선형계획법 및 연습 04. 심플렉스법 2 동아대학교 산업경영공학과 김 준 우

선형계획법 및 연습 04. 심플렉스법 2 동아대학교 산업경영공학과 김 준 우

심플렉스 법 수행을 위한 준비 선형계획문제를 표준형으로 표현 일반 제약식 모두 등식 목적함수 최대화 또는 최소화 일반 제약식 우변은 0이상의 상수 모든 변수 비음제약 심플렉스 법 수행 위한 부가 조건 각 등식제약식에 계수 1인 추가 변수 한 개씩 필요 추가 변수 : 여유 변수 등, 기존에 없던 의사결정변수 위 조건들에 부합하지 않는 문제 수정을 거쳐 적합한 형태로 바꾼 후, 심플렉스 법 수행 1. 최소화 문제의 표준형 관찰

최대화 문제의 표준형 여유 변수 도입을 통해 표준형으로 수정 여유 변수 : 자원 잔여량에해당 예) 가구 제조 업체 D기업 1. 최소화 문제의 표준형 관찰 선형계획모형 의사결정변수 제품 개당 이익 목적함수 자원 소요량 및 월 최대사용량 제약식 월 총 이익 최대화를 위해 각 제품 몇 개씩 생산할 것인가?

최대화 문제의 표준형 예) 가구 제조 업체 D기업 여유 변수 : S1 (목재 잔여량), S2 (페인트 잔여량) 1. 최소화 문제의 표준형 관찰 선형계획모형 표준형 S1 : 첫 번째 등식 제약식에서계수 1 의사결정변수 S2 : 두 번째 등식 제약식에서계수 1 목적함수 제약식

최소화 문제 관찰 예) S목장 사료 구입 문제 일일 사료 구입 비용 최소화 필요 1. 최소화 문제의 표준형 관찰 선형계획모형 의사결정변수 사료 1Kg 당 가격 목적함수 영양소 함량 및 최소량 제약식

부등식 제약식을 등식 제약식으로 변형 자원 제약식( <= 형태 ) 여유 변수 (잔여량) 활용 좌변에 여유 변수 더하여 등식으로 변경 이익 제약식( >= 형태) 잉여 변수, 인위 변수 동시 활용 잉여 변수 (surplus variable) 이익제약식수정 위해 추가하는 변수 각 항목 기준치 초과량으로 해석 가능 각 이익제약식좌변에서 차감하여 등식으로 수정 일반적으로 T1, T2, T3, …로 표기 비음제약 필요 1. 최소화 문제의 표준형 관찰

최소화 문제 제약식 수정 예) S목장 사료 구입 문제 T1 : 단백질 초과 공급량 (기준치 30초과량) T2 : 탄수화물 초과 공급량 (기준치 20초과량) T3 : 지방 초과 공급량 (기준치 35초과량) 1. 최소화 문제의 표준형 관찰 각 영양소 공급량 = 최소량 + 초과량이 됨 좌변에서 잉여변수 차감하여 등식 형성 가능 단백질 공급 30 이상 탄수화물 공급 20 이상 지방 공급 35 이상

잉여변수 도입한 최소화 문제 관찰 예) S목장 사료 구입 문제 심플렉스 법 실행을 위한 조건 만족하지 못함 각 등식제약식에계수 1인 추가 변수없음 1. 최소화 문제의 표준형 관찰 제약식 수정한 선형계획모형 의사결정변수 주의) 잉여변수도 가급적 추가하여 목적함수, 제약식 작성 목적함수 제약식 T1, T2, T3 : 각 등식에 추가되었으나 계수 1아님

잉여변수 도입한 최소화 문제 관찰 잉여변수만 추가한 모형으로 심플렉스법 실행 불가 원점이 실행가능 기저해(극점)아님 예) S목장 사료 구입 문제 원점 X1 = 0 X2 = 0 T1 = -30 T2 = -20 T3 = -35 1. 최소화 문제의 표준형 관찰 제약식 비음제약 위배 잉여변수 : 초과량. 공급량이 최소요구량에 미달할 때는 초과량 음수가 됨

인위변수 (artificial variable) 이익제약식 수정 위해 도입되는 부가적 변수 각 항목의 기준치 대비 부족량으로 해석 가능 각 등식제약식좌변에 추가 일반적으로 A1, A2, A3, …로 표기 비음제약 필요 2. 최소화 문제의 표준형 작성 제약식

잉여변수와 인위변수 의미 관찰 모두 비음 변수 초과량 (잉여변수), 부족량 (인위변수) 모두 0이상 값 가짐 둘 중 한 쪽은 반드시 0이 됨 공급량 초과 시 : 잉여변수 > 0, 인위변수 = 0 공급량 부족 시 : 잉여변수 = 0, 인위변수 > 0 예) S목장 사료 구입 문제 첫 번째 제약식 일일 단백질 공급량 30이상 2. 최소화 문제의 표준형 작성 X1 = 10, X2 = 5인 경우 *. 단백질 공급량 = 10+3×5=25 (부족한 상태) *. T1 (단백질 초과량) = 0 *. A1 (단백질 부족량) = 5가 되어 등식 만족시킴 X1 = 10, X2 = 10인 경우 *. 단백질 공급량 = 10+3×10=40 (초과 상태) *. T1 (단백질 초과량) = 10 *. A1 (단백질 부족량) = 0이 되어 등식 만족시킴

