陣列heap_len+1的索引位置，然後與其父節點5比較，因為比較大，所以對調，如下圖所示：

11-2 建立最大堆積-插入節點(圖例2) • 因為節點9比較大，所以交換，最後和根節點8進行比較，比較大所以交換，最後就可以重建成堆積。函數shiftUp()就可以向上調整節點來重建堆積。

11-2 建立最大堆積-取出最大節點(說明) • 從堆積取出最大節點，以最大堆積來說，就是根節點，同樣的，當刪除根節點後，就需要重新調整來建立堆積。

11-2 建立最大堆積-取出最大節點(圖例) • 首先刪除根節點9，並且將它取代成最後一個節點5，然後從上至下，比較其子節點，因為比左子節點小，所以交換，然後再與子節點比較，比左子節6小，所以交換即可完成堆積的重建。

11-3 堆積排序法-說明 • 「堆積排序法」（Heap Sort）是一種樹狀結構的排序法，因為最大堆積的根節點就是最大的元素，換句話說，當我們將根節點移去後，只需將剩下節點重建成堆積，此時第2大節點就是根節點，重覆此操作，等到輸出所有根節點資料後，就可以完成排序，這就是堆積排序法。

11-3 堆積排序法-將二元樹建立堆積 • 如何將一棵二元樹建立成堆積，以二元樹陣列表示法為例的一棵二元樹，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立堆積的演算法 • 將二元樹的陣列表示法建立成堆積，是從二元樹陣列heap[]的中間索引值往回調整，依序往回調整的過程中，可以處理所有的葉節點，其步驟如下所示： • Step 1：從最後1個父節點到第1個父節點逐一執行操作，如下： • (1) 找出左、右子節點中，資料最大的節點和此節點比較，如下： • 1) 如果節點比較大，沒有問題滿足堆積性質。 • 2) 如果節點比較小，交換父子節點值。 • (2) 如果有交換，交換的父節點需要重覆步驟(1)的操作。

11-3 堆積排序法-建立過程1 • 首先找到最後1個父節點，即索引值9/2 = 4（整數除法），找到最後1個父節點是節點8，可以發現其右子節點9比它大，所以交換這兩個節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立過程2 • 接著處理的是索引值3的節點4，因為右子節點比較大，所以交換這兩個節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立過程3 • 然後是索引值2的節點6，此時是左子節點比較大，交換這兩個節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立過程4 • 因為交換索引值4的節點6尚有子節點，繼續比較其左、右子節點，結果左子節點8比較大，所以再次交換這兩個節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立過程5 • 最後調整的是索引值1的根節點，可以發現其左子節點9比較大，所以交換根節點和其左子節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立過程6 • 索引值2的節點5尚有子節點，繼續比較其左右子節點，結果是左子節點8比較大，再次交換這兩個節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-建立過程7 • 接著索引值4的節點5仍然有子節點，比較結果是右子節點6比較大，繼續交換這兩個節點，結束二元樹的調整，建立的二元樹就是堆積，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-演算法 • 在建立好堆積後，就可以執行堆積排序，堆積排序法的操作步驟，如下所示： • Step 1：從二元樹調整節點建立成堆積。 • Step 2：在輸出堆積的根節點後，將剩下的二元樹節點重建成堆積。 • Step 3：重覆操作直到所有節點都已經輸出。

11-3 堆積排序法-排序過程1 • 堆積排序是將根節點刪除，但是並非真的刪除節點，而是和最後1個陣列元素交換，索引值9是刪除的節點，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-排序過程2 • 將索引值1到8的節點視為一顆新的二元樹，這棵二元樹除根節點外都滿足堆積特性，所以只需調整索引值1的根節點，使之滿足堆積特性，就可以重新建立堆積，調整結果如下圖所示：

11-3 堆積排序法-排序過程3 • 繼續將索引值1的節點8和索引值8的節點1交換，然後將索引值1到7視為一棵二元樹且重新建立堆積，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-排序過程4 • 現在已經排序好兩個元素，繼續堆積排序的處理，交換節點7和最後索引值7，將索引值1到6視為一棵二元樹且重新建立堆積，如下圖所示：

11-3 堆積排序法-排序過程5 • 等到堆積的全部節點都輸出後，可以得到最後的陣列內容，就是堆積排序法的排序結果。如下圖所示：

11-3 堆積排序法-執行效率 • 堆積排序法的執行效率是當排序的資料個數為n時，堆積排序的主迴圈一共執行n-1次shiftDown()函數，每次執行shiftDwon()函數的效率為樹高即Log n，可以得到執行效率為O(n Log n)。 • 堆積排序法不需要額外的記憶體空間，不過這種排序法不具有穩定性，因為在調整根節點時，有可能交換相同鍵值的元素。

11-4 優先佇列-說明 • 優先佇列（Priority Queue）儲存的每一個元素會指定一個優先權（Priority），取出元素並不是取出最先存入的元素，而是最高優先權的元素。 • 例如：在醫院的急診室陸續送入的病患中，並不是先送入的先醫冶，而是最嚴重的病患先醫冶，如下圖所示：

11-4 優先佇列-實作 • 在C語言實作優先佇列的最佳資料結構就是最大堆積，存入佇列就是將元素插入堆積，取出佇列元素，就是取得最大堆積的根節點，也就是最高優先權的元素。優先佇列的相關函數說明，如下表所示：

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