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教堂牆上的 馬賽克

教堂牆上的 馬賽克. ─ 繽紛的鑲嵌圖案. 財團法人九章數學教育基金會 董事長 孫文先 主講. 伊朗 Masjed-e-Hakin Isfahan 伊斯蘭教神殿； 1656-1662 。. 意大利威尼斯 Moses Cupola. S. Marco 教堂圓頂. 意大利 Pisa Duomo 比薩大教堂. 意大利 Pompeii 龐貝的牆飾. 意大利龐貝. 意大利教堂牆上的 馬賽克的造型. 加拿大 Quebec 教堂的窗花. 中國北京故宮紫禁城. 中國. 拜占庭. 阿拉伯的牆飾. 阿富汗清真寺 Jam'aa. 埃及. 印度. 印度.

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教堂牆上的 馬賽克

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Presentation Transcript

  1. 教堂牆上的 馬賽克 ─繽紛的鑲嵌圖案 財團法人九章數學教育基金會 董事長孫文先 主講

  2. 伊朗Masjed-e-Hakin Isfahan伊斯蘭教神殿；1656-1662。

  3. 意大利威尼斯Moses Cupola. S. Marco 教堂圓頂

  4. 意大利Pisa Duomo 比薩大教堂

  5. 意大利Pompeii 龐貝的牆飾

  6. 意大利龐貝

  7. 意大利教堂牆上的 馬賽克的造型

  8. 加拿大Quebec 教堂的窗花

  9. 中國北京故宮紫禁城

  10. 中國 拜占庭

  11. 阿拉伯的牆飾 阿富汗清真寺Jam'aa

  12. 埃及 印度

  13. 印度

  14. 西班牙的清真寺Great Mosque of Cordoba

  15. 韓國 日本

  16. 大洋洲 波斯

  17. 土耳其

  18. 伊斯蘭拼鋪造型(Islamic Tiling Patterns)

  19. 馬賽克及玻璃窗的造型

  20. 黃金三角形(The Golden Triangle )

  21. 荷蘭藝術家 M. C. Escher (1898-1972)的作品

  22. 蜘蛛

  23. 放射蟲(Radiolaria) 放射蟲是什麼？

  24. 放射蟲(Radiolaria) 放射蟲是什麼？

  25. 放射蟲(Radiolaria) 放射蟲是什麼？

  26. 精緻的彩繪美學 • 通常在一些裝飾藝術品中會看到許多鑲嵌圖案彩繪於飾品上面。 • 例如：在地板、牆壁與地毯等編織圖樣中。對於這些由多邊形所構造的圖形，它們在數學上絕不是無聊的，我們幾乎可以高度評價這些圖案所反映出幾何的想像與創意的奧妙。 • 在這些裝飾藝術中隱含著我們已知的高等數學中最古老的片段。

  27. 鑲嵌的歷史 • 研究平面上使用多邊形圖形所構成的圖案，既不留空隙，也不重疊地覆蓋整個平面，如此的圖案稱為平面上的「鑲嵌圖案」（tessellation）或「鋪拼」（tiling）。

  28. 鑲嵌的歷史 • 在英文字典中，“Tessellate”的字義是“鑲嵌成花紋或是平鋪成棋盤形狀的圖案”。 • “Tessellate”這個字源於愛奧尼亞地區的希臘字“tesseres”，它的意思是“四”。因為當初的圖案大都是由正方形所拼成的，如：

  29. 鑲嵌的歷史 • 首位研究鑲嵌的數學家是刻卜勒（Johannes Kepler）。 • 過了二百多年，在1891年，俄羅斯的結晶體學家E. S. Fedorov 證明了可複製型鋪滿平面的方式共有17種。 • 除了從數學或幾何學上的研究，鑲嵌與鋪拼也與晶體 X 光學有關。在鑲嵌中的對稱關係是非常重要的，它也被指出與量子力學有關。

