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第三章 付里叶分析

第三章 付里叶分析. 离散付氏级数的数学解释 (The Mathematical Explanation of DFS) 如前所述,连续信号 x(t) 或离散信号 x(nT 1 ) 的频谱: 都是连续谱,无法用计算机直接处理。要用计算机研究处理(数字信号处理)必须将: 无穷积分 ( 求和 ) 近似为有限积分 ( 求和 ) ; 频率  离散化。 本节主要讨论如何进行近似计算,和实施这些数学计算所需的一些必要的数学基础。. 离散付氏级数的数学解释. 泊松求和公式 (The Poisson Sum Formula)

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第三章 付里叶分析

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  1. 第三章 付里叶分析 • 离散付氏级数的数学解释(The Mathematical Explanation of DFS) 如前所述,连续信号x(t)或离散信号x(nT1)的频谱: 都是连续谱,无法用计算机直接处理。要用计算机研究处理(数字信号处理)必须将: • 无穷积分(求和)近似为有限积分(求和); • 频率离散化。 本节主要讨论如何进行近似计算,和实施这些数学计算所需的一些必要的数学基础。

  2. 离散付氏级数的数学解释 • 泊松求和公式(The Poisson Sum Formula) 设一周期函数 是以f(t)为主值函数,以T为周期进行周期延拓而得,如下图左图所示。 在第二章中已经证明,若F()是f(t)的付氏变换,则: 此系时域泊松求和公式,是将无穷积分变换成有限求和的基础。

  3. f(t) F() 离散付氏级数的数学解释 下面将用线性系统理论证明泊松求和公式,以此来说明其系统意义。 设某系统的传递函数为F(),对应的冲激响应为f(t),如下图所示。

  4. 离散付氏级数的数学解释 若输入为: 则由线性系统理论知,其输出为: 另一方面,由付氏级数输入信号可展开成: 将上式右端通过系统,得到响应为:

  5. 离散付氏级数的数学解释 此即时域泊松求和公式。另外,在频域也有类似的公式成立: 设 为以F()为主值函数,以1为周期进行周期延拓而得的周期函数,见前图右图。f(t)是F()的付氏反变换,则有频域泊松求和公式:

  6. 离散付氏级数的数学解释 • f(t)与F()为付氏变换对,而 与 不是付氏变换关系。 和 分别是f(t)和F()的周期延拓,其周期分别为T和1。 • 当f(t)为因果函数时,利用频域泊松求和公式(令=0)有: • 利用泊松公式可以推导出一些有用的恒等式。

  7. 离散付氏级数的数学解释 例3-10:已知变换对: 试求序列 的付氏展开式。 解:由频域泊松公式有:

  8. 离散付氏级数的数学解释 令=0和T1=1,有: 题给出的变换对和=0和T1=1,可得

  9. 离散付氏级数的数学解释 • 付氏变换与付氏级数(Fourier Transform and Fourier Series) 由泊松公式可见,通过X()的样本X(n0)可求得 的付氏级数系数(频谱),即: • 频域取样(离散化)后,x(t)就周期化了,而且0=2/T,当0越小,则T越大;当T→∞时, 0→0; • 若x(t)已知, 则可以精确地确定 ; • 对于信号g(t)的截短函数:x(t)=g(t)Pa/2(t),由上式可求得g(t)的付氏变换G ()的样本的近似值。

  10. 离散付氏级数的数学解释 X()为截短函数的付氏变换,一般情况下,它可近似G ()。 • 与时域取样类似,若x(t)严格限制在有限区间内,即x(t)满足:当|t|>a/2时,x(t)=0;则有:若T>a,则 可由x(t)唯一地确定;若T<a, 将产生混叠。 • 用窗函数w(t)代替Pa/2(t)(矩形窗),通过选择适当的w(t),可使误差G(n0)-X(n0)减小。这类截短问题在数字信号处理中有许多应用,如数字滤波器设计和频谱分析等。

  11. 离散付氏级数的数学解释 • 付氏级数与离散付氏级数(Fourier Series and DFS) 通过对付氏级数与离散付氏级数关系的讨论,将可用一个有限和式来近似计算付氏级数系数。 设一个周期函数: 若对 进行取样,取N为一任意整数,而且有T=NT1,即在一个周期内取N点,则 的样值 由下式确定:

  12. 离散付氏级数的数学解释 式中,WN是1的N元根,称作旋转因子。 我们知道,在一个域内取样离散化,则在另一个域内周期化,而k又可写作: K=n+rN, n=0,1, …,N-1;r=…,-1,0,1, … 并且,旋转因子具有周期性: 和 ,所以上式又可写作: 令: ,显然 序列是周期的,即: 所以有:

