MIC7340 Chapitre 12 Filtres

1. MIC7340 Chapitre 12 Filtres

2. Quatres types fondamentaux Passe-bas Passe-haut Idéal Réalisable fc fc Passe-bande Coupe-bande fc1 fc2 fc1 fc2 • Peuvent être réalisés par des moyens analogiques ou numériques • L’analyse de la réponse en fréquence se fait généralement avec la transformée de Fourier, la synthèse part de la transformée de Laplace

3. Série de Fourier • Permet de représenter tout signal périodique par une combinaison de signaux sinusoïdaux : où

4. Série et transformée de Fourier • L’égalité sin() + j cos()=e jpermet aussi d’écrire : où • Chaque terme se distingue par une amplitude ck et un angle de phase k=k0t • Lorsque s(t) n’est pas périodique ou T est infini, on utilise la transformée de Fourier : où • s(t) comprend un nombre infini de composant et F() est une fonction continue • La transformée de Fourier est aussi applicable aux fonctions de durée finie ou périodiques; F() est alors discontinu • Dans tous les cas, les paires (ck,k) ou F() décrivent le spectre de fréquences de s(t)

5. Transformée de Laplace • Définie par: • où et • Peut être vue comme une extension de la transformée de Fourier où j est remplacé par s= + j • L’usage de s au lieu de j permet de rendre compte aussi du comportement transitoire d’un circuit •  permet d’étudier la réponse transitoire et j la réponse permanente • Utile pour déterminer la stabilité d’un circuit pour différente conditions d’opération • On passe souvent de la transformée de Fourier à la transformée de Laplace en remp;açantj par s dans l’une ou l’autre • En pratique, la transformée de Fourier est plus facile d’usage

6. Propriétéfondamentale • Les relations • s(t) F() • s(t)F(s) • sont bi-univoques • Pour chaque s(t), le F() ou F(s) correspondant est unique s’il existe, et vice-versa • Par conséquent l’impact d’un circuit sur un signal s(t) peut se faire de manière équivalente en faisant une analyse dans le temps ou dans l’un des espaces j ou s, dépendant de qui est le plus avantageux

7. Fonction de transfert • Définie par H(s)=Y(s)/X(s) ou Y(s) et X(s) sont la sortie et l’entrée du circuit étudié • Joue un rôle similaire à celui la fonction de réponse en fréquence, mais dans le domaine de Laplace • Dans tous les cas : • En pratique, on retrouve aussi souvent l’une que l’autre formulation

8. Moyens de mise en oeuvre des filtres • Filtres numériques : implémentés par microprocesseur, microcontrôleurs, FPGA ou autre moyen numérique • Le filtre calcule directement la fonction de réponse en fréquence en matériel ou logiciel • Filtres analogiques : la mise en œuvre est basée sur des composants analogiques qui réalisent la fonction de réponse en fréquence • Les filtres passifs utilisent uniquement R, L et C et ont un gain inférieurs à 1. • Les filtre analogiques actifs ajoutent des composants actifs (habituellement des amplificateurs operations) pour un gain arbitraire

9. Filtreanalogiquespassifs . + 0 dB R + -3 dB Diagramme de Bode VI C VO _ _  1/RC Filtre passe-bas de permier ordre 1 x Diagramme linéaire 0.707  1/RC 0 Réponse en amplitude

10. Filtreanalogiquespassifs 0 dB . + -3 dB Bode C + R Vi VO _ 1/RC _  1/RC 1 Filtre passe-haut de premier ordre x . 0.707 Linéaire  0 1/RC

11. Filtreanalogiquespassifs + C L 0 dB . . + VO Bode Vi R -3 dB _ _ lo hi  Filtre passe-bande du second-ordre 1 . . 0.707 Linéaire lo hi  0

12. Filtreanalogiquespassifs Example + R + L VO Vi _ C _ Matlab: num = [1 0 300000]; den = [1 3100 300000]; w = 1 : 5 : 10000; Bode(num,den,w) Filtre coupe-bande de second-ordre : Bode Matlab

13. Filtreanalogiquesactifs Filtre passe-bas du 1er ordre Filtre passe-haut du 1er ordre Filtre coupe-bande du 2nd ordre Rappel : Pour un ampli-op inverseur : G=-Zf/Zi Filtre passe-bande du 2nd ordre

14. Filtres numériques • Deux types fondamentaux • À réponse impulsionnelle de durée finie (RIF) • À réponse impulsionnelle de durée infinie (RII) • Analysés et conçus à l’aide de la transformée z • Adaptation de la transformée de Laplace aux systèmes à temps échantillonnés avec le changement de variable z = eTs • Permet donc de : • Déterminer la réponse d’un filtre numérique à un signal d’entrée • Étudier sa réponse en fréquence • Étudier sa stabilité

