1 / 95

第六章 理想不可压缩流体的定常流动

第六章 理想不可压缩流体的定常流动. 6.1 理想不可压缩流体的一元流动. 6.2 理想不可压缩流体的平面势流. 6.3 理想流体有旋流动的几个定理. 所有真实流体均具有粘性和一定的可压缩性:. N - S 方 程. 欧 拉方 程. 势 流 方 程. 粘性. 旋度. 难. 易. 在一些情况下,粘性和压缩性影响很小,采用简化的理想不可压缩流体模型能很好的近似实际流动,具有很好的应用价值。. 本章重点讲授理想不可压缩流体定常流动的相关理论知识。. 6.1 理想不可压缩流体的一元流动.

aric
Télécharger la présentation

第六章 理想不可压缩流体的定常流动

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 第六章 理想不可压缩流体的定常流动 6.1理想不可压缩流体的一元流动 6.2理想不可压缩流体的平面势流 6.3理想流体有旋流动的几个定理

  2. 所有真实流体均具有粘性和一定的可压缩性: N-S 方 程 欧 拉方 程 势 流 方 程 粘性 旋度 难 易 在一些情况下,粘性和压缩性影响很小,采用简化的理想不可压缩流体模型能很好的近似实际流动,具有很好的应用价值。 本章重点讲授理想不可压缩流体定常流动的相关理论知识。

  3. 6.1理想不可压缩流体的一元流动 注意:质量力fx、fy和fz也可用X、Y和Z表示; 速度u、v、w也可用ux、uy、uz。

  4. 在一般情况下,作用在流体上的质量力fx、fy和fz是已知的,对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下,上面方程组中有四个未知数u、v、w和p,而已有三个方程,再加上不可压缩流体的连续性方程,从理论上就可以求解这四个未知数。在一般情况下,作用在流体上的质量力fx、fy和fz是已知的,对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下,上面方程组中有四个未知数u、v、w和p,而已有三个方程,再加上不可压缩流体的连续性方程,从理论上就可以求解这四个未知数。 • 运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时,需要对运动方程进行积分,但由于数学上的困难,目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。

  5. (1)伯努利方程的推导: 假设下列几个条件成立: (1)不可压缩理想流体的定常流动; (2)沿同一微元流束(也就是沿流线)积分; (3)质量力只有重力。 推导思路1: 该条件下流动可基于不可压缩理想流体运动微分方程(欧拉方程求解。 (1) 求解数学模型

  6. 由流体定常流动,则 因此,欧拉方程可写成 (2) 假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式(2)的第一式、第二式和第三式,则可得到

  7. (3) 由流线微分方程(第三章): (4) 将式(4)代入式(3)中的对应项,则得

  8. (5) (6) 由于式(6)中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量,所以要沿流线(或微元流束)进行积分。

  9. 式(6)中 假设质量力只有重力,fx=0,fy=0,fz=-g,即z轴垂直向上,oxy为水平面。则式(6)可写成 又假设为不可压缩均质流体,即ρ=常数,积分后得 [L2t-2] [L] (7) [ML-1t-2] 式(7)称为理想不可压流体在定常流动及重力作用下沿流线的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。

  10. 前者利用了流线方程,后者利用了迹线方程! 推导思路2:

  11. 后续步骤相同!

  12. 伯努利方程的适用条件:理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动,并沿同一流线(或微元流束)。[理想流体、定常流动、均质不可压缩流体、沿流线方向,仅受重力作用]。伯努利方程的适用条件:理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动,并沿同一流线(或微元流束)。[理想流体、定常流动、均质不可压缩流体、沿流线方向,仅受重力作用]。 若1、2为同一条流线(或微元流束)上的任意两点,则式(7)也可写成 在特殊情况下,静止流体V=0,由式(7)可以得到静力学基本方程

