总体分布参数

7 总体分布参数及总体分布的假设检验

内容 §7.1 总体分布参数的假设检验 §7.2.3 总体分布的χ2检验

学习目标 1.假设检验,原假设、备择假设 2.两类错误 3. 显著水平，拒绝域 4. 正态总体均值或方差的假设检验

常把一个要检验的假设记作H0,称为原假设 （或零假设） (null hypothesis)，与H0对立的假设记作H1，称为备择假设(alternative hypothesis)。

例某工厂在正常情况下生产的电灯泡的寿命 X(小时)~N(1600,802).从该工厂生产的一批灯泡中随机抽取10个灯泡，测得它们寿命为： 1450,1480,1640,1610.1500, 1600,1420,1530,1700.1550 如果标准差不变，试检验这批灯泡的寿命均值μ(1)也是1600，(2)大于1600，(3)小于 1600.

记作：

⑴ 在原假设为真时，决定放弃原假设， 称为第一类错误，其出现的概率通常记作α； ⑵ 在原假设不真时，决定接受原假设，称为第二类错误，其出现的概率通常记作β。通常只限定犯第一类错误的最大概率α，不考虑犯第二类错误的概率β。这样的假设检验又称为显著性检验，概率α称为显著性水平。

当H0为μ＝μ0、假设检验的结果是放弃H0时， 如果α=0.05，则称μ与μ0有显著的差异或差异显著；如果水平α=0.01，则称μ与μ0有极显著的差异或差异极显著。

假设检验的步骤如下： ⑴ 提出H0和H1； ⑵ 指定概率α； ⑶ 寻求统计量g(X1,X2,…,Xn)及其分布； ⑷ 在H0为真时构造小概率事件并推导 g( )所满足的不等式； ⑸ 当统计量的观测值g(x1,x2,…,xn)满足不等式时放弃H0、否则接受H0。

习惯上称观测值g(x1,x2,…,xn)所 满足的不等式为假设检验方案，称这个不等式所确定的观测值g 的取值范围为假设检验的放弃域。放弃域由两个区间构成的假设检验被形容为双侧检验，放弃域由一个区间构成的假设检验被形容为单侧检验。

H0为相等、H1为不相等的假设检验 为双侧检验，观测值g ( )较大或较小时放弃H0； H0为相等、H1为大于的假设检验为单侧检验，观测值g ( )较大时放弃H0； H0为相等、H1为小于的假设检验为单侧检验，观测值g ( )较小时放弃H0。

设总体X服从N(μ,σ2)分布，X的一个 样本为X1、X2、…、Xn、均值为、修正方差为S*2、离均差平方和为SS，样本的观测值为x1,x2,…,xn,均值的观测值为 ,修正方差的观测值为s*2，离均差 2.一个正态总体均值或方差的假设检验平方和的观测值为ss，显著性水平为α，则有：

结论1）若σ2已知，对于给定的数值μ0， 作一个正态总体均值的假设检验时， H0为μ＝μ0，而H1分别为 ①μ≠μ0，②μ＞μ0，③μ＜μ0。可设它的观测值

当H0为真时，

结论2）若σ2未知，对于给定的数值μ0， 作一个正态总体均值的假设检验时， H0为μ＝μ0，而H1分别为 ①μ≠μ0，②μ＞μ0，③μ＜μ0。可设它的观测值

结论3） 作一个正态总体方差的假设检验时，可设它的观测值

例工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定标准 重量为每袋净重500克。现随机地抽取10袋，测得各袋净重为： 495，510，505，498，503，492，502， 505，497，506. 设每袋净重服从~N(μ，σ2)，问包装机工作是否正常（α=0.05）？ (1) 已知σ=5克；(2) 未知σ。

解我们有 计算统计量u的观测值

计算统计量t的观测值

例1.2《作物栽培》已知豌豆百粒重X(单位： g)服从正态分布N(37.72,0.1089)，在改善栽培条件后随机抽出9粒，平均重量＝37.92，问改善栽培条件是否显著地提高了豌豆的百粒重，α＝0.05。解：因为改善栽培条件不会降低豌豆籽的百粒重，所以设 H0为μ＝37.72，H1为μ>37.72

计算出u=1.818,

例《品种提纯》一个混杂的小麦品种， 其株高的标准差为14cm，经提纯后随机地抽出10株，它们的株高(单位：cm)为90, 105,101,95,100,100,101,105,93,97，试检验提纯后的群体是否比原来的群体较为整齐，α＝0.05。解：提纯后的群体应该比原来的群体较为整齐，故设 H0为σ2＝196，H1为σ2<196，

3.两个正态总体均值或方差的假设检验

结论4） H0为μ1＝μ2，而H1分别为 ①μ1≠μ2，②μ1＞μ2，③μ1＜μ2。可设

它的观测值 当H0为真时，因为U～N(0,1)，所以

结论5） H0为μ1＝μ2，而H1分别为 ①μ1≠μ2，②μ1＞μ2，③μ1＜μ2。可设

它的观测值 当H0为真时，

结论6）若μ1和μ2未知，作两个正态总体 方差的假设检验时，可设它的观测值

=1.2，在麦田的中心取8个样点，得到产量 的均值 =1.4，试检验麦田四周及中心处每平方米产量是否有显著的差异(α=0.05)？例1.6《作物裁培》根据资料测算，某品种小麦产量(单位：Kg/ m2)的σ2＝0.4。收获前在麦田的四周取12个样点，得到产量的均值解：因为要检验麦田四周及中心处每平方米产量是否有显著的差异，所以设 H0为μ1＝μ2，H1为μ1≠μ2，

由α查标准正态分布的分布函数值表得到 u0.975=1.96，|u|<1.96，因此应该接受H0，认为μ1＝μ2，即麦田四周及中心处每平方米产量没有显著的差异。

例1.8《产量调查》调查某地每亩30万苗 和50万苗的稻田各5块，分别得到亩产量800, 840,870,920,850和900,880,890,890,840，试检验两种密度的亩产量是否有显著的差异？解：本例要检验μ1≠μ2，例中未给出显著性水平，可认为α=0.05。设

根据容量为n＝m＝5的两个样本观测值算出 则由α查F分布的分位数表得到 F0.975(4,4)＝9.60，

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