제 10 장 지수함수와 로그함수

1. 제10장 지수함수와 로그함수

2. 지수함수와 로그함수 • 지수함수와 로그함수 • 개요(introduction) • - 앞 장에서는 다항함수 또는 유리함수에서 하나의 선택 • 변수를 갖는 경우 극값의 문제 해결에 중점 • - 본 장에서는 이러한 논리를 지수함수나 로그함수에 • 적용함. • - 지수함수나 로그함수는 경제학에서 광범위하게 응용됨 • (특히, 경제성장 문제, 동태분석 등). • - 여기서는 선택변수가 시간(time)이 되는 최적화문제를 • 다루는데 응용됨.

3. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function) • - 지수(exponent)는 변수가 거듭제곱될 때, 그 멱(the power)을 • 나타내는 지표임. • - 일반적으로 멱이 x3, x5에서 지수는 상수(constant)임. • - 그러나 멱이 3x, 3t과 같이 가변적인 지수, 즉 3은 가변 • 적인 멱에 의해서 거듭제곱됨. • - 이처럼 함수의 독립변수가 지수의 역할을 하는 함수를 • 지수함수(exponential function)라고함. • - 즉, 지수가 상수가 아닌 변수인 경우를 지수함수라 함.

4. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function) • - 지수함수는 간단히 다음의 형태로 표시할 수 있음. • y=f(t)=bt (단,b1, b0) • 여기서 y와 t는 각각 종속변수와 독립변수이며, b는 밑수 • (base), t를 지수(exponent)라고 함. • - 그런데 왜 b1이라는제약을 가하는가? • ⑴ 만약 b가 음이면(b0), 예로 b1/2은 음수의 제곱근을 • 취하게 됨. 따라서 이러한 문제를 다루는 것은 복잡 • 하고 어려움.

5. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function) • ⑵ 만약 0b1이면, 예를 들어 다음과 같다면 • y=(1/5)t=1/(5t)=5-t • 즉, 밑수가 1보다 작은 함수인 경우는 밑수가 1보다 • 큰 함수로 다시 변환할 수 있음. • ⑶ 만약 b=1이면, y=1t=1이므로 사실상 지수함수는 • 상수함수가 됨. • - 따라서 지수함수는 b1이라는 제약이 필요함.

6. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function) y y=bt (b1) y=bt (0b1) 1 t 0

7. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function) • - 지수함수의 graph는 일반적으로 [그림 10.1]과 같은 • 곡선형태로 나타남(여기서는 b=2인 경우임). • - 앞에서 지수함수는 b1이므로 항상 증가하는 형태임. • - 그러나 0b1이면 지수함수는 항상 감소하는 형태임. • 지수함수 graph의 세 가지 특징(salient features) • ⑴ 지수함수의 graph는 모든 점에서 연속이며 매끄러움. • 따라서 모든 점에서 미분이 가능함.

8. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function) • ⑵ 지수함수의 graph는 강증가하고, 사실상 y는 모든 • 영역에서 기울기는 체증함. • ⑶ 지수함수의 정의역이 양수뿐만 아니라 음수라도, • 즉독립변수 t의 부호에 관계없이 종속변수 y의 값은 • 항상 양(+)임[정의역은 (-, ), 치역은 (0, )].

9. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수의 성질(the nature of exponential function)

10. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 지수함수가 강단조성을갖는다는 의미 • ⑴ 지수함수는 반드시 역함수를 가지며, 그 역함수 • 역시 강단조성을 가짐. • 지수함수의 역함수는 로그함수(logarithmicfunction)임. • ⑵ 강단조성은 주어진 y의 값에 대해 유일한 t값이 • 존재한다는 것을 의미하고, 또 지수함수의 치역은 • 개구간 (0, )이기 때문에, 어떤 양수라도 1보다 큰 • 밑수 b의 유일한 멱으로 나타낼 수 있음.

11. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function) • - 밑수변환(base conversion) • 예를들어, 함수 y=9t의 경우, 이것을 y=(32)t=32t으로 • 변형이 가능함. • 그러나 밑수변환이 반드시 새로운 형태의 함수를 • 만들어내는 것은 아님. • 왜냐하면, w=2t로 놓으면, y=32t=3w은 여전히 앞의 • 그림 형태와 같음.

12. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function) • 그러나 한 함수 y=f(t)=bt이고, 다른 함수 y=g(t)=b2t • 이면, 두 함수의 밑수가 같기 때문에 함수 g에 임의의 • 값 t=t0를 주고, 함수 f에 t=2t0를 주면, 두 함수의 값은 • 반드시 같아야 함: f(2t0)=g(t0)=b =y0 2t0

13. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function) • - 이는 [그림 10.2]에서 거리 y0J는 y0K의 절반이 됨. • - 마찬가지로 y의 어떤 값에 대해서도 함수 g는 함수 f와 • 세로축 사이의 중간에 위치함. • - 그러므로 지수를 두 배하는 것은 y축쪽으로 원래의 • 지수함수를 절반으로 축소(compress)하는 효과를, • 그리고지수를 반 배하는 것은 y축으로부터 수평거리로 • 두 배 확대(extend)하는효과를 가져옴.

14. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function) • - 한편, 두 함수는 모두 세로축의 같은 절편을 가짐. 즉, • f(0)=g(0)=b0=1 • - 또하나의방법은 밑수 bt과 2bt에 계수를 붙이는 경우임. • y=f(t)=bt, y=g(t)=2bt • 이 경우에는 지수곡선을 축소 또는 확대하는 효과도 • 나타나지만, 그 방향이 수직이 됨.

15. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function) • - 앞의 함수에서 t의 모든 값에 대하여 후자[y=g(t)=2bt]는 • 전자[y=f(t)=bt]보다 y의 값이 두 배이기 때문에, 후자는 • 전자의 두 배 높이에 위치함(t0J=JK). • - 이경우는세로축 절편도 바뀜: f(0)=b0=1, g(0)=2b0=2 • - 결국, 계수를 두 배한다는 것은 곡선을 가로축으로부터 • 수직거리로 두 배 확대, 계수를 반 배하는 것은 반감하여 • 축소하는 것이 됨.

16. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function)

17. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 일반화된 지수함수(generalized exponential function) • - 일반적인 지수함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음. • y=abct • 여기서 a, b, c는 파라미터이며, a와 c는 graph를 확대 • 또는축소하는 인수들임. • - 만약 a와 c가 양이면, 지수함수의 형태는 [그림 10.2]와 • 유사하지만, a와 c가 음이면, 지수함수의 graph는 • 근본적으로 수정해야 함.

18. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 바람직한 밑수(a preferred base) • - 미적분학에서는기호 e(exponential: e=2.71828)로 • 표시되는 특정한 무리수가밑수인 지수함수가 가장 • 널리 사용됨. • - 밑수 e가 지수함수에 사용될 때, 그 함수를 자연지수 • 함수(natural exponential function)라고 함. • - 예를 들면, 다음과 같음. • y=et y=e3t y=Aert

19. 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 바람직한 밑수(a preferred base) • - 또한 이 함수들은 다음과 같은 표기법으로도 나타냄. • y=exp(t) y=exp(3t) y=Aexp(rt) • - 단, 약어 exp(지수 exponential을 표시)는 밑수 e가 • 그의 지수로서 괄호 안의 표현을 갖는다는 의미임.

20. d d dy dy dw d dt dx dt dw dt dt • 지수함수와 로그함수 • 지수함수의 성질 • 바람직한 밑수(a preferred base) • - 함수 y=et의 도함수는그 함수 자체임. 즉, • et=et ex=ex • - 이미분법칙을이용하면, 함수 y=Aert 의 도함수는 • 우선, w=rt라 하면, 함수는 y=Aew가 됨(A와 r은 상수). • 그러면 연쇄법칙에 의해 • = =Aew(r)=rAert즉,Aert=rAert

21. 1 m • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 정의(thenumbere) • - 앞의 미분법칙을 만족하는 실수 e를 정의해 보기로 함. • - 임의의 m에 대하여다음과같을 때, • f(m)=(1+ )m • - 만약 m이 점점 더 큰 값을 가지면, f(m)도 역시 더 큰 • 값을 가짐. • - 더욱이 m이 무한히 증가하면 f(m)은 수 2.71828e에 • 수렴함.

