Geometría del plano

1. Geometría del plano Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

2. Geometría del plano • Conceptos básicos de Geometría • Lospolígonos • Proporcionalidad de segmentos y semejanza • El Teorema de Pitágoras • La circunferencia • Áreas de figuras planas • Movimientos en el plano. Mosaicos

3. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Recordando los elementos básicos de Geometría. Segmentos rectilíneos Ángulos: medida y clasificación Clasificación de ángulos Bisectriz de un ángulo Paralelismo y perpendicularidad. Trazado de paralelas y de perpendiculares Mediatriz de un segmento Proyección ortogonal

4. 1.1.Elementos básicos • El término Geometríaviene del griego, y significa medida de tierras. • Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posición en el espacio. Se llama extensión a la porción de espacio ocupado por un cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada una de las cuales se llama dimensión. • Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, o otros a dos dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión y, por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio.

5. u 1.2. Segmentos rectilíneos • Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B. A B • Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas. A • Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la longitud del segmento. • De las unidades utilizadas históricamente las más convencionales responden a dos sistemas: • Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,... • Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...

6. Paralelismo y perpendicularidad 90º • Las vías de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando, por más que se prolonguen, nunca se encuentran). • Los travesaños que las fijan al suelo, dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas ángulos rectos. • El cruce de vías nos muestra líneas oblícuas.

7. Ángulos Ángulos • Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice. Ángulo llano=180º Ángulo recto 1 R=90º Ángulo completo=360º NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son el sistema centesimal y radianes

8. Tipos de ángulos Ángulo agudo Menor que un recto Ángulo obtuso Mayor que un recto Ángulo convexo Menor que dos rectos Ángulo cóncavo Mayor que dos rectos Ángulos complementarios (Si suman 90º) Ángulos suplementarios (Si suman 180º) experimenta experimenta

9. Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal Radianes experimenta

10. Trazado de paralelas y perpendiculares Rectas paralelas Rectas perpendiculares

11. ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Dos ángulos de lados paralelos, o son iguales (si los dos agudos, o los dos obtusos), o son suplementarios (si uno es agudo y el otro es obtuso)

12. ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Dos ángulos de lados perpendiculares, o son iguales (si los dos son agudos o los dos son obtusos), o son suplementarios (si uno es agudo y el otro es obtuso)

13. C A B SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO Trazamos una recta paralela al lado AB del triángulo Los dos ángulos son iguales por tener los lados paralelos y ser agudos (También sería cierto si los dos fuesen obtusos) Lostres ángulos de un triángulo suman siempre 180º experimenta

14. d d d’ d’ d’ d’’ d’’ d1 d1 Mediatriz de un segmento • La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio. • Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB. Mediatriz del segmento AB A B A B Observa que los puntos de la mediatriz de un segmento AB equidistan de los extremos Á y B experimenta

15. Bisectrizde un ángulo d’ d d d’ La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz. Bisectriz Observa que los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo experimenta

16. Proyección ortogonal A P Q P’ Q’ A’ • La sombra A’ del punto A sobre una recta, a las 12 horas (hora solar), se llama proyección ortogonal de A sobre la recta. • Igualmente, la proyección ortogonal del segmento PQ sobre la recta, es el segmento P’Q’.

17. 2. LOS POLÍGONOS Polígonos: Definición. Elementos de un polígono Clasificación de polígonos Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos. Trazado de polígonos regulares. Polígonos regulares estrellados Triángulos. Clasificación de triángulos. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos. Rectas y puntos notables de un triángulo. Cuadriláteros: Clasificación de cuadriláteros. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.

18. 2.1. POLÍGONOS Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). • Línea poligonal abierta • Línea poligonal cerrada

19. Elementos de un polígono Lado Diagonal Diagonal Vértice Ángulo interior Ángulo exterior Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados

20. Clasificación de los polígonos Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,... El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En estos, y sólo en estos, aparecen dos nuevos elementos: centro y apotema. Centro Apotema

21. Suma de los ángulos de un polígono Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior

23. Construyendo un pentágono regular experimenta

24. Construyendo un pentágono regular experimenta

25. Construyendo polígonos regulares experimenta

26. Construyendo polígonos regulares experimenta

27. Polígonos regulares estrellados Una de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la lacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir vértices no consecutivos de los polígonos regulares. Si en un pentágono regular unimos sus vértices saltando de dos en dos, obtenemos la estrella pentagonal. Esta estrella sirvió de emblema a la escuela pitagórica fundada en Crotona, en el siglo VI a. J.C.

