第六章 常微分方程

1. 第六章 常微分方程 —不定积分问题 推广 —微分方程问题 6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 二阶微分方程 6.4 用Matlab软件解二阶常系数 非齐次微分方程

2. 6.1 微分方程的基本概念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念

3. 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点 处的切线斜率为2x，求这曲线的方程。 解:设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① ② (C为任意常数) 由 ① 得 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为

4. 解； 未知函数s(t)应满足方程 ,即 两边积分得 再积分一次，得 此外，设运动开始时，物体的初始速度和初始 位移为零，得 例2 质量为m的物体从空中自由下落，若略去空气阻力．求物体下落的距离s与时间t的函数关系s(t)。

5. 例如 为二阶微分方程 微分方程的基本概念 1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程. 常微分方程 (本章内容) 分类 偏微分方程 2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.

6. 特解 (不含任意常数) 分类 通解 微分方程的基本概念 3.代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程的解. 4.用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件. 5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.

7. 6.2一阶微分方程 6.2.1可分离变量的微分方程 6.2.2一阶线性微分方程

8. 转化 两边积分 6.2.1可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程

9. 解： 设 示在 时刻细菌数目，依题意有 两边积分 即 (C为任意常数) 为已知,故特解为 又因， 例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的繁殖率与细菌的数目成正比，若 时细菌的数目为 ，求系统的细菌繁殖规律。

10. 解：在t到△t 这段时间内种群总数改变量为 当 时 采用可分离变量后，积分得 例4（自然生长模型） 表示一种生物在时间t时种群总数，开始时种群总数 分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明 其中r>0，k>0，试求该种群的自然 生长规律。

11. 此式称为Logistic方程，显然当 其曲线图为 由 确定常数C，则可得生物总群自然 增长规律：

12. 例5（肿瘤生长模型）设 是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是： 是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿 瘤生长规律

13. 解：分离变量 两边积分 由初始条件 ，可确定 ， 故特解是 即 此为贡柏茨方程

14. 此为贡柏茨方程图形

15. 二、可化为分离变量的某些方程* 1.齐次方程 形如 解法: 令 代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.

16. 例6. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C为任意常数 ) (当 C = 0时,y = 0也是方程的解)

17. 例7. 解微分方程 解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x 此为齐次方程，令 分离变量，再两边积分 将u带回得

18. 2.型方程 作变换 例8. 求方程 的通解 解：令 则 得方程通解为 将 代回得原方程通解

19. 若 Q(x)  0, 6.2.2一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 定义3 如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x)  0, 称为齐次方程; 称为非齐次方程.

20. 这里 仅表示p(x)的一个原函数 2. 解非齐次方程 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 改写为

21. 两边积分 令 令 （1） 下面求C（x），对（1）求导得 代入标准方程得

22. 两端积分得 故原方程的通解 即 齐次方程通解 非齐次方程特解

23. 1.齐次方程 通解为： ２.非齐次方程 　　通解为：

24. 解：齐次方程通解： 用常数变易法，令 即 代入原方程得 故通解为 例9 用常数变易法求一阶线性方程通解

25. 解： 则通解为 严格的说，上式仅当 时才成立。 例10 用通解公式求一阶线性方程的通解

26. 当 x<0 时

27. 例11 (饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗67．2J.此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000 J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗? 解：依题意，进食增加10500/42000=0.25kg 基础代谢5040/42000=0.12kg 活动消耗67.2w/42000=0.0016wkg

28. 解：依题意单位时间内药物变化率应该等于输 入与输出之差，则 由于 ，故 例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注， K0的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。

29. 解：设 为t时刻细菌数目，则 解得 代入 则 例13（细菌繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即At+B，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定t=0时，测得的细菌的数目为x(0)，求系统的细菌繁殖规律

30. 伯努利方程的标准形式: 二、伯努利 ( Bernoulli )方程* 除方程两边 , 得 解法: 令 (线性方程) 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.

31. 解：这是伯努力方程 ，其中 则 例14 求方程 的通解

32. 解:由标准形式知 则 通解 由 得 所求特解为: 的特解 课堂练习题:求

33. 6.3.1 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程

34. 令 则 两端积分得 则 再积分，得通解 一、 型的微分方程

35. 积分一次得 再积分一次得 最后积分得 例15 求方程的通解

36. 型的微分方程 二、 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解

37. 解：设 原式为 分离变量并积分 即 例16求方程 满足初始条件 的特解。

38. 用 代替 ，得 积分得 代入初始条件 得 故特解是

39. 型的微分方程 三、 令 故方程化为 即得 设其通解为 分离变量后积分, 得原方程的通解

40. 解: 原始可写为 两端积分得 故所求通解为 例17. 求解

41. 注意： 对于 型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令

42. 6．3．2二阶线性常系数齐次方程 • [定义5] 如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：

43. 称之为二阶线性齐次方程； 称之为二阶线性非齐次方程 (a、b、c均为常数) 称之为二阶线性常系数微分方程 (a、b、c均为常数) 称之为二阶线性常系数齐次微分方程

44. [定理2] 若 和 是二阶线性常系数齐次 微分方程的两个线性无关的特解，则 －－－－－－－ 就是该方程的通解．其中C1和C2是两个任意常数。 [定理1] 若函数 和 是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合 也是该方程的解。其中Cl、C2是两个任意常数。

45. [定理3]设 是二阶线性非齐次方程的一个特解， 是其对应的二阶线性齐次方程的通解，则 是二阶线性非齐次方程的通解。 定理1、2、3说明： 齐次特解 齐次通解 (线性无关) 非齐次通解 齐次特解 非齐次特解

46. 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 和它的导数只差常数因子, ( r为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 ② 称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.

47. 例18求微分方程 满足初始条件 的特解。 它的特征方程为 其根为两个相异实根，故 代入初始条件，得 则 故所求特解是 1. 当 时, ②有两个相异实根 则微分 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为

48. 时,特征方程有两个相等实根 2. 当 则微分方程有一个特解 ( u (x) 待定) 设另一特解 代入方程得: 注意 是特征方程的重根 因此原方程的通解为 取 u = x , 则得

49. 它的特征方程为 其根为一对相等实根 则所求方程的通解为 例19 求微分方程 的通解。

50. 时,特征方程有一对共轭复根 3. 当 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为