15. Transformée Z • La transformée z d’un signal à temps échantillonné quelconque x[n] est définie par oùz = esTe, s étant la variable de Laplace et Tela période d’échantillonnage ; pour un signal causal k0=0. • Il existe une relation biunivoque entre le signal et sa transformée z :

16. Fonctions de transfert numériques • Si x[n] est l’excitation, h[n] la fonction de réponse du filtre á une impulsion et y [n] sa sortie, alors • et H( ) est la fonction de transfert du système. • Résultat similaire à ceux trouvés pour les transformée de Fourier et Laplace :

17. Im pôle cercle unité zéro Re 1 -1/3 Diagrammes de placement des pôles-zéros et réponse en fréquence Ex. : donne • L’effet du numérateur et du dénominateur peut être représenté par des vecteurs qui partent de pôles ou zéros et se rejoignent en un point commun sur le cercle unité. • Les rapports d’amplitudes et les angles des vecteurs définissent la réponse en fréquence.

18. Comparaison entre RII et RIF

19. Propriétés d’un filtre RIF • Équation d’e/s : x[n] représente les valeurs successives du signal d’entrée, bkreprésente les coefficients de la fonction de transfert du filtres, y[n] représente les valeurs successives du signal de sortie, N est le nombre de coefficients du filtre (l’ordre).

20. Réponse en fréquence d’un filtre FIR • La transformée z de est: • La fonction de réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by ejTe: • La similarité de H() avec une série de Fourier suggère une méthode pour trouver h[n] !

21. Propriétés d’un filtre RII • Équation d’e/s : x[n] représente les valeurs successives du signal d’entrée, ak, bk représentent les coefficients de la fonction de transfert du filtres, y[n] représente les valeurs successives du signal de sortie, N, M représentent les ordres du numérateur et du dénominateur de H(Z) (M est souvent appelé l’ordre du filtre).

22. Réponse en fréquence d’un filtre RII • La transformée z de est : • La fonction de réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by ejTe:

23. Propriétes de la réponse en fréquence numérique • Puisque e-j2k = 1, on a : • La réponse en fréquence est périodique avec période 2/Te dans le cercle de rayon unité. Si on normalise Te à 1, on a

24. Conception d’un filtre numérique • Cinqétapesrequises : • Spécification du filtre • Calcul des coefficients. • Choixd’une architecture de mise en oeuvre. • Simulation (option). • Implémentation. • Dans la suite, on discute les filtres RII

25. Étape 1 : spécification du filtre

26. Étape 2 : calcul des coefficients • Il existe deux approches : • Placement direct des pôles et zeros dans la plan z • Conversion d’un filtre analogique : • Par transformation bilinéaire • En utilisant le principe de l’invariance de la réponse impulsionnelle • Dans le cas de la transformation d’un filtre analogique, on part souvent de l’équation d’un filtre passe bas normalisé que l’on adapte au type désiré (passe haut, passe bande, etc.) avant la conversion.

27. Méthode du placement des pôles et zéros • Basée sur le principe que, dans le plan z : • Le placement d’un zéros ~ |z|=1 minimise la fonction de réponse en fréquence du filtre à cet endroit. • Le placement d’un pôle ~ |z|=1 maximise la fonction de réponse en fréquence du filtre à cet endroit. • Pour obtenir un filtre avec des coefficients réels (donc réalisable), il faut que les pôles et zéros soient à valeurs réelles ou qu’ils apparaissent pas paires conjuguées. • Méthode intuitive mais qui demande un réglage fin

28. Méthode du placement des pôles et zéros • Exemple :

29. Méthode du placement des pôles et zéros % Conception et simulation d’un filtre par placement de pôles et zéros pole1 = 0.5+0.5i; % création de deux paires de pôles conjugués pole2 = 0.8 +0.25i; pole3 = conj(pole1); pole4 = conj(pole2); poles = [pole1 pole2 pole3 pole4]; zero1 = -0.5 + 0.8i; % création de deux paires de zéros conjugués zero2 = -0.2 + 0.9i; zero3 = conj(zero1); zero4 = conj(zero2); zeros = [zero1 zero2 zero3 zero4]; denz=poly(poles); % conversion des pôles en dénominateur de H(z) numz=poly(zeros); % numérateur de H(z) = 1 zplane(numz, denz); % affichage des pôles et zéros figure(2); freqz(numz,denz,256); % affichage de la réponse en fréquence t=[0:1:127]; % test avec 128 valeurs d’un sinus corrompu x=sin(2*pi*t/24); x=x+rand(1,128)-0.5; y=filter(numz,denz,x); figure(3); plot(t,500*x,'b',t,y,'k');axis([0 128 -1000 1000]);axis('normal');