  13. 离散付氏级数的数学解释 上式说明,周期函数 的样本值 由一组(一个周期) 来确定;而且, 也由一个周期内的样本值 来确定。 的付氏级数系数Cn与 由 来联系。 例3-11:设 ,N=9;试求 解:因为|n|>10时,Cn=0,所以,由Cn与 关系式得:

  14. 离散付氏级数的数学解释 一般而言, 不能确定Cn,除非仅有N个不为0的 。例如三角多项式为: 若N>2M+1,由Cn与 关系式知: Cn与 的图形如下图所示。这时,由 就能求出Cn。 由于 由 唯一地确定,从而,可以推定类似三角多项式这样的函数的付氏级数系数Cn能由它的样本值 来确定。亦即可由y(t)的样本求出Y()的样本,从而近似求得Y()。从数学上讲,这就是Y()的数值计算问题。

  15. 离散付氏级数的数学解释 • 数值计算的基本定理(The Basal Theorem of Numerical Computation) 对于x(t)的付氏变换:

  16. 离散付氏级数的数学解释 的计算基于如下定理: 若T是任意常数,N是任意整数,而且有: 则对任何m有: 式中: • 由信号理论易知其合理性:时域取样导致频域周期化;频域取样对应时域周期化。

  17. 离散付氏级数的数学解释 • 因为有T=NT1,1=N0,所以无论时域或频域在一个周期均为N个样值,因此,在一个周期内,一组由定理等式定义的N个方程确定了 与 之间的关系。可以由N个 样本值通过求解方程组,求出 的样本值。 • 一般而言, 不能唯一确定X(n0),但若X()满足:X()=0,当||>和1>2,=/T;则有下式成立: 上条件说明x(t)是带限信号,而且满足取样定理。

  18. 第三章 付里叶分析 • 若x(t)不是带限的,但只要1足够大,使得当||>1/2时的X()可以忽略不计,则当n<1/20=N/2时, 近似等于X(n0)。但存在一定的混叠误差: X(n0)- 。 • 离散付氏变换(Discrete Fourier Transform) • DFT引入背景(The Inductive Background of DFT) • 再次研讨信号时频域关系(见下图)可以发现在四种信号时频关系中,只有第四类信号时频域均是离散的,能进行计算机(数字)处理。第二类信号时域是离散的,但其频域却是连续的,不能直接应用数字信号处理技术,为了能

  19. 信号时频关系示意图

  20. 离散付氏变换 够处理这类信号,故人为引入离散付立叶变换。 • 分析离散非周期序列(有限长序列)频谱可知:其频谱是周期的,只需研究一个周期;频谱是连续的,需要对其进行离散化,应用频域采样定理可以在不丢失信息的条件下,将其离散化。进行上述处理后即可得到有限长序列的DFT,如上图所示。 • 离散付氏变换定义(Definition of DFT) • 对一个N点的有限长序列x(n),由序列的付氏变换定义,有:

  21. 离散付氏变换 对正变换,取频谱的一个周期(设取主值周期),按频域采样定理,在一个周期内取N点离散化,令 有: 对反变换,因为 ,故有:

  22. 离散付氏变换 • DFT定义(Definition of DFT) : 一N点的有限长序列x(n),对它的频谱在一个周期内进行N点等间隔取样,则得其的频域序列,两者的关系称为离散付氏变换(Discrete Fourier Transform,DFT),即: 式中, 称为旋转因子。

  23. 离散付氏变换 • DFT的物理意义(The Physical Meaning of DFT) • DFT与Z变换的关系:容易证明,有限长序列x(n)的DFT是其在单位圆上Z变换(序列的付氏变换)的N点等间隔采样。 • 由序列的付氏变换的物理意义容易推得DFT的物理意义:N点有限长序列x(n)的(频域序列)DFT[X(k)]为x(n)的频谱在一个周期里的N点等间隔取样。只要取样满足一定的规律(频域取样定理),即可无失真地反映X(ej),进而可恢复信号x(n)。

  24. 离散付氏变换 • DFT的隐含周期性(The Connotative Periodicity of DFT) • 由信号时频关系的内在本质联系知,对DFT来说,时、频域均是离散的,故其时、频域均是周期序列,即时域对应的是由主值序列x(n)以N为周期进行周期性延拓后得到的周期序列 ;频域对应的是由主值序列X(k)以N为周期进行周期性延拓后得到的周期序列 。 • 由于在处理时仅需主值序列(或者说一个周期的序列),所以在DFT定义中,时频域均限制在主值序列范围内,即:0≤n≤N-1;0≤k≤N-1。

