Metodi matematici dell’astronomia

1. Metodi matematici dell’astronomia Che cosa sono i Metodi matematici dell’astronomia? In che cosa sono differenti da quelli della fisica? L’astronomia è una scienza che si basa sull’analisi quantitativa dei fenomeni su base fisico-matematica, ma che mutua alcune caratteristiche dalle Scienze naturali, quali l’accurata raccolta e analisi di “reperti” osservativi (tassonomia). Ciò implica la necessità di utilizzare metodi statistici di indagine. Inoltre l’astronomia-astrofisica moderna è carat- terizzata dal dover interpretare quantitativamente fenomeni complessi (sovrapporsi di processi fisici interconnessi e su un ampio intervallo di scale spazio-temporali) il che implica l’utilizzo di metodi matematici e, principalmente, numerici specifici.

2. Metodi matematici dell’astronomia L’astronomia è l’esempio massimo di scienza osservativa, che è diverso da sperimentale. Ciò significa che ci si limita a raccogliere dati (output) provenienti da sorgenti lontane. Se si osserva un fenomeno particolare (per es. l’esplosione di una SN): La SN 1987a prima dopo

3. Metodi matematici dell’astronomia • se ne possono raccogliere i dati e ipotizzare un’interpretazione che non può, ovviamente, essere confermata in laboratorio: • si può solo sperare che ci siano un numero sufficiente di altre esplosioni osservabili che forniscano i dati utili alle ipotesi interpretative teoriche. La possibilità di azione del ricercatore è solo quella di potenziare i mezzi di raccolta e analisi dei dati osservativi.

4. Metodi matematici dell’astronomia Ammesso di avere statistica sufficiente che cosa si può imparare come fisica? In astronomia i processi fisici sconosciuti alla base del flusso radiativo osservato sono convoluti attraverso la struttura della sorgente, il mezzo interstellare, l’atmosfera terrestre e infine il ricettore e il rivelatore. Lo schema è quindi input Struttura, ISM, ecc. output Quindi si tratta di risolvere un problema di inversione. A parte i problemi tecnici (matematici) implicati, la difficoltà intrinseca dell’astronomia di ottenere buoni dati osservativi rende il processo di falsificazione delle ipotesi (al fine dell’ottenimento dell’unica interpretazione esatta)difficile. Infatti è possibile che modelli fisici anche significativamente diversi portino a “osservabili” indistinguibili entro

5. Metodi matematici dell’astronomia l’errore osservativo. In altro linguaggio: il test “pratico” cui si sottopongono le varie teorie è troppo debole per selezionarne una sola (o poche). Situazione “auspicabile” Situazione “reale”

6. Metodi matematici dell’astronomia In un esperimento ideale la risposta dello strumento allo stimolo (sconosciuto) è univoca, nella realtà tale risposta strumentale è “sbrodolata” su un insieme (tramite la point-spread function) point spread function k(x,y) risposta strumentale g(x) Stimolo f(y) convoluzione g(x) F(y) deconvoluzione Un’approssimazione F(y)di f(y)si ottiene per deconvoluzione della risposta strumentale, ma quanto vale ?

7. Metodi matematici dell’astronomia

8. Metodi matematici dell’astronomia f() g(’)

9. Metodi matematici dell’astronomia Il problema della deconvoluzione (o inversione dei dati). caso k(x,y)=1 ha soluzione formale Semplice, ma dà problemi; infatti supponiamo che Se al dato g(x) è sovrapposto rumore di frequenza  si ha: Ne consegue che le 2 soluzioni f(x) e fo(x) differiscono

10. Metodi matematici dell’astronomia che significa che l’errore sulla soluzione ha ampiezza  Il problema è quindi instabile a variazioni di alta frequenza in g(x), infatti la soluzione foè tale che nel suo errore relativo le variazioni relative d/ e d/ sono amplificate dal fattore /fo.