  13. (2)伯努利方程物理意义: 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程,现来解释该方程的物理意义和几何意义。 1、物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式(7)中,各项意义: 单位质量流体所具有的重力势能 单位质量流体的动能 单位质量流体的压力能 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时,沿同一流线(或微元流束)上各点的单位质量流体所具有的重力势能、压力能和动能之和保持不变。

  14. 总机械能不变,并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长,相互转换,但总量不会增减。总机械能不变,并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长,相互转换,但总量不会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现,故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立,也可认为在元流上成立,所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。 伯努利方程可理解为:元流的任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是恒定流,通过元流各过水断面的质量流量相同,所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能(即能量流量)也相等。

  15. 注意伯努利方程形式区别! (3)伯努利方程几何意义: 总能头 单位重量流体所具有的重力势能 单位重量流体的动能 速度头 单位重量流体的压力能 位势头 静压头 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时,沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位势头、静压头和速度头之和保持不变,即总水头是一常数。

  16. 总能头线 测压管线 总能头线和测压管线

  17. (1)伯努利方程的应用: 理想流体微元流束的伯努利方程,在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算,下面以应用最广泛的皮托管和文特里流量计为例,介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。 1.皮托管 在工程实际中,常常需要来测量某管道中流体流速的大小,然后求出管道的平均流速,从而得到管道中的流量,要测量管道中流体的速度,可采用皮托管来进行,其测量原理如图1所示。 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端

  18. B A V • Z Z 图 1 皮托管测速原理

  19. 开口弯成直角的玻璃管(称为测速管)。将测速管(又称皮托管)的一端正对着来流方向,另一端垂直向上,这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处,液流受到阻挡,流速变为零,则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压,在入口前同一水平流线未受扰动处(例如B点)的液体压强为 PB,速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的B、A两点,则有 则 (8)

  20. 式(8)表明,只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h,就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性,以及皮托管本身对流动的干扰,实际流速比用式(8)计算出的要小,因此,实际流速为式(8)表明,只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h,就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性,以及皮托管本身对流动的干扰,实际流速比用式(8)计算出的要小,因此,实际流速为 (9) 式中 ψ—流速修正系数,一般由实验确定, ψ =0.97。 如果测定气体的流速,则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来,必须把两根管子连接到一个U形差压计上,从差压计上的液面差来求得流速,如图2所示,则 用式(8),则得 (10)

  21. 图 2 用皮托管和静压管测量气体流速

  22. 考虑到实际情况, 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件,称为皮托—静压管,又称动压管,习惯上常简称它为皮托管,其示意图如图3所示。图中1点为总压测点,2点为静压测点,将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端,则差压计的指示为总压和静压的差值,从而可由式(8)求得测点的流速。皮托-静压管的构造尺寸及使用时的连接方式如图4所示。

  23. 图 3 皮托-静压管

  24. 思考为什么? Ⅰ管——静压管,开口方向与流速垂直。 Ⅱ管——总压管,开口方向迎着流速。 毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头,来测定流场中某点流速。 实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。 实际实验中,在测得h,计算流速u时,还要加上毕托管修正系数c,即

  25. 图 4 皮托-静压管构造及连接方式

  26. 必须注意:静压不是静止流体的压力,而是运动流体的真空压力。之所以称为静压,是因为为了测量流体的压力,可以让测压计随同流体一起运动,与流体保持相对静止,这样流体不受任何扰动,就可以测出运动流体的真实压力。必须注意:静压不是静止流体的压力,而是运动流体的真空压力。之所以称为静压,是因为为了测量流体的压力,可以让测压计随同流体一起运动,与流体保持相对静止,这样流体不受任何扰动,就可以测出运动流体的真实压力。 • 测量封闭管内流体的压力,通常是在管壁上开一个小孔,安装测压管;当流体的静压沿管道截面的变化不能忽略时(如流体在弯管中的流动),可用直角测压管,其外形与皮托管相仿,只是迎流端不开口,而在迎流端后适当距离处沿圆周开设测压孔。

