选修４ - ５　不等式选讲

选修４-５　不等式选讲

本专题知识结构 　　　　第一讲　　　　　　不等式和绝对值不等式不等式选讲　　　　第二讲　　　　　　　证明不等式的基本方法　　　　第三讲　　　　　　柯西不等式与排序不等式　　　　第四讲　　　　　　数学归纳法证明不等式

第一讲　不等式和绝对值不等式 一:不等式的基本性质基本不等式注:是比较两个数大小的依据

比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较). 例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

一: 不等式的性质 ①、对称性：传递性：_________ ②、，a+c＞b+c ③、a＞b，，那么ac＞bc； a＞b，，那么ac＜bc ④、a＞b＞0，那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件） ⑥、 a＞b＞0 那么（条件）（可加性）（可乘性）（乘法法则）（乘方性）（开方性）

① ② 由①②可得

3.若a、b、x、y∈R，则是 成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 C 4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若c>a>b>0，则（2）若a>b, ，则a>0，b<0。（真命题）（真命题） 5.已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]

二: 基本不等式 b a b a b 几何解释

三: 基本不等式 几何平均数算术平均数 C A O D B a b 几何解释两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

例 3求证: (1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短.

例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元. (1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式; (2)当为何值时S最小,并求出这个最小值. H G Q P D C B A M N E F 解:设AM=y米

∴ 解：∵ = ∴ 当且仅当即时 3、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时有最小值，最小值为几？有最小值1

作业

三：三个正数的算术—几何平均不等式 类比基本不等式得

x a 例1: 如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？

例２: 解: 构造三个数相加等于定值.

练习： （　） A、0B、1C、　　　D、　　　 8 D B A、4B、　　 C、6D、非上述答案　　　

选修４ - ５ 不等式选讲