11. Metodi matematici dell’astronomiainstabilità instabilità output input =0.8, =0.04,=20

12. Metodi matematici dell’astronomia E quindi? Invece di deconvolvere (procedura “all’indietro”) si può effettuare il cosiddetto “model fitting” (procedura “in avanti”) cioè fare un’ipotesi su f(y), convolvere e valutare il risultato g(x). Supponiamo di avere un’ipotesi f1(y) e di perturbarla di modo che f2(y)=f1(y)+acosy. Il relativo osservabile sarà per cui che corrisponde al problema visto prima. Una perturbazione in f di grande ampiezza a può essere smorzata dalla sua alta frequenza ω.

13. Metodi matematici dell’astronomia Conclusione: 1) la deconvoluzione è instabile; 2) il model fitting (convoluzione) dà risultati illusori. La via giusta è affinare la tecnica di deconvoluzione(regolarizzando), utilizzando, se possibile, vari kernels, cioè un insieme di dati osservativi per esempio flussi in bande diverse dello spettro e.m..

14. Metodi matematici dell’astronomia Problemi tipici dell’astronomia Equazione di Keplero Equazioni del moto di N corpi autogravitanti sistema di Neq. diff. vett. ordinarie del 20 ordine  ordine del sistema = 6N servono 6N condizioni iniziali su posizioni e velocità

15. Metodi matematici dell’astronomia Equazioni della struttura stellare Sistema di 4 eq. diff. + 1 EOS con incognite: (r). P(r), M(r), T(r), L(r) mentre: = (,T;Xi), = (,T;Xi), = (,T;Xi) sono funzioni note. 4 condizioni al contorno

16. Metodi matematici dell’astronomia Si vuole ottenere E(t); è necessario quindi risolvere un’equazione trascendente: dove: E (incognita) è l’anomalia eccentrica, e<1 è l’eccentricità della traiettoria (ellittica), t (il tempo) è un parametro tale che 0 t- P dove  è l’istante di passaggio al perielio e P il periodo dell’orbita. L’equazione non ha soluzione esplicita, per cui bisogna cercarne un’approssimazione numerica. Nell’intervallo 0<t-<P(cioè 0<E<2)la soluzione esiste unica, infatti la funzione è continua e per il teor. dell’esist. degli zeri c’è 1 sola radice nell’intervallo ]0,P[

17. Metodi matematici dell’astronomia Come ottenere e stimare l’accuratezza nei calcoli numerici • Dati 2 numeri a e bè logico confrontarli: Se a e b rappresentano le altezze di 2 persone e b-a=50cm ha senso dire che a<<b, ma se parliamo di due montagne no! Lo stesso si può dire per ab e ab. Il significato del confronto, quindi, dipende dal contesto. significa che • per

18. Metodi matematici dell’astronomia Errori assoluti e relativi Indichiamo d’ora in poi con ã un’approssimazione di a. Data un’approssimazione ã di a: • l’errore assoluto è a=ã - a • l’errore relativo è r= (ã – a)/a (se a0) La conoscenza esatta dell’errore è, ovviamente, di solito impossibile, per cui si cerca di averne una stima, o meglio una limitazionesuperiore 0 tale che |a| . Con la notazione a= ã si intende |a|=|ã - a|  . In molti casi con tale notazione  ha il senso di deviazione standard o altra misura statistica di errore.

19. Metodi matematici dell’astronomia Sorgenti d’errore I risultati numerici sono influenzati da varie sorgenti d’errore: alcune possono essere ridotte o eliminate, altre no. Possibili errori: • nei dati di input; • 2) dovuti a semplificazioni nel modello matematico; • 3) di arrotondamento durante il calcolo (se la macchina gestisce • fino a s cifre, un prodotto, che avrebbe 2s o 2s-1 cifre, viene troncato • a s); • 4) di troncamento: sono quelli che nascono dal “taglio” di • un’espressione, tipo: invece di • oppure dall’aprossimare un funzione non lineare con una lineare • oppure dall’approssimare una derivata con un rapporto finito (errore • di discretizzazione); • 5) “umani”: imprevedibili.

