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SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES FONDAMENTALES ET APPLIQUEES

SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES FONDAMENTALES ET APPLIQUEES. STS IRIS. 5 JUIN 2002. Académie d'Aix-Marseille. Fourier sans peine. A- Représentation fréquentielle d’un signal. Un signal périodique quelconque peut toujours être considéré comme une somme de signaux sinusoïdaux . .

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SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES FONDAMENTALES ET APPLIQUEES

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  1. SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES FONDAMENTALES ET APPLIQUEES STS IRIS 5 JUIN 2002 Académie d'Aix-Marseille Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  2. Fourier sans peine A- Représentation fréquentielle d’un signal Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  3. Un signal périodique quelconque peut toujours être considéré comme une somme de signaux sinusoïdaux. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  4. u(t) = Û.sin (2.f.t + ) Additionnons des signaux sinusoïdaux - de fréquences multiples d’une fréquence donnée. - et d’amplitudeset de phases réglables à l’aide d’un fichier Excel pour reconstituer un signal: Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  5. Le fondamental et les harmoniques • Un signal alternatif périodique uA (t) de fréquence f peut être considéré comme la somme • d’une fonction sinusoïdale de même fréquence f appelée fondamental : • uF(t) = ÛF . sin(2.f.t + F). • d’autres fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples de la fréquence f appelées harmoniques : - uH2 = ÛH2 . sin(2.2f.t + 2) est l’harmonique 2 - uH3 = ÛH3 . sin(3.2f.t + 3) est l’harmonique 3 - uH4 = ÛH4 . sin(4.2f.t + 4) est l’harmonique 4 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  6. u u Û Û f f1 = 1 / T T t Représentation fréquentielle ou spectre Représentation temporelle Description temporelle Description fréquentielle u est composé d ’une seule fréquence f1. C ’est une fréquence pure. u(t) est un signal sinusoïdal :  u(t) = Û . sin(2..f1.t) Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  7. Un signal sinusoïdal est une fréquence pure. Son spectre est une raie (ou Dirac). Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  8. Un signal peut être décrit de manière temporelle ou de manière fréquentielle. Exemple : Temporel : le signal s’écrit u(t) = 10 . sin(2..1000.t) Fréquentiel :le signal est une fréquence pure de fréquence 1000 Hz et d ’amplitude 10. Dans ce cas, la description fréquentielle est plus explicite. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  9. amplitude du son f 440 Hz Notre oreille est un excellent analyseur de spectre. Le diapason du musicien émet un son de forme presque sinusoïdale. La représentation fréquentielle est bien adaptée pour ce son. En effet, le diapason donne le LA à 440 Hz. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  10. B- Analyse spectrale visuelle et auditive Etude de l’équivalence entre la représentation temporelle et la représentation fréquentielle. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  11. Représentation fréquentielle Représentation temporelle Û u (V) 5 V 5 0 5 10 t (ms) F (Hz) 100 0 u(t) = 5.sin(628t) Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  12. Spectres de signaux périodiques • D’un point vue fréquentiel, un signal est une somme de fréquences pures. • Plusieurs fréquences (raies) apparaissent dans son spectre. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  13. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 100 0 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t) +0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  14. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 100 300 0 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t) +0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  15. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 0 500 100 300 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  16. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 0 500 100 700 300 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  17. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 0 100 500 300 700 900 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  18. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 0 500 100 300 700 900 1100 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  19. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 5 5 10 t(ms) -5 100 300 500 700 900 1100 0 F (Hz) u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  20. u u t f Un signal quelconque périodique u se décompose en - un signal alternatif appelé ondulation uond, - un signal continu égal à la valeur moyenne <u>. u = uond + <u> Un signal continu est un harmonique 0 d’un point de vue fréquentiel : Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  21. Représentation fréquentielle Représentation temporelle Û u (V) 5 V 10 V F (Hz) 0 10 5 t (ms) 100 0 u(t) = 5 + 5.sin(628t) Clic 2 Clic 1 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  22. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 Clic 1 10 t(ms) -5 0 F (Hz) u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 2 Clic 1 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  23. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 100 0 F (Hz) u(t)= 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  24. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 0 100 300 F (Hz) u(t)= 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) +1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  25. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 500 100 300 0 F (Hz) u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  26. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 0 500 100 300 700 F (Hz) u(t) = 2 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  27. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 0 500 100 300 700 900 F (Hz) u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  28. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 900 500 0 100 300 700 1100 F (Hz) u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 2 Clic 1 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  29. Représentation fréquentielle Représentation temporelle u (V) Û (V) 7 5 10 t(ms) -5 300 500 0 100 700 900 1100 F (Hz) u(t)=1+ 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t)+... Clic 1 Clic 2 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  30. WinOscillo est un logiciel qui permet de générer un son et de donner la représentation temporelle ou le spectre du son . Etudions - les spectres de sons “purs”, - les spectres de sons générés par le logiciel , - le spectre de la voix. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  31. C- Échantillonnage et... spectres Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  32. e(t) e*(t) t Te 2.Te t Échantillonnage Soit e(t) le signal à échantillonner et e*(t) le signal échantillonné. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  33. er(t) e*(t) t t Te 2.Te Reconstitution Soit e*(t) le signal échantillonné et er(t) le signal reconstitué par bloqueur d’ordre 0. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  34. Comment choisir Te la période d’échantillonnage pour que le signal e(t) soit correctement reconstitué ?  Théorème de Shannon Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  35. Etude des spectres des signaux - à échantillonner, - échantillonné et - reconstitué. Le signal étudié est une somme de 3 sinusoïdes : s(t) = sin (2..1000.t) + 0,3. sin (2..2000.t) + 0,08. sin (2..3000.t) Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  36. Théorème de Shannon : Dans le cas général, la reconstruction est donc possible si : • -le signal e(t) ne contient aucune raie au delà d’une certaine fréquence notée Bmax. • - Le signal est échantillonné à une fréquence Fe qui vérifie la relation Fe > 2 . Bmax pour éviter les repliements de spectre. • - On dispose d’un filtre passe-bas de reconstruction ayant une fréquence de coupure basse Fc telle que : Bmax < Fc < Fe-Bmax.  Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  37. Exemple d’échantillonage : Transmission numérique du son Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  38. Son 20 kHz f Le spectre de la parole et de la musique s’étend jusqu’à environ 20 kHz. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  39. Dans le cas d’une qualité CD, le signal de parole ou de musique est échantillonné à 44,1 kHz. Le théorème de Shannon est donc respecté : Bmax = 20 kHz    2 . Bmax = 40 kHz et Fe = 44,1 kHz.  Fe > 2 . Bmax Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  40. Dans le cas du téléphone numérique le signal est échantillonné à 8 kHz seulement. Le théorème de Shannon n’est plus respecté. Son échantillonné à 8000 Hz Son échantillonné à 44100 Hz La reconstruction n ’est pas possible. Comment échantillonner une parole à 8000Hz ? Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  41. parole f 3,4 kHz 20 kHz En téléphonie, on estime que le message est compréhensible pourvu que les composantes basses fréquences soient transmises correctement. On place avant l’échantillonneur un filtre passe-bas, dit filtre anti-repliement. En téléphonie numérique, la fréquence de coupure du filtre anti-repliement est de 3,4 kHz. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  42. Le signal filtré a un spectre qui ne s’étend plus que jusqu’à 3,4 kHz : Bmax = 3,4 kHz     2 . Bmax = 6,8 kHz Fe = 8 kHz.  Fe > 2.BMAX Le théorème de Shannon est ainsi respecté. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  43. Son échantillonné à 44100 Hz Son échantillonné à 8000 Hz Son échantillonné à 8000 Hz avec filtre anti repliement à 3400 Hz Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  44. D- Modulations et... spectres Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  45. Signal à transmettre f Bmax Signal transmis f f0 Intérêt de la modulation : Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  46. 2 signaux transmis f02 f01 f La modulation permet de “décaler” en fréquence l’information contenue dans un signal. Cela permet de transmettre simultanément plusieurs signaux (en radiodiffusion par exemple). Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  47. Ecoutons la modulation d’amplitude d’un signal sinusoïdal : Ecoutons la modulation d’amplitude d’un signal carré : Ecoutons la modulation de fréquence d’un signal sinusoïdal : Ecoutons la modulation de fréquence d’un signal carré : Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  48. On cherche à transmettre un signal sinusoïdal de fréquence comprise entre 10 et 100 Hz. La fréquence de la porteuse est comprise entre 200 et 500 Hz. Modulation d’amplitude : Modulation de fréquence : Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  49. E- Signaux des convertisseurs statiques et... spectres Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

  50. L’onduleur convertit un signal continu en un signal alternatif. On cherche à rendre ce signal alternatif le plus “sinusoïdal” possible. Il faut supprimer les harmoniques. C’est l’intérêt de la commande décalée. Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

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