목적함수에 인위변수 추가 모든 의사 결정 변수는 목적함수에 포함되어야 함 여유변수, 잉여변수 값이 얼마가 될지 알 수 없음 목적함수 값에 영향을 주지 않으므로 계수 0 인위변수 값이 0이 되어야 함(제약식 만족 위해) 큰 수 M을 계수로 하여 목적함수에 추가 0이 아닌 경우 목적함수 달성 불리하도록 작성 예) S목장 사료 구입 문제 목적함수 2. 최소화 문제의 표준형 작성 최소화할 목적함수에 큰 수 M이 곱해진 채로 포함됨. A1, A2, A3모두 0이 되어야 목적함수 최소화 달성 가능

완성된 최소화 문제의 표준형 예) S목장 사료 구입 문제 2. 최소화 문제의 표준형 작성 의사결정변수 목적함수 제약식

최소화 문제의 심플렉스 표 작성 원점에서 탐색 시작 원래 의사결정변수 모두 0 인위변수들이 비기저 변수 예) S 목장 사료 구입 문제 사료 A구매량X1 = 0 사료 B구매량X2 = 0 원점 3. 최소화 문제 심플렉스 표 아무 사료도 구매하지 않음 단백질, 탄수화물, 지방 초과량 모두 0 단백질, 탄수화물, 지방 초과량 모두 최소필요량만큼 부족

최소화 문제의 심플렉스 표 작성 초기 심플렉스 표 작성 변수 열 : 원래 의사결정변수 왼쪽, 인위 변수 가장 오른쪽 초기 기저변수 : 인위 변수 주의) 최대화 문제 심플렉스 표와 차이점 최하단단위이익 : Zj–Cj형태 (최대화 문제 : Cj-Zj) 3. 최소화 문제 심플렉스 표 목적함수 목적함수 내 계수 : 각 의사결정변수 1 증가 시, 목적함수 증가량에 해당 원점에서 비기저 변수 값 원점에서 목적함수 값

초기 심플렉스 표 작성 한계대체율: 제약식 계수들을 작성 3. 최소화 문제 심플렉스 표 제약식 한계대체율 : 열 변수 1 증가 시, 각 기저변수 감소량을 의미

초기 심플렉스 표 작성 한계비용 : 열 변수 1증가 시, 기저변수 감소로 인한 목적함수 감소량 3. 최소화 문제 심플렉스 표 한계비용

초기 심플렉스 표 작성 단위이익 : 열 변수 1증가 시, 발생하는 종합적인 목적함수 개선 효과 표 상단 Cj : 목적함수 증가 ( + ) 효과, 최소화 문제의 경우 부정적 효과 한계비용 : 목적함수 감소 ( - ) 효과, 최소화 문제의 경우 긍정적 효과 최소화 문제 단위 이익 = 한계 비용 – 표 상단 Cj 참조) 최대화 문제 단위 이익 = 표 상단 Cj – 한계 비용 3. 최소화 문제 심플렉스 표 단위이익 (목적함수 총 감소량) 기저변수 X1이 1 증가 : 목적함수 6M-200 감소 기저변수 X2가 1 증가 : 목적함수 5M-300 감소 …

최소화 문제 심플렉스 표 풀이 최대화 문제 풀이 과정과 동일 단위이익 형태만 다름 최초 심플렉스 표 관찰 기저해: (X1, X2, T1, T2, T3, A1, A2, A3) = ( 0, 0, 0, 0, 0, 30, 20, 35 ) 최적해아님 : 표 수정 통한 인접 기저해 이동 필요 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정 1) 진입 변수 선택 단위이익 가장 큰 비기저 변수 선정 진입 변수 : X1 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이 기준열 비기저변수 중, 증가 시 목적함수 가장 많이 개선(감소)시키는 것

최소화 문제 심플렉스 표 수정 2) 탈락 변수 선택 기저 변수 중 최소비율시험 통해 선택 탈락 변수 : A3 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이 해/기준열 값 30/1 = 30 20/1 = 20 35/4 = 8.75 기준행 : 가장 작은 양수에 해당하는 행

최소화 문제 심플렉스 표 수정 3) 심플렉스표 수정 3-1) 기저 변수 항목수정 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이 기저 변수 아래 한계대체율: 1 한 개와 나머지 0으로 구성 필요