20. Metodi matematici dell’astronomia Arrotondamento (round-off) Il numero di cifre di un numero è quello che si ottiene escludendo gli zeri all’inizio: a=0.0078 ha 2 cifre  a=7.8×10-3 a=0.08 ha 2 decimali e 1 cifra b=15.6 ha 1 decimale e 3 cifre Indichiamo d’ora in poi con ã un’approssimazione di a. • Siano a=0.235 e ã=0.231;ã ha 2 cifre esatte, e ciò corrisponde a un errore  a=ã - a=-0.004=-0.4×10-2. In generale, se |a|0.5 ×10-t, l’approssimazione ha t decimali corretti (qui 2 cifre significative). • Se a=0.001 e ã=0.002, =0.001=0.1×10-22 decimali corretti (e nessuna cifra significativa). • Il numero a=0.0654±0.0003 ha 3 decimali corretti e 2 cifre significative

21. Metodi matematici dell’astronomia • Ci sono 2 modi di arrotondare un numero a un dato numero (t) di • decimali: • 1) tagliare al t-esimo decimale: a=58.9978345  ã=58.997 (t=3) • 2) arrotondare (realmente) il numero in modo da lasciare il t-esimo • decimale inalterato se la parte del numero che resta alla sua destra • è < 0.5 ×10-t, aumentandolo di 1 altrimenti. • Naturalmente l’arrotondamento causa un errore: • per esempio a=0.2660.003 ha 2 decimali corretti (e 2 cifre significative) • arrotondandolo a 2 decimali si ha ã=0.27 il cui secondo decimale nonè • corretto. In questo caso, il taglio al secondo decimale porta a una migliore • precisione (2 dec. corretti).

22. Metodi matematici dell’astronomia Propagazione d’errore • D. Se il limite d’errore (assoluto) di a1>0 è 1 e quello di a2>0è 2 , qual è il limite d’errore di a1- a2 ? • Poichè a1= ã1± 1 e a2= ã2± 2, si ha • ã1-1 -(ã2 + 2) a1- a2ã1 + 1 – (ã2 - 2), cioè • ã1-ã2 - (1+ 2) a1- a2ã1– ã2 + (1 +2), quindi • a1-a2= ã1- ã2± (1 +2). • Analogamente si vede che a1+a2 = ã1 +ã2± (1 +2). • Quindi: nelle operazioni di addizione e sottrazione i limiti di errore • assoluto si sommano.

23. Metodi matematici dell’astronomia • Nelle operazione di moltiplicazione e divisione, invece, si sommano i • limiti d’errore relativo (approssimativamente). • Si verifica infatti (per esercizio) che: • (ã1ã2 - a1a2)/ a1a2= r1 +r2+ r1r2 r1 +r2, se |r1|<<1 e |r2|<<1 • e • (ã1/ã2 – a1/a2)/ (a1/a2) = (1+ r1)/(1+ r2 ) – 1 = (r1- r2 )/(1+ r2 ) • r1 - r2 , se |r1|<<1 e |r2|<<1 Perciò nella moltiplicazione e divisionei limiti d’errore relativo si sommano e sottraggono, rispettivamente.

24. Metodi matematici dell’astronomia Cancellazione dei termini Una causa comune di scarsa accuratezza nel calcolo è la sottrazione di 2 numeri molto simili (per cui la differenza è << dei numeri stessi). Questo problema è detto della cancellazione dei termini (term cancellation) Infatti, dati 2 numeri x1 e x2 affetti da errori x1 e x2, e ponendo y= x1- x2 L’errore relativo in y può quindi essere molto grande Esempio: x1=6.3456±½·10-4 e x2 =6.3455±½·10-4 y=0.0001 ±10-4, che equivale a |y/y| 10-4/10-4 (stima d’errore relativo del 100%).