  25. 离散付氏变换 例3-12:考察一个离散系统:离散付氏变换分析器,其差分方程为y(n)- y(n-1)=x(n)。 解:易得系统的系统函数为: 所以其单位脉冲响应为: 若输入为0≤n≤N-1的N点有限长序列x(n),由于x(n)和h(n)均为因果序列,由卷积公式易得:

  26. 离散付氏变换 当n=N时,因为有x(N)=0,所以有: 即当系统输入x(n)时,N时刻系统的输出等于其对应的DFT变换X(k)值,改变系统常数 ;即可求得对应的DFT: 。 • DFT的基本性质(The Basal Properties of DFT) • 线性性(Linearity) 满足齐次性和叠加原理。设x1(n)和x2(n)是长度分别为N1和N2的有限长序列,若a、b为任意常数,且:

  27. 离散付氏变换 取N=max[N1,N2],设X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT,则N点序列y(n)的DFT为: • 循环移位性质(The Property of Circular Shift) • 序列的循环移位(Circular Shift of Sequence) N点有限长序列x(n)的循环移位定义为: 式中:x(())N表示对x()中序号进行模N取余运算。 为0~N-1的窗口序列。

  28. 离散付氏变换 循环移位的几何意义和过程可如下图所示。m>0,左移;m<0,右移。循环移位概念也可用圆移位解释,所以有时又称为“圆位移”。下面(如图)用一个N=8,左移3位的圆位移的几何过程进一步说明循环移位。 • 时域循环移位定理(Time-Domain Circular Shift Theorem) 设x(n)是长为N的有限长序列,y(n)为循环位移m位后的序列,其DFT为:

  29. 循环移位几何意义示意图

  30. 用圆位移形象说明循环位移

  31. 离散付氏变换 • 频域循环移位定理(Frequency- Domain Circular Shift Theorem) 若 则 • 循环卷积定理(Circular Convolution Theorem) • 循环卷积(Circular Convolution) 设有两有限长序列x1(n)和x2(n),长度分别为N1和N2,取N=max[N1,N2](较短的一个通过补零,达到N长),则两者的循环卷积定义为:

  32. 离散付氏变换 或者: 记作: 循环卷积中x(n)、x1(n)、x2(n)均等长,为N点。 从时域直接计算两序列的循环卷积通常有三种方法: • 利用公式直接计算; • 同心圆法; • 波形作图法。 同心圆法和波形作图法计算示意见下图。

  33. x2(0) x2(1) x2(1) 循环卷积计算图示 x2(N-1) x2(0) x1(0) x1(0) x1(N-1) x1(N-1) x1(1) x1(1) x2(N-1) x1(n) x(n) x2(n)

  34. 离散付氏变换 • 时域卷积定理(Time-Domain Circular Convolution Theorem) 设x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为: 若 则有: 利用卷积定理可将循环卷积变换到频域利用乘法运算实现,通过DFT的快速计算方法可以大大降低运算量。

  35. 离散付氏变换 • 频域卷积定理(Frequency-Domain Circular Convolution Theorem) 与时域对称,也存在频域卷积定理: 若 则:

  36. 离散付氏变换 • 复共轭序列的DFT(DFT of a Complex Conjugation Sequence) 设 为x(n)的复共轭序列,而且有:则: , 0≤k≤N-1 且X(N)=X(0) • 共轭对称性(Conjugation Symmetry) • 关于圆对称:关于圆周的中轴线对称。写成表达式如下: 设xep(n)为有限长共轭对称序列, xop(n)为有限长共轭反对称序列;有:

  37. 对称轴 N=8 N=7 0 0 7 1 6 1 6 2 5 2 5 3 4 3 4 共轭对称示意

  38. 离散付氏变换 对N为偶数,将上式中n换成N/2-n,有: 下图给出了一个N=8的序列对称示意。 • 序列的共轭对称性(Conjugation Symmetry of Sequences) • 任意序列都可写成其共轭对称分量与共轭反对称分量之和; • 利用序列与复共轭序列DFT间的关系,可导出序列DFT的对称特性。

  39. 复序列共轭对称示意图

  40. 离散付氏变换 • 如果序列x(n)的DFT为X(k),则x(n)的实部和纯虚部的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量。即,如果:x(n)=xr(n)+jxi(n);X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k),则: DFT[xr(n)]=Xep(k) ; DFT[jxi(n)]=Xop(k) • 如果序列x(n)的DFT为X(k),则x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和纯虚部。即,如果:x(n)=xep(n)+xop(n);X(k)=DFT[x(n)]=XR(k)+jXI(k),则: DFT[xep(n)]=Re[X(k)]=XR(k) DFT[xop(n)]=jIm[X(k)]=jXI(k) • 由序列DFT的共轭关系,可以推出各类序列DFT的对称关系,它们可总结如下表所示。