  27. O H0 H C D AC A V2 v0 C O (1)薄壁出流概念: 1 薄壁出流确切地讲就是锐缘孔口出流,流体与孔壁只有周线上接触,孔壁厚度不影响射流形态。 2.薄壁孔口出流 z 2 (2)薄壁小孔口出流求解: o 选取截面1和2,应用伯努利方程:

  28. 已知以下参数: 锐缘小孔口理论出流速度公式(托里拆利公式) 代入计算: 该公式未考虑粘性和表面张力的影响,实际流速要稍小一些。 速度系数: 面积收缩系数: 流量系数: 流量:

  29. (3)薄壁大孔口出流求解: 对于垂直设置的大孔口又该如何计算? 由于孔口各点的作用水头差异很大,如果把这种孔口分成若干个小孔口,对每个小孔口出流可近似用小孔口出流公式,然后再把这些小孔口的流量加起来作为大孔口的出流流量。

  30. 面积微元Bdh上体积流量: 通过大孔的体积流量: 从P120例6-2计算结果可见,以小孔出流公式计算大孔出流,相对误差很小。 当H>D,大孔口出流通常可以看作“小孔口出流”问题。

  31. 孔口非恒定出流 孔口非恒定出流一般应考虑液面高度对孔口出流速度的影响。然而当孔口面积远小于容器面积时,液体在dt时段内的升降或压强的变化缓慢,惯性力可忽略不计,此时可把整个变速的流动过程划分为许多小区间,在每个小区间仍可按恒定流处理。 经孔口流出的液体体积 容器内减少的液体体积

  32. 对上式积分 若H2=0, Qmax—开始出流的最大流量 变水头出流的放空时间,等于在起始水头作用下流出同体积的液体所需时间的两倍。

  33. 具有自由面的液体,通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物(容器壁、河堤等),然后流至低于自由液面的位置,这种用途的管子成为虹吸管。这类现象称虹吸现象。具有自由面的液体,通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物(容器壁、河堤等),然后流至低于自由液面的位置,这种用途的管子成为虹吸管。这类现象称虹吸现象。 2.虹吸管 右图为一虹吸管的示意图,该虹吸管从水槽中吸水,再从右下端出口流出。假定水槽很大,在虹吸过程中自由水面的下降速度为零,且不计流体的粘性。 因此,该问题可用理想不可压缩流体的一元定常流动模型来近似。

  34. 分别选取水槽的自由水面,最高位置截面,出口截面为计算表面,位置高度基准取在水槽自由面处。分别选取水槽的自由水面,最高位置截面,出口截面为计算表面,位置高度基准取在水槽自由面处。 对1,3截面列伯努利方程得 因此, 对2,3截面列伯努利方程得 因此,

  35. 从虹吸管流速公式可知:引起虹吸管内流动的能源来自于其出口与自由液面间的高度差,即由重力势能转换而来。因此,从理论上讲,高度差L越大,则流速越大。从虹吸管流速公式可知:引起虹吸管内流动的能源来自于其出口与自由液面间的高度差,即由重力势能转换而来。因此,从理论上讲,高度差L越大,则流速越大。 从最高截面处压力公式发现,其最高截面处压强小于当地大气压,且其真空度等于(H+L)。可见,当最高截面至自由液面的高度差H达到一定值时,最高截面处压强已等于水流在该温度下的饱和蒸汽压,水将沸腾并产生大量蒸汽,破坏了流动的连续性,虹吸管不能正常工作。 注意:液体中常溶解有气体,当压强降低到一定程度时(此时压强一般高于该状态下的饱和蒸汽压),气体会释放出来形成气穴。 在变截面管道流动、流速较高或位置较高的流动区域会发生类似现象。