25. Metodi matematici dell’astronomia Bisogna quindi cercare di evitare differenze di numeri simili, riscrivendo, se possibile, le formule. Per esempio, sia da calcolare Essa si può riscrivere come: evitando così la cancellazione dei termini. Dovendo calcolare f(x+)-f(x) un’altra possibilità è quella di sviluppare f(x) in serie di Taylor:

26. Metodi matematici dell’astronomia La formula generale per la propagazione dell’errore Sia data una funzione y(x) e si voglia valutare dove è un’approx. di x. Ci si chiede qual è l’errore Una via naturale è quella di calcolare il differenziale (approssimato): In generale, se y=y(x1,x2,...,xn) si può stimare da cui: Che è la formula generale di propagazione dell’errore.

27. Metodi matematici dell’astronomia Derivata numerica Conoscendo una funzione f(x) in 3 punti (xi-1,xi,xi+1), si possono costruire 3 rette: a) passante per (xi-1,fi-1) e (xi,fi); b) per (xi,fi) e (xi+1,fi+1); c) per (xi-1,fi-1) e (xi+1,fi+1). Una ragionevole approssimazione della derivata, f‘ (x), di f(x) all’interno dell’intervallo [xi-1,xi[ può quindi essere data dal coefficiente angolare della retta a) passante per tali punti, così come da quello della retta c) se si vuole approssimare f‘ (x) in ]xi,xi+1]. E per f‘ (xi)? E’ possibile usare l’approssimazione a) (sinistra), c) (destra) ma anche b) (centrale). Si verifica che, se xi-1,xi,xi+1 sonospaziati con passo h, allora l’approssimazione centrale è del 20 ordine in h mentre le altre due sono del 10 ordine. Si ha infatti, esprimendo f(x+h) e f(x-h) con la f. di Taylor

28. Metodi matematici dell’astronomia Derivata numerica di punto di partenza x, esplicitando le derivate prime e semisommandole:

29. Metodi matematici dell’astronomia Integrazione numerica Supponiamo di dover calcolare dove f(x) è una funzione continua nell’intervallo oppure è una funzione campionata per Se non si riesce a ottenerne la primitiva punti: {f(xi}, i=1,2,...,n}. F'(x)=f(x), per cui F(b)-F(a)=I, l’unica alternativa è di approssimare I tramite una valutazione numerica. Le formule di approssimazione si chiamano “di quadratura” perchè si tratta di valutare l’area sottesa dalla funzione, cioè di quadrarla. Tutti i metodi per ottenere un’approssimazione di I si basano sul fatto che l’integrale definito è il limite della somma finita sn, cioè:

30. Metodi matematici dell’astronomia • dove n è il numero di intervalli ix in cui si è suddiviso [a,b], entro ognuno • dei quali si è scelto xi. • Ci limiteremo a studiare 4 metodi: • il metodo trapezoidale, • il metodo rettangolare, • il metodo di Simpson, • il metodo Montecarlo. Il metodo trapezoidale • E’ forse il più intuitivo; si basa su: • considerare una suddivisione di [a,b] in n intervalli, il generico dei • quali ha estremi xie xi+1 e ampiezza hi ,definendo quindi una grigliadi • n+1 punti (mesh-points): • x0=a , xi+1=xi+hi , i=0,1,...,n-1 (naturalmente xn=xn-1+hi=b);

31. Metodi matematici dell’astronomia ii) valutare la funzione sui punti griglia, ottenendo l’insieme di n+1 valutazioni {f(xi)fi, i=0,...,n}, di modo da avere il campionamento della funzione dato dalle coppie (xi, fi); iii) stimare I come somma delle aree dei trapezi di base fi efi+1 e altezza hi, cioè: Tale approssimazione equivale ad aver sostituito (dentro l’integrale) ad f la sua approssimazione costituita dalla spezzata passante per i punti (xi,fi), cioè: dove (x) è la funzione di Heaviside: Verificare per esercizio che