30. Méthode du placement des pôles et zéros

31. Méthode du placement des pôles et zéros % Autre exemple en utilisant des coordonnées polaires angl=[0.2: 0.1: 0.5]*pi/2; % création de 4 paires conjuguées de pôles poles=0.85*exp(j*angl); poles=[poles 0.85*exp(-j*angl)]; denz=poly(poles) % conversion des pôles en dénominateur de H(z) numz=[1]; % numérateur de H(z) = 1 zplane(numz, denz); % affichage des pôles et zéros figure(2); freqz(numz,denz,256); % affichage de la réponse en fréquence t=[0:1:127]; % test avec 128 valeurs d’un sinus bruité x=sin(2*pi*t/24); x=x+rand(1,128)-0.5; y=filter(numz,denz,x); figure(3); plot(t,500*x,'b',t,y,'k');axis([0 128 -1000 1000]);axis('normal');

32. Méthode du placement des pôles et zéros

33. Conversion d’un filtre analogique • Méthode la plus « simple » • Exploite le fait qu’il existe des méthodes établies de conception de filtres analogiques. • Consiste à concevoir un filtre analogique et à le convertir en filtre numérique. • Les deux méthodes les plus utilisés sont : • L’invariance de la réponse impulsionnelle : • La transformation bilinéaire :

34. Méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle % Conception d’un filtre par la méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle [num,den]=butter(15,2*pi,'s'); % Filtre Passe Bas de Butterworth dans le domaine s avec N=15, fc=1 Hz [a,p,K] = residue(num,den); % Décomposition en fractions élémentaires par la méthode des résidus : figure(1); plot(p,'xk'); % digramme des pôles maqués par des x noirs figure(2); freqs(num,den); % réponse en fréquence analogique % dans s donne dans t, ce qui donne dans z : % % Te=0.05; % fe=20Hz (=> fc normalisé = 1Hz/(fe/2) =0.1) pz=exp(p*Te); % conversion des pôles dans s en des pôles dans z az=-a.*pz; % détermination des coefficients des fractions élémentaires correspondantes K=K*sum(a); % Terme continu [numz,denz] = residue(az,pz,K); % détermination de H(z) à partir des fractions élementaires dans z figure(3); zplane(numz, denz); % digramme des pôles et zéros dans le plan z figure(4); freqz(numz,denz); % réponse en fréquence numérique

35. Méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle fc=c/2=1 Hz fc=(c/2)fe=1 Hz

36. Méthode de la transformation bilinéaire • Normalement • On peut donc dériver H(z) de H(s) par la transformation • Cette transformation donne des équations compliquées • La transformation bilinéaire utilise l’approximation d’une surface continue par un ensemble de surfaces trapézoïdales.

37. Méthode de la transformation bilinéaire y((k-1)Te ) y(t) y(kTe ) A((k-1)Te ) k-1 k t=kTe • Si , alors et jouent le même rôle dans les domaines s et z • On peut donc dériver H(z) de H(s) par la transformation

38. Étape 5 : mise en oeuvre /*IIR.c IIR filterusingcascaded Direct Form II. y(n)=S ax(n-k)-by(n-j)*/ Void IIR_Isr(void) { short a1 = 0x0; // coefficients du filtre short a2 = 0x15f6; short b0 = 0x257d; short b1 = 0x4afd; short b2 = 0x257d; static short p1=0, p2=0; // variables persistentes short xn, p0, y0; // variables d’e/s int prod1, prod2, prod3, prod4, prod5; // termesintermédiaires xn = input_sample(); pn=xn-((b0*p1)>>15)-((b1*p2)>>15); yn=((a0*pn)>>15) + ((a1*p1)>>15) + ((a2*p2)>>15); p2 = p1; p1 = p0; output_sample(y0); // Envoyer le signal au port de sortie sériel } • >>15 non requis si calculs fait en virgule flottante • Noter l’absence de boucles for.

39. Étape 5 : mise en oeuvre void IIR_Isr (void) { short a1 = 0x0; // coefficients du filtre short a2 = 0x15f6; short b0 = 0x257d; short b1 = 0x4afd; short b2 = 0x257d; static short p1=0, p2=0; // variables persistentes short xn, p0, y0; // variables d’e/s int prod1, prod2, prod3, prod4, prod5; // termes intermédiaires xn = input_sample(); prod1 = _mpy(p2,a2); prod2 = _mpy(p1,a1); p0 = xn + (short)((prod1 + prod2)>>15); prod3 = _mpy(p1,b1); prod4 = _mpy(p2,b2); prod5 = _mpy(p0,b0); y0 = (short)((prod3+prod4+prod5)>>15); p2 = p1; p1 = p0; output_sample(y0); // Envoyer le signal au port de sortie sériel } Code c plus rapide >>15 non requis si calculs fait en virgule flottante