  36. 【例】一个虹吸管,已知a=1.8m,b=3.6m,水自池引至C端流入大气,若不计损失,设大气压为10m水柱,求:1)管中流速及B点之绝对压力;2)若B点绝对压力下降到0.24m水柱以下时,将发生汽化,如C端保持不动,问欲不发生汽化,a不能超过多高?【例】一个虹吸管,已知a=1.8m,b=3.6m,水自池引至C端流入大气,若不计损失,设大气压为10m水柱,求:1)管中流速及B点之绝对压力;2)若B点绝对压力下降到0.24m水柱以下时,将发生汽化,如C端保持不动,问欲不发生汽化,a不能超过多高? 【解】以C端及水面列出 伯努利方程,水面处流 速近似为零,出口端压 力近似为大气压,则立 即有 即

  37. 再对水面及B端实用伯努利方程,得 为使B点不发生汽化,必须 因此

  38. 4.文特里(Venturi)流量计 文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量,主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成,如图5所示。它是利用收缩段,造成一定的压强差,在收缩段前和喉部用U形管差压计测量出压强差,从而求出管道中流体的体积流量。 以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1,2-2的伯努利方程 (11) 由一维流动连续性方程 (12)

  39. 图 5 文特里流量计原理图

  40. 将式(12)代入到式(11),整理得 (13) 由流体静力学 (14) 将式(14)代入到式(13),则 (15) 式(15)表明,若ρ液, ρ ,A2,A1已知,只要测量出h液,就可以确定流体的速度。流量为: (16)

  41. 考虑到实际情况 (17) 式中Cd为流量系数,通过实验测定。 文特里流量计是节流装置中的一种,除此之外还有孔板,喷嘴等,其基本原理与文特里流量计基本相同,不再叙述。 三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一,与连续性方程和流体静力学方程联立,可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题,用这些方程求解一维流动问题时,应注意下面几点: (1) 弄清题意,看清已知什么,求解什么,是简单的流

  42. 动问题,还是既有流动问题又有流体静力学问题。动问题,还是既有流动问题又有流体静力学问题。 (2) 选好有效截面,选择合适的有效截面,应包括问题中所求的参数,同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出,流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器,有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面,因为该有效截面的压强为大气压强,对于大容器自由液面,速度可以视为零来处理。 (3) 选好基准面,基准面原则上可以选在任何位置,但选择得当,可使解题大大简化,通常选在管轴线的水平面或自由液面,要注意的是,基准面必须选为水平面。 (4) 求解流量时,一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位,同为绝对压强或者同为相对压强,p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。

  43. (5) 有效截面上的参数,如速度、位置高度和压强应为同一点的,绝对不许在式中取有效截面上A点的压强,又取同一有效截面上另一点B的速度。 【例7】 有一贮水装置如图6所示,贮水池足够大,当阀门关闭时,压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开,水从管中流出时,压强计读数是0.6个大气压强,试求当水管直径d=12cm时,通过出口的体积流量(不计流动损失)。 【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时,根据压强计的读数,应用流体静力学基本

  44. 方程求出H值 则 代入到上式 (m/s) 所以管内流量 (m3/s)

  45. 图 6

  46. 【例8】 水流通过如图7所示管路流入大气,已知:U形测压管中水银柱高差Δh=0.2m,h1=0.72m H2O,管径d1=0.1m,管嘴出口直径d2=0.05m,不计管中水头损失,试求管中流量qv。 【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面,列等压面方程得: 则 (mH2O) 列1-1和2-2断面的伯努利方程

  47. 由连续性方程: 将已知数据代入上式,得 (m/s) 管中流量 (m3/s)

  48. 图 7

  49. 综合利用伯努利方程和动量定理的例题 如图是消防水龙头的喷嘴,高速水流从管道经过一个喷嘴射入大 气,截面积从A1收缩为A2 表压A1处为(p1-pa)’表压A2处为0。求 水流给喷嘴的力R。取坐标,设向右为正,则喷嘴给水流的作用 力为-R,由动量方程可得: 根据连续性方程: 根据柏努利方程

More Related