32. Metodi matematici dell’astronomia Quando è possibile, è comodo usare un passo fisso hi=h=(b-a)/n, di modo che i punti xi son definiti come x0=a, xi= x0+ih (i=1,2,...,n), il che semplifica l’espressione delle formule di quadratura (e ne riduce la complessità computazionale). Il metodo rettangolare Si basa sull’approssimazione di f(x) con una funzione a gradini tale che fi=f(xi+1/2) nelgenerico[xi,xi+1], dove xi+1/2è il punto di mezzo dell’intervallo. L’approssimazione di I che ne risulta è: (form. rett. centrata). Se il passo è fisso, hi=h=(b-a)/n, la formula diviene

33. Metodi matematici dell’astronomia E’ intuitivamente chiaro (vedi figura in basso a sin.) che prendere la funzione nel punto di mezzo xi+1/2invece che nel punto xi(form. rettangolare sinistra) o xi+1 (form. rett. destra) dà un’approx migliore f. rett. sin. f. rett. des. Il metodo rettangolare Il metodo trapezoidale

34. Metodi matematici dell’astronomia L’errore di troncamento nella formula trapezoidale e rettangolare Data una funzione f(x) che assume valori fisu una griglia di n+1 punti xi (i=0,1,...,n) esiste un solo polinomio, pn(x), di grado n che passa per i punti (xi ,fi), la cui espressione è: (formula d’interpolazione di Lagrange; verificare per es. che pn(xi)= fi, i=0,1,...,n.) che si scrive compattamente come avendo posto (funzione moltiplicatirce di Lagrange).

35. Metodi matematici dell’astronomia L’espressione di Lagrange si ottiene dall’espressione polinomiale pn(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1)+···+cn (x-x0)(x-x1) ···(x-xn), determinando (ricorsivamente) le costanti ck tramite l’imposizione che pn(x) assuma i valori fk in xk, k=0,1,...,n. Se f(x) è continua insieme, almeno, alla (n+1)-esima derivata nell’interv. Int(x,x0,x1,...,xn) (che è per def. il minimo interv. contenente x,x0,x1,...,xn), si può verificare che il resto (errore) della formula di Lagrange è: dove  è un punto (incognito) in int(x,x0,x1,...,xn). Si noti che l’espr. data è simile al resto di uno sviluppo di Taylor (uguale, se x0=x1=···=xn). Possiamo ora valutare l’err. di troncamento della formula trapezoidale nel generico intervallo [xi,xi+1] semplicemente integrando R1(x) su tale int..

36. Metodi matematici dell’astronomia in cui [xi,xi+1] dipende da x. Poichè (x-xi)(x-xi+1)0 in [xi,xi+1], si può applicare il teor. della media: Ponendo x=xi+hit, dove hi=xi+1-xi, si ha Ricordando che l’err. della somma è la somma degli errori, l’err. di tronc. globale è dato da che, se i punti xisono equispaziati xi+1-xi=h=(b-a)/n, diventa (applicando il teor. del val.medio)

37. Metodi matematici dell’astronomia Quindi la formula trapezoidale è localmente del 30 ordine e globalmente del 20. Es. Valutare l’errore di troncamento della formula rettangolare centrata. Si può sviluppare f(x) con la formula di Taylor attorno al punto xi+1/2 nell’intervallo [xi,xi+1] per cui il resto dell’interpol. di f(x) in [xi,xi+1] rispetto al suo valore in xi+1/2è Perciò l’err. di troncamento della form. rettangolare nell’interv. [xi,xi+1] è

38. Metodi matematici dell’astronomia Facendo la sostituzione x=xi+ht=xi+1/2 –h/2+ht si verifica che il 10 dei 2 integrali è nullo, mentre il 20, usando il t. della media integrale, porta a per cui l’err. di troncamento globale è