  30. 什麼是鑲嵌平面 • 將單一圖形複製，經由旋轉、平移而拼出整個實體面。這種不重疊、沒留下空洞，鋪滿整個平面的作品就是「鑲嵌平面」。 • 除了正方形之外，正三角形與正六邊形也都可以用來鑲嵌平面。

  31. 什麼是鑲嵌平面 正方形的鑲嵌平面

  32. 什麼是鑲嵌平面 正三角形的鑲嵌平面

  33. 什麼是鑲嵌平面 正六邊形的鑲嵌平面

  34. 平面的多邊形圖案 ─── 預備知識：

  35. 預備知識： • 正多邊形─平面上由 n 條等長的線段作為邊所圍成的每個內角都相等的幾何形狀。 正八邊形是由8條等長的線段作為邊所圍成的每個內角都相等的幾何形狀。

  36. 預備知識： • 正多邊形的角 正 n邊形的內角和為 (n－2)×180° 每一內角為 正 n邊形的外角和為360° 正八邊形內角和為6×180°=1080° 每一個內角為135° 外角和為360°

  37. 預備知識： • 對稱─對應於一個點、一條直線或一個平面，仍保持幾何形體及格局的所有特性。 • 有許多不同形式的對稱，如平移、鏡射、旋轉、滑動等變換。

  38. 預備知識： 平 移 鏡 射 滑 動 旋 轉 90°

  39. 預備知識： • 圖案─鑲嵌與圖案之不同點在於鑲嵌必須是由複製某些封閉的形體而構成的圖形。所謂封閉的形體是可以辨別出形體之內部及外部區域。

  40. 問題： • 下面哪些是能夠鑲嵌平面的圖形的鑲嵌圖案？

  41. 基本的正多邊形鑲嵌圖案

  42. 頂點圖形 • 鑲嵌圖案中用淺灰色所描繪的多邊形，它是以圖案中的一個頂點上所連結的所有的邊的中點當作頂點而作成的多邊形，我們稱為頂點圖（vertex figure）。

  43. 正則鑲嵌圖案 • 用同一尺寸、同一形狀的正凸多邊形構成，使得它的每個頂點圖也是一個正多邊形，稱之為正則鑲嵌圖案。所以正則鑲嵌是由同一種正多邊形鑲嵌而成的。 • 在正則鑲嵌圖案中，所有的頂點圖彼此都是全等的。

  44. 正則鑲嵌圖案 • 鑲嵌的每個頂點上交會的所有正多邊形在此頂點上的內角和為360°。若在這個頂點上只有2個正多邊形在此交會，則至少有一個多邊形在此頂點的角大於或等於180°，此為不合，故每個頂點上至少要有三個以上的正多邊形在此交會

  45. 正則鑲嵌圖案 • 因為每個頂點上相接的多邊形數至少要三個，所以正多邊形的內角必須介於60° 和120° 之間，因此，在滿足這個條件下， 360°只能被60°、90° 及120° 整除，故只有三種正則鑲嵌圖案。

  46. 鑲嵌圖案的命名 • 根據圍繞在一個頂點上的正多邊形，首先找出邊數最少者。 • 然後找出這種相同邊數的正多邊形最多的一段，即圍繞在這個頂點上重複二個或二個以上的這種正多邊形。

  47. 鑲嵌圖案的命名 • 接著，指出這些正多邊形的邊數，例如，三角形記為3。若有多於一個相同的多邊形則記下等數量個數字。 • 繼續依順時鐘或逆時鐘次序記下您所見頂點上排列的多邊形的邊數。 • 切記！要由最少邊數、最多個接連在一起的正多邊形開始。

  48. 命名範例

  49. 半正則鑲嵌圖案(Semi-regular Tessellations) • 「正則鑲嵌」是由“單品種”的正多邊形複製鋪滿整個平面。而「半正則鑲嵌」則容許由“多於一種”的正多邊形來鋪滿。 • 但是在每一個頂點上多 邊形的排列形式（即頂 點圖）必須相同（也就 是規定它命名都相同）。

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