28. Triángulo es un polígono de tres lados. Clasificación: 2.2. TRIÁNGULOS

29. Construyendo triángulos B B c c c c Para construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos: • Conocidos los tres lados a, b y c: c) Con un lado ay los dos ángulos adyacentes B y C: b a a b a c c b) Con dos lados a y b, y el ángulo comprendido C: a b b a a experimenta

30. Criterios de igualdad de triángulos b a c b a c B • Dostriángulos son iguales si tienen los tres lados iguales. II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos • Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes. c a

31. D Circuncentro Mediatrices de un triángulo: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro

32. C D Circuncentro B A Mediatrices de un triángulo: Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro Elcircuncentrode un triángulo equidista de los vértices del triángulo. DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC Por lo tanto DA = DC= DB= r Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en D. Esta circunferencia pasará por los tres vértices del triángulo. Se llama circunferencia circunscrita al triángulo. Elcircuncentroes el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

33. Mediatrices de un triángulo: Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro . Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Observa que en el triángulo rectángulo el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. Observa que en el triángulo acutángulo el circuncentro está en el interior del triángulo. Observa que en el triángulo obtusángulo el circuncentro está en el exterior del triángulo. Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio experimenta

34. Alturas de un triángulo: C C B A O C B A B A O Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. O Observa que en el triángulo rectángulo el ortocentro coíncide con el vértice del ángulo recto del triángulo. Se llama altura de un triángulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto a dicho lado Indica que el ángulo es recto. experimenta

35. I Incentro Bisectrices de un triángulo: Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro

36. C P I M B A N Bisectrices de un triángulo: Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro Elincentrode un triángulo equidista de los lados del triángulo. IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo C IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo B IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo A Por lo tanto IM = IN= IP= r Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en I. Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triángulo. Se llama circunferencia inscrita en el triángulo. El incentroes el centro de la circunferencia inscritaen el triángulo.

37. Bisectrices de un triángulo: C C I A B I C B A I B A Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales dicho ángulo experimenta

38. Medianas de un triángulo: C C N P G P N A B G M C A B M N P G B A M Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Se llama mediana de un triángulo a la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto P, M, N son los puntos medios de los lados experimenta

39. Rectas y puntos notables de un triángulo • Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. • Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Es el centro de gravedad del triángulo. • Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. • Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES

40. b h B l l h b b D d b h B b h B h 2.3. CUADRILÁTEROS: Polígonos de cuatro lados CLAS I F I CAC IÓN

41. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo • En el rombo y en el cuadrado, las diagonales se cortan perpendicular-mente, siendo a la vez bisectrices de sus ángulos. • Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales. A B B’ A’ • En el rectángulo y el cuadrado, las diagonales son iguales. • Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio. experimenta

42. 3. PROPORCIONALIDAD Proporcionalidad de segmentos y semejanza TEOREMA DE TALES a. Consecuencias del Teorema de Tales b. La tercera proporcional. Sección áurea. Semejanza a. Semejanza de triángulos. b. Polígonos semejantes. Escalas

43. H h S. árbolpequeño (s) A Sombra del árbol grande (S) B H h O A’ s B’ S 3.1. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura ¿Con qué razón de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia? ¿Podrías calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra?

44. r E’ D’ E’’ C’ D’’ B’ C’’ A’ B’’ O A C B D E r’ O A’ A B’ B 3.2. TEOREMA DE TALES Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. experimenta

45. Consecuencias del teorema de Tales Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos un nuevo triángulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero. A M N B C Si en un triángulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC, por el teorema de Tales se cumple : P Trazando por N una paralela a AB, por el mismo teorema tenemos: El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales. De (1) y (2) se deduce: experimenta

46. x b b a b x B A C Resolviendo la ecuación La tercera proporcional. Sección áurea experimenta Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados a y b si verifica la proporción: También sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional, hasta localizar un punto C del segmento AB de forma que: (número áureo o número de oro)

47. 3.3. LA SEMEJANZA Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales Teorema fundamental: Si dos lados de un triángulo se cortan por una paralela al tercero, se obtiene otro triángulo semejante al primero. experimenta

48. Criterios de semejanza de triángulos CRITERIOS DE SEMEJANZA • Dostriángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales . • Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

49. Polígonos semejantes Polígonos semejantes son los que se descomponen en triángulos semejantes dispuestos correlativamente. Se llama razón de semejanza de los polígonos a la razón entre sus lados homólogos. P P La razón de los perímetros de dos polinomios semejantes es igual a la razón de semejanza Polígonos homotéticos experimenta

50. 3.4. ESCALAS Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la pieza está dibujada a escala. A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala gráfica. Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad. Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto. Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para reproducir dibujos a una escala determinada). El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A, una punta metálica B para repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro reglas forman un paralelogramo articulado BDEF. Los puntos A, B y C están alineados de modo que: experimenta