GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 4 C. Bruneau

1. GESTION DE PORTEFEUILLEchapitre n° 4C. Bruneau Rationalisation des choix: référence à l’utilité

2. Plan du chapitre • 1. Choix en avenir incertain et fonctions d’utilité • 2. Rappel sur la notion d’aversion au risque • 3. Justification d’une prime de risque sur les titres risqués • 4. Critère espérance-variance

3. Choix en avenir incertainet fonction d’utilité • 1.1 Choix en avenir incertain • Décision à prendre sans en connaître les conséquences de manière certaine exemple: choix de la composition d’un portefeuille face à des rendements des titres aléatoires . Rationalisation des choix: introduction d’une axiomatique ( les axiomes caractérisent la rationalité du décideur) Par exemple, l’axiome de transitivité: si un choix b est préféré à a et c est préféré à b, c est encore préféré à a Exemple: axiomatique de Von Neuman Morgenstern (VNM) . Dans ce qui suit, on introduira la fonction d’utilité des conséquences ( quantitatives) des choix . On montre que l’optimisation des choix selon la rationalité, décrite par l’axiomatique de VNM, est équivalente à la maximisation de l’espérance d’utilité, sous réserve que la fonction d’utilité possède de bonnes propriétés: elle doit être croissante et concave

4. 1.2 Fonction d’utilité • Plutôt que de considérer directement l’évaluation monétaire des conséquences d’un choix, on considère l’utilité de cette valeur monétaire • On montre que la rationalité d’un agent qui obéit à l’axiomatique de VNM peut être résumée par la donnée d’une fonction d’utilité, croissante et concave: u • Croissante: on préfère des conséquences monétaires plus élevées ( une valeur du rendement de l’investissement plus élevée) • Concavité: la dérivée seconde est négative: lorsque les conséquences monétaires sont élevées, l’utilité croit moins vite que dans la zone des conséquences monétaires plus faibles (Voir augmentation marginale de la richesse, lorsqu’on est très riche) • Plus précisément, le choix de l’action, en avenir incertain, - par exemple la composition d’un portefeuille- est dicté par la recherche de la maximisation de l’espérance d’utilité des conséquences monétaires ( rendement du portefeuille)

5. 1.3 Exemples de fonctions d’utilité • Fonction CARA : constant absolute risk aversion • Or: • k doit être négatif pour que la fonction d’utilité soit croissante; la fonction d’utilité CARA a pour expression: • CRRA: constant relative risk aversion

6. 2. Aversion pour le risque • 2.1) Monde risque-neutre • Si on est indifférent à l’incertitude – aux issues possibles- on est indifférent au risque: on dit que l’on est « neutre au risque » • Dans un monde où tous les agents sont neutres au risque ( on parle de monde risque–neutre), tous les titres, qu’ils soient risqués ou non, doivent avoir la même rentabilité espérée que le titre sans risque (supposé exister): le risque n’est pas valorisé, il n’y a pas de prime de risque

7. 2.2 Aversion au risque et prime de risque Dans la réalité, les agents ne sont pas indifférents au risque. Selon leur aversion au risque, ils investissent dans des titres plus ou moins risqués et acceptent le risque de leur investissement, parce qu’ils sont rémunérés pour leur prise de risque: les échanges sur le marché font que les titres risqués ont un rendement espéré plus élevé que celui du titre sans risque On définit la prime de risque du titre risqué i ( par rapport au titre sans risque F (Free Risk) selon):

8. On peut assimiler un titre risqué à une loterie : son rendement est aléatoire • Un agent qui a une utilité U valorise la loterie selon l’espérance de l’utilité du rendement • Par exemple, un titre risqué qui a un rendement • RF+5% avec un probabilité p • RF-5% avec une probabilité 1-p (où RF désigne le rendement du titre sans risque) est une loterie qui est « valorisée » par l’agent qui a une fonction d’utilité U, selon: pU(RF+5%)+(1-p)U(RF-5%) • On introduit la notion d’équivalent certain de la loterie: c’est la valeur certaine dont l’utilité est égale à l’espérance d’utilité de la loterie. • Ici l’équivalent certain du titre est le rendement certain Rc tel que: • U(Rc)=pU(RF+5%)+(1-p)U(RF-5%)

9. On se pose alors la question suivante: à quelle condition un agent de fonction d’utilité U préfère-t-il investir dans un titre risqué de rendement (aléatoire) R plutôt qu’investir dans le titre sans risque de rendement RF? • On doit avoir • Or U est concave et on sait que pour toute fonction concave U et toute variable aléatoire X, on a: • Par conséquent , le rendement R doit être tel que: • Or la fonction d’utilité U est croissante, par conséquent, on doit avoir: • l’agent exige une prime de risque E(R)-RF>0 pour décider d’investir dans le titre risqué.

10. Explication de la propriété vérifiée par toute fonction croissante concave: • Cas particulier: supposons que X prenne la valeur x1 avec la probabilité p et x2 avec la probabilité 1-p • On doit vérifier que: • C’est-à-dire que la corde qui relie les points (x1, U(x1)) et (x2, U(x2)) est située sous la portion de la courbe représentative de U entre ces deux points: ceci est vérifié parce que la fonction U est concave

11. 3. Trade-off entre espérance de rentabilité et risque(variance) • Soit une variable aléatoire Z correspondant au rendement d’un titre • On considère la fonction d’utilité CARA • U(z)= -exp(-Az) avec A>0 • On suppose que la variable Z est distribuée comme une loi normale ( de moyenne E(Z) et de variance Var(Z)).

12. L’espérance de l’utilité est donnée par: • Car la dernière intégrale du développement précédent est égale à 1 puisque c’est l’intégrale sur R de la densité d’une loi normale: - de moyenne - et de variance

13. Et l’équivalent certain a pour expression: • Les préférences font donc intervenir à la fois l’espérance et le risque du titre (critère espérance-variance)