39. Metodi matematici dell’astronomia Metodo di Simpson Risponde all’esigenza di avere una formula di quadratura di ordine elevato e semplice da utilizzare al contempo. In pratica, si tratta di trovare una formula che, dati 3 punti xi-1,xi,xi+1 (xi=xi-1+h)sia esatta per polinomi di più alto grado possibile. si tratta di trovare i coefficienti a,b,c Scritta la formula Per comodità poniamo i=0 e x0=0 e sviluppiamo f(x) in serie di McLaurin, per cui, per |x|h, si ha che integrata in [x-1,x1] dà

40. Metodi matematici dell’astronomia in cui i termini di potenza pari sono nulli, per simmetria, e l’ultimo termine è O(h5). Sviluppando in serie di Taylor in “avanti” e “indietro” attorno a x, si ha f(x+h)=f(x)+f '(x)h+(1/2)f '' (x)h2+(1/3!)f '''(x)h3+O(h4), f(x-h)=f(x)-f ‘(x)h+(1/2)f ''(x)h2-(1/3!)f '''(x)h3+O((-h)4), dove in O(h4) e O((-h)4) appare la derivata quarta, per cui l’espressione è esatta per polinomi fino al 30 grado. Si può quindi esplicitare f ''(x) sommando m. a m. e dividendo per h2:

41. Metodi matematici dell’astronomia Valutando l’espressione precedente in x=0 e inserendola nell’integrale si ha Da cui la formula generale, nell’intervallo [xi-1,xi+1] esatta per polinomi fino al 30 grado, che è la formula di Simpson. Si verifica che l’errore di troncamento locale è per cui quello globale è (il fattore 2 a dividere viene dal fatto che h=(b-a)/n, per cui ci sono n/2

42. Metodi matematici dell’astronomia intervalli [xi-1,xi+1] in [a,b]). Il metodo è quindi di ordine 4. Metodo Montecarlo La base del metodo Montecarlo è l’approssimazione di un integrale multidimensionale nel modo seguente Dove <f>è la deviazione standard della media, <f>, di f (r) valutata prendendo n punti distribuiti a caso nel dominio di integrazione, di volume V. Tale deviazione standard è uguale alla deviazione standard di f , cioè ((f-f)2)1/2, diviso la radice del numero, n, dei punti usati per il campionamento:

43. Metodi matematici dell’astronomia In una dimensione, la valutazione Montecarlo dell’int. di f(x) sull’interv. [a,b] si effettua distribuendo a caso n punti (xi,yi)nel dominio rettangolare A di base [a,b] e altezza max f(x), stimando IAcome dove il rapporto che moltiplica l’area di A è quello fra il numero n*di punti del campionamento che stanno entro l’area I e il numero totale di punti. Definendola funzione k(x) come risulta I punti (xi,yi) sono indicati; nel caso in fig. xmax=b

44. Metodi matematici dell’astronomia Poichè l’ordine del metodo è h1/2 (la stima d’errore converge a zero con n-1/2) questo metodo è conveniente solo in più dimensioni, essendo facile da implementare. RADICI DI EQUAZIONI NON LINEARI Per quanto riguarda le equazioni algebriche, ricordiamo il teorema di Abel-Ruffini: non è possibile esprimere sotto forma di radicali le soluzioni di equazioni algebriche superiori al 40 grado. Il problema di trovare approssimazioninumeriche alla soluzione di un’eq. del tipo f(x)=0 riguarda quindi non solo espressioni trascendenti di f(x) ma anche il caso in cui f(x) è un polinomio Pn(x) con n>4. Esamineremo alcuni metodi classici per trovare tali approssimazioni. Banalmente, la prima approssimazione possibile è quella che si ottiene da una tabulazione della funzione, di dato passo h, a partire da un punto x0 .