  41. 序列共轭对称性总结及示例

  42. 离散付氏变换 1、若x(n)为实函数,则X(k)是共轭偶对称的;x(n)为共轭偶对称的,则X(k)是实函数,从而有: 实、偶实、偶 2、若x(n)为共轭奇对称的,则X(k)是虚函数; x(n)为实函数,则X(k)是共轭偶对称的,即其虚部为奇函数;从而有: 实、奇虚、奇 3、因为X(k)=DFT[jxiep(n)]=jDFT[xiep(n)],由“1”得DFT[xiep(n)]是实偶函数, 即X(k)为虚偶函数,从而有: 虚、偶虚、偶 4、因为X(k)=DFT[jxiop(n)]=jDFT[xiop(n)],由“2”得DFT[xiop(n)]是虚奇函数,即X(k)为实奇函数,从而有: 虚、奇实、奇

  43. 第三章 付里叶分析 • 利用序列DFT的对称关系可以减少DFT的运算量,一般而言,只需计算大约一半点数的DFT,另一半可由对称性求得。序列对称性是DFT和DFS快速算法(FFT)的重要基础。 • 频率域采样(Frequency Sampling) • 由时域采样定理知:在时域只要满足采样定理(即时域采样点足够多)即可用采样序列无失真地恢复原始信号(用采样序列代表原始连续信号)。由时频域的对称性原理推断,在频域也应存在类似的采样定理。即满足何种条件可以对频域连续函数采样,使得采样序列可以无失真地恢复原始频域函数。

  44. 频率域采样 • 频域采样定理(Frequency Sampling Theorem) : 对M点有限长序列x(n),若X(k)为x(n)频域函数的采样序列,只有当采样点数N≥M时,才有: 即可由频域采样序列X(k)恢复原始频域连续函数,进而可恢复原始时域序列x(n)。 • 若采样点数N<M,时域将发生混叠现象(失真),不能无失真地恢复原始信号; • 有限长序列DFT是建立在频域采样定理基础上的,由此可以解释为何DFT用N点对频谱等间隔采样; • 由频域采样定理可以推断无限长序列的DFT不存在(无意义),因为此时无论频域采样点数选取多大,时域都将发生混叠。

  45. 频率域采样 • X(z)的内插公式及内插函数(Interpolation Function and Interpolation Formula of X(z)) • 满足频域采样定理后,x(n)的DFT(X(k))可以无失真地恢复(表示)x(n),所以它也应能表示它的Z变换X(z)。用X(k)表示X(z)的表达形式称为X(z)的内插公式;在内插公式中描述采样点间轨迹关系的函数称为内插函数。 • 利用IDFT表达式和有限项级数求和公式容易推导得到X(z)的内插公式为: 式中: 为内插函数。

  46. 频率域采样 • 利用序列z变换与付氏变换的关系,由X(z)的内插公式容易求得 的内插公式和内插函数为: 利用尤拉公式和 ,对内插函数进行恒等变换:

  47. 频率域采样 所以, 的内插公式和内插函数又可写作:

  48. 第三章 付里叶分析 此表达方式将在《数字信号处理》介绍的频率采样FIR滤波器设计中得到应用。 • 快速付氏变换(Fast Fourier Transform) • 引言(Introduction) • DFT是数字(离散)信号中的一种重要变换,但从DFT定义可以容易得到直接计算一个N点的DFT需要:N2次复数乘法;N(N-1)次复数加法。即其运算量随着N按平方增加,当N较大时,其计算量非常大,直接用DFT进行实时计算或谱分析是不切实际的。

  49. 快速付氏变换 • 1965年库利(J.W.Cooley)和图基(J.W.Tukey)发现DFT的快速算法后,DFT才得到实际的应用。 • 自1965年后,DFT的快速计算算法的研究得到空前的发展,除了Cooley-Tukey算法;Sande-Tukey算法外,还有许多其它算法,如:Winograd算法;余弦变换快速算法;Walsh变换;数论变换等。 • 基2FFT算法(The Algorithm of Base 2 FFT) • FFT的基本思想(The Basal Thought of FFT) • 长为N的序列x(n)的DFT定义:

  50. 快速付氏变换 式中, 为旋转因子,具有如下特性: 周期性: 对称性: • FFT的基本思想(The Basal Thought of FFT) : • 利用 的周期性和对称性,可使DFT运算中的某些项合并; • 因为DFT的运算量与N2成正比,若将DFT运算尽可能地分解成小N点的DFT的组合,这样可以降低运算量。

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