22. 1 m • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 정의(thenumbere) • - 따라서 e는 m일때 앞의 식의 극한값으로 정의할 • 수 있음. 즉, • e f(m)= (1+ )m • - 실제로e는 무리수이며, 그 값은 대략 2.71828임. lim m lim m

23. 1 (0) (0) 1 (n)(0) 1 (n+1)(0) n+1 2 3 3 2 n n • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 정의(thenumbere) • - e의 근사값은 함수 (x)=ex의 매클로린급수를 통해서 • 구할 수 있음. 즉, • ex=(x)=(0)+(0)x+ x2+ x3+ •  + xn+ xn+1+Rn • =1+x+ x2+ x3+  + xn+Rn • - 여기서 n일때 Rn0이므로

24. 1 1 1 1 1 1 1 6 2 3 120 24 4 2 • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 정의(thenumbere) • - 따라서 ex의 값은 다음과 같은 수렴하는 무한급수 • (infinite series)로 표시할 수 있음. • ex=1+x+ x2+ x3+ x4+  • - e의 값을 구하기 위하여 x=1을 대입하면, • e=1+ + + + +  • =2.7182819

25. 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 경제적해석(an economic interpretation of e) • - 이자율의복리계산에 이용됨. • - 연이자율 100%로 원금 1원을 은행에 예치한 경우 • - 단, 괄호 안의 수는 1년간에 이자가 원금에 산입되는 • 회수임. • V(1)=초기의원금(1+이자율) • =1(1+100%)=1[1+(1/1)]1=2

26. 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 경제적해석(an economic interpretation of e) • - 그러나 이자가 6개월마다 원금에 산입된다면, 원금의 • 50%(100%의 절반)에 달하는 이자가 6개월이 경과한 • 후에 산입될 것임. • - 따라서 다음 6개월 기간의 새로운 원금은 1.50원이 • 되고, 이자는 1.50원의 50%로 계산됨. • - 결국, 연말의 자산가치는 1.50(1+50%)가 됨. 즉, • V(2)=원금(1+50%)(1+50%) • =1[1+(1/2)]2=2.25

27. 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 경제적해석(an economic interpretation of e) • - 마찬가지로 3회, 4회인 경우는다음과 같음. • V(3)=[1+(1/3)]32.37, V(4)=[1+(1/4)]42.44 • - 따라서 m회인 경우를 일반화하면, 다음과 같음. • V(m)=[1+(1/m)]m • 여기서 m은 1년간 이자가 원금에 산입된 회수임.

28. 1 m • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • e의 경제적해석(an economic interpretation of e) • - 이제, 이자가 1년간 연속적으로 원금에 산입될 경우, • 즉 m이 무한대로 커지면 연말에는 1원의 자산가치는 • V(m)= (1+ )m=e(원) • 이 됨. • - 1년 후에 1원이 e원이 되는 경우, 100%의 이자율은 • 명목이자율(nominal interest rate)이고, 그것은 1년 후 • e=2.71828원이된다면실효이자율(effective interest • rate)은 연간 약 172%임. lim m lim m

29. r m 1 m r w • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 복리(interest compounding)와 함수 Aert • - 앞의복리계산 문제를 일반화하면, 즉 ⑴ 복리계산 • 년수를 t년,⑵ 원금을 A원, ⑶ 명목이자율은 r%임. • V(m)=A(1+ )mt • - 여기서 =w( m=rw)라 하면, • V(m)=A(1+)wrt=Aert

30. dV dV/dt rV dt V V • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 순간성장률(instantaneous rate of growth) • - 함수 V=Aert이 주어지고, 그것이 t의 각 시점에서 V값을 • 나타내면, V의 변화속도는 다음과 같은 도함수가 됨. • =rAert=rV • - 어떤 주어진 시점에서 V의 성장률은 다음과 같음. • V의 성장률 = =r • - 위의정의에 의한 성장률 r을순간성장률이라 함.

31. 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 연속적 성장 대 이산적 성장(continuous vs. discrete growth) • - 앞의 논의는 수학적으로는 흥미가 있지만 현실 경제에 • 결부시키기에는 문제가 있음. • - 왜냐하면, 실제로 경제성장(또는 복리이자율)이 항상 • 연속적으로 이루어진다고 단정할 수 없기 때문임. • - 그러나 변화가순간 순간이라기보다는 어느 기간당 • 한 번만 발생하는 이산적 성장의 경우라도 연속적 • 지수성장함수(continuous exponential growth function) • 로사용될 수 있음.