최소화 문제 심플렉스 표 수정 3) 심플렉스표 수정 3-2) 기저 변수 자신에 해당하는 행 한계 대체율 및 해 열 수정 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정 3) 심플렉스표 수정 3-3) 기저 변수 나머지 행 한계 대체율 및 해 열 수정 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정 3) 심플렉스표 수정 3-4) 표 하단 한계비용 및 단위이익 수정 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정 3) 심플렉스표 수정 3-5) 두 번째 심플렉스 표 완성 기저해: (X1, X2, T1, T2, T3, A1, A2, A3) = ( 8.75, 0, 0, 0, 0, 21.25, 11.25, 0 ) 최적해 아님 : 표 추가 수정 필요 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이 두 번째 심플렉스표에서 진입변수, 탈락변수 선정 해/기준열 값 21.25/2.75=7.73 11.25/0.75 = 15 8.75/0.25 = 35 세 번째 심플렉스 표 작성

최소화 문제 심플렉스 표 수정 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이 네 번째 심플렉스 표 작성 다섯 번째 심플렉스 표 작성 (최적)

최소화 문제 심플렉스 표 수정 S 목장 사료 구입 문제 최종 심플렉스 표 관찰 최적해 : (X1, X2, T1, T2, T3, A1, A2, A3) = ( 15, 5, 0, 0, 30, 0, 0, 0 ) 최적 목적함수 값 : 총 비용 4500원 인위변수 값 0으로 조정됨 : 부족 영양소 없음 4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

표준형 문제의 작성 부등식 제약식을 등식으로 수정 자원제약 (<=) : 좌변에 여유변수 (Si) 더함 이익제약 (>=) : 좌변에 잉여변수 (Ti) 차감, 인위변수 (Ai) 더함 등식제약 ( = ) : 좌변에 인위변수 (Ai) 더함 목적함수 수정 (최대화 문제) 여유변수 계수 = 0 잉여변수 계수 = 0 인위변수 계수 = -M ( 인위 변수 0 아닐 시, 목적함수 크게 감소) 목적함수 수정 (최소화 문제) 여유변수 계수 = 0 잉여변수 계수 = 0 인위변수 계수 = M (인위 변수 0아닐 시, 목적함수 크게 증가) 5. 심플렉스 법 이용 정리

심플렉스 표의 작성 표준형 문제 기준으로 작성 항상 원점에서 탐색 시작 가장 하단 단위 이익 각 비기저 변수 1증가 시 발생하는 (좋은 효과 –나쁜 효과) 최대화 문제 : Cj–Zj 최소화 문제 : Zj-Cj 5. 심플렉스 법 이용 정리

여러 제약식가진 선형계획 문제 1) 가구 제조 업체 D기업 문제 변형 기본 조건 이전 문제와 동일 책상 : 3만원, 책장 : 2만원 이익 월 목재 최대 300, 월 페인트 최대 160 추가 제약 책상, 책장 합하여 30개 이상 생산 참조) 최적해는 이전 문제와 동일 (20, 20) 6. 초기심플렉스표 작성 기타 선형계획모형 의사결정변수 목적함수 제품 개당 이익 제약식 자원 소요량 및 월 최대사용량

가구 제조 업체 D기업 문제 변형 표준형 문제의 작성 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 의사결정변수 목적함수 제약식

가구 제조 업체 D기업 문제 변형 초기 심플렉스 표의 작성 초기해 : X1=0, X2=0, S1=300, S2=160, T1=0, A1=30 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 목적함수 제약식

여러 제약식을 가진 선형계획 문제 2) S목장 사료 구입 문제 변형 기본 조건 이전 문제와 동일 추가 제약 탄수화물, 지방 공급량 합은 65g이하 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 선형계획모형 의사결정변수 목적함수 사료 1Kg 당 가격 제약식 영양소 함량 및 최소량

S목장 사료 구입 문제 변형 표준형 문제의 작성 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 의사결정변수 목적함수 제약식

S목장 사료 구입 문제 변형 초기 심플렉스 표의 작성 초기해 : X1=0, X2=0, S1=65, T1=0, T2=0, T3=0, A1=30, A2=20, A3=35 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 목적함수 제약식

여러 제약식을 가진 선형계획 문제 3) 표준형 조건의 고려 표준형 모형 1) 목적함수 최대화 또는 최소화 2) 일반 제약식 모두 등식 형태 3) 제약식 우변 상수는 모두 0이상 4) 모든 의사결정변수 비음 제약 심플렉스 법 사용 위해 표준형 문제 필요 6. 초기 심플렉스표 작성 기타

여러 제약식을 가진 선형계획 문제 3) 가구 제조 업체 D기업 문제 변형 추가 제약 책상보다 책장 개수가 5개 이상 많아야 함 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 선형계획모형 의사결정변수 제품 개당 이익 목적함수 자원 소요량 및 월 최대사용량 제약식

여러 제약식을 가진 선형계획 문제 3) 가구 제조 업체 D기업 문제 변형 음수인 우변 상수 처리 해당 제약식 양변에 -1 곱함 6. 초기 심플렉스표 작성 기타 의사결정변수 의사결정변수 의사결정변수 목적함수 목적함수 목적함수 제약식 제약식 제약식

선형계획법 및 연습 04. 심플렉스법 2 동아대학교 산업경영공학과 김 준 우

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