45. Metodi matematici dell’astronomia E’ chiaro infatti che se si opera una tabulazione f(x0+ih), i=0,1,2,... e si ha a un certo punto f(x0+ih)·f(x0+(i+1)h)<0, una radice di f(x) è certo in ]x0+ih,x0+(i+1)h[. Si può quindi prendere come approssimazione della radice incognita la quantità, di modo che Si può procedere analogamente per cercare altre radici. Si può al contempo ridurre l’errore semplicemente riducendo il passo quando si trova l’intervallo [xi,xi+1] entro cui è la radice, ritabulando lì dentro con h/2 o meno. Con l’accresciuta potenza dei calcolatori tale metodo naif è valido perchè ovviamente semplicissimo da implementare. Vediamo ora qualche metodo più sofisticato.

46. Metodi matematici dell’astronomia Metodo della bisezione Supponiamo che f(x) sia continua e che a0 e b0 siano tali che f(a0)·f(b0)<0 (se f(a0)· f(b0)=0 allora o a0 è radice o lo èb0o lo sono entrambe) per cui Ipotizziamo, inoltre, che la radice sia semplice,cioè È possibile costruire una successione di intervalli {In} tale che In+1Intutti contenenti la radice, per cui: Lo schema di costruzione degli {In} è chiaro dalla figura

47. Metodi matematici dell’astronomia Si procede così: sia I0=[a0,b0], con f(a0)<0 e f(b0)>0. Prendiamo il punto di mezzo di I0, m0= a0+(b0-a0)/2=(a0+b0)/2; I1 si costruisce così: se f(m0)<0 allora I1=[m0,b0], se f(m0)>0 allora I1=[a0,m0], e così via, per cui il generico Ik è Chiaramente f(ak)<0, f(bk)>0 (se no si è trovata la radice ak o bk) e Dopo n passi si ha mis(In)=(bn-an)=(bn-1-an-1)/2=(bn-2-an-2)/2/2= =···=2-n(b0-a0)= 2-nmis (I0), per cui  da cui, prendendo mncome stima di , si ha

48. Metodi matematici dell’astronomia La convergenza è quindi certa, ma lenta: poiché 10-12-3.3, ci vogliono, in media, 3,3 passi per guadagnare una cifra decimale di precisione. Si noti che la convergenza non dipende da f(x) poiché il metodo fa uso solo di sign(f(x)). Ciò é un vantaggio da una parte, ma costituisce al contempo il limite del metodo perché non se ne può sveltire la convergenza non utilizzando proprietà della f(x) nè delle sue derivate. Metodo della tangente (o di Newton-Raphson) Questo metodo si basa su una stima iniziale, x0, della radice e sull’ approssimazione locale della funzione tramite la retta tangente in (x0f(x0)). L’intersezione di tale retta con l’asse x dà una stima successiva x1, e così via (il metodo é iterativo). Il procedimento per determinare x1è:

49. Metodi matematici dell’astronomia i) Si scrive l’espress. della tangente alla curva in (x0, f(x0)) ii) se ne trova l’intersezione x1con l’asse x (cioè si trova la radice di y(x)) iii) si generalizza il procedimento, ottenendo la successione {xn} iv) si possono fermare le iterazioni quando |hn|=|xn+1-xn|<, dove  è la tolleranza prescelta. Il met. di N-R è un esempio di metodo iterativo (vedi iii)).

50. Metodi matematici dell’astronomia Esaminiamo le proprietà di convergenza del metodo di Newton-Raphson, ipotizzando f(x)C2[a,b]. _ _ _ Se x è radice semplice, allora f‘(x)0 e f '(x)0 in tutto un intervallo I(x). _ Se n=xn-x è l’errore all’n-esimo passo si ha  per cui cioè _ quindi per xnx: che vuol dire che, vicino alla radice, l’errore (per passo) scala col quadrato dell’errore al passo prec. (n+1n2): il metodo è detto “del 20 ordine”.