32. 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) • - 복리계산과밀접하게 관련된 것이 할인(discounting) • 이라는개념임. • - 복리계산에 있어서는 원금 A의 미래가치 V에 관심을 • 가지며, 할인은 t기 이후에 이용가능한 금액인 V의 • 현재가치(present value) A는얼마인가에 관심을 가짐. • - 앞에서 살펴본 바와 같이 현재의 원금 A의 t기 이후의 • 가치는 연이자율 i, 연간 1회의 복리로 계산하면, • V=A(1+i)t

33. V (1+i)t • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) • - 즉, 현재가치 A원은 t기 후의 미래가치 V와 같음. • - 여기서 양변을 (1+i)t로 나누면, 다음의 식을 얻음. • A= =V(1+i)-t • - 이공식에서미래가치 V와 현재가치 A의 역할은 반대임. • - 이제는 위 식에서 V는 주어지고, A는 i(할인률)와 년수 • (t)로부터계산되는 미지수임.

34. V ert • 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) • - 마찬가지로 연속적인 경우를 보면, 원금 A가 공식 • V=Aert • 에따라 이자율 r로 연속 복리계산된 t년 후에 Aert이 • 되고, 위의 방정식의 양변을 ert으로나누면, 다음과 • 같은 연속적인 할인공식을 얻음. • A= =Ve-rt • - 여기서e-rt는 흔히 할인요인(discount factor)이라 함.

35. 지수함수와 로그함수 • 자연지수함수와 성장의 문제 • 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) • - 한편, 앞의 식을 지수성장함수로 보면, -r은 A의 순간 • 성장률로 볼 수 있음. • - 그런데 여기서이 성장률이 음이기 때문에 감모율 • (rate of decay)이라고도 함. • - 결국, 복리계산 방식이 양의 성장과정을 보여주는 • 반면, 할인과정은 음의 성장과정을 보여줌.

36. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 로그의의미(the mean of logarithm) • - 예를들어, 방정식 42=16으로 상호 관련되는 두 수 • 4와 16이 있을 때, 그 식의 지수 2를 밑수 4에 대한 • 16의 로그라고 정의하고, 다음과 같이 표기함. • log416=2 • - 즉, 로그는 밑수(4)가 어떤 특정한 수(16)를 얻기 위해 • 거듭제곱되어야 하는 멱수(the power)임. • - 일반적으로 다음과 같이 나타냄. • y=bt t=logby  y=b logby

37. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 로그의의미(the mean of logarithm) • - 지수함수는강증가함수이므로, 이것은 y의 어떤 양의 • 값에 대해서 y=bt를만족하는 유일한지수 t(반드시 • 양수일 필요는 없음)가 존재함을 의미함. • - 또한,y의 값이 커지면 t의 값도 더 커져야 함. 따라서 • y가 커지면 y의 로그도 커져야 함. • - y는 지수함수 y=bt에서반드시 양임. 그러므로 음수나 • 0은 로그(logarithm)를 가질 수 없음.

38. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 상용로그와 자연로그(common log and natural log) • - 로그의밑수(base)는 어떤 특정한수로 제약할 필요는 • 없지만, 실제로 로그계산에서는 두 개의 수(10과 e)가 • 밑수로 가장 널리 사용됨. • - 밑수가 10(십진법)인 로그를 상용로그(common • logarithm)라하고(log10로 표기), 밑수가 e인 로그를 • 자연로그(natural logarithm)라함. • - 특히, 자연로그는 loge또는 ln(natural logarithm을의미) • 으로 표기함.

39. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 상용로그와 자연로그(common log and natural log) • - 상용로그의표(예) • log101,000=3 ( 103=1,000) • log10100=2 ( 102=100) • log1010=1 ( 101=10) • log101=0 ( 100=1) • log100.1=-1 ( 10-1=0.1) • log100.01=-2 ( 10-2=0.01)

40. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 상용로그와 자연로그(common log and natural log) • - 그러나 분석작업에서는 상용로그를 사용하는 것보다 • 자연로그를 사용하는 것이 훨씬 편리함. • - 로그의 정의에 의하여, • y=et t=logey (또는 t=lny)

41. 1 e • 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 상용로그와 자연로그(common log and natural log) • - 자연로그의표(예) • lne3=logee3=3 • lne2=logee2=2 • lne1=logee1=1 • ln1=logee0=0 • ln =logee-1=-1 • - 상용로그와자연로그는 서로 대체될 수 있음.

42. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 로그법칙(rulesof logarithms) • 로그는지수의 성질을 가지므로 앞에서 다룬 바와 같이 • 밀접하게 관련된 일정한 법칙을 따름. • - 처음의 세 법칙(법칙 1, 법칙 2, 법칙 3)은 자연로그를 • 서술하고 있지만, 그것들은기호 ln이 logb로대체해도 • 그대로 성립함. • 법칙 1: 곱의 로그 ln(uv)=lnu+lnv (u, v0) • - 예 1: ln(e6e4)=lne6+lne4=6+4=10 • - 예 2: ln(Ae7)=lnA+lne7=lnA+7

43. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 로그법칙(rulesof logarithms) • 법칙 2: 몫의 로그 ln(u/v)=lnu-lnv (u, v0) • - 예 3: ln(e2/c)=lne2-lnc=2-lnc • - 예 4: ln(e2/e5)=lne2-lne5=2-5=-3 • 법칙 3: 멱의 로그 lnua=alnu (u0) • - 예 5: lne15=15lne=15 • - 예 6: lnA3=3lnA • - 예 7: ln(uva)=lnu+lnva=lnu+alnv • - 예 8: lnu+alnv=lnu+lnva=ln(uva) [예 7의 역]

44. 1 1 logeb lnb • 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 로그법칙(rulesof logarithms) • 법칙 4: 로그밑수의 변환 logbu=(logbe)(logeu) (u0) • - 예 9: logeu=(loge10)(log10u) • 법칙 5: 로그밑수의역변환 logbe= = • - 예 10: logbb=(logbe)(logeb) 여기서 logbb=1임. • - 예 11: loge100=2.3026(log10100)=2.3026(2)=4.6052 • 역으로,log10100=0.4343(loge100) • =0.4343(4.6052)=2 • (10의 자연로그값 2.3026, e의 상용로그값 0.4343)

45. 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 응용(an application) • 지수방정식이 다음과 같음. • abx-c=0 (a, b, c0) • - 위 방정식을 만족하는 x의 값을 구하기 위해서는 우선, • 로그를 이용하여, 이 지수방정식을 선형방정식으로 • 변형시킨 후, 그 선형방정식을 풀면 됨. • - 우선,c를 우변으로 이항시킴. • abx=c

46. logc-loga logb • 지수함수와 로그함수 • 로그(logarithm) • 응용(an application) • - 앞 식의 양변에 (10을 밑수로 하는) 로그를 취하면, • 다음을 얻음. • loga+xlogb=logc • - 이 식은 변수 x에 관한 선형방정식이며, 해는 다음과 • 같음. • x=

47. 지수함수와 로그함수 • 로그함수(logarithmic function) • 로그함수와 지수함수 • - 로그함수는 지수함수의 역함수임. 즉, • t=logby  y=bt • t=logey (=lny)  y=et • - 왜냐하면, 위의 두 로그함수는 그에 대응하는 지수함수 • 의 종속변수와 독립변수의 역할을 역전시킨 결과임. • - 로그함수는강증가함수(지수함수)의 역함수이므로, • 로그함수도 역시 강증가함수이어야 함.

48. 지수함수와 로그함수 • 로그함수(logarithmic function) • 로그함수와 지수함수의 graph 형태 • - 로그함수에 대응하는 지수함수의 graph는 원점을 • 통과하는 45 선에 대해 서로 대칭임(어떤 한 쌍의 • 역함수의 graph도 일반적으로 이런 성질을 가짐). • - [그림 10.3]에서 그림 (b)를그림 (a) 위에 포개놓고, • y축은 y축, t축은 t축에위치하도록하면, 두 곡선은 • 완전 일치함.

49. 지수함수와 로그함수 • 로그함수(logarithmic function) • 로그함수와 지수함수

50. 지수함수와 로그함수 • 로그함수(logarithmic function) • 로그함수와 지수함수의 graph 형태의 특징 • - 두 곡선은 단조적으로 증가하고 있지만, 지수곡선은 • 체증률로 증가하는 반면, 로그곡선은 체감률로 증가함. • - 지수함수는 양의 치역(range)을 갖는 반면, 로그함수는 • 양의 정의역(domain)을 가짐(로그함수의 정의역이 • 양이라는 제약은 오직 양수로만 로그를 취함). • - 지수함수 y=et은 1에서 세로축 절편을 갖는 것처럼, • 로그함수 t=logey는 y=1에서가로축과 교차함. • 이것은 loge1=0이라는 것을 의미함.