Geometria descrittiva dinamica

1. Al sommario Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI (Oggetto, mezzo, luogo) Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2001/02 da Luca Pelusi della classe 3°B dell’Istituto Statale d’Arte “M. Dei Fiori” di Penne per la materia : “Disegno geometrico ed architettonico” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella Mostacci Autore Prof. Elio Fragassi IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

2. Copertina Sommario Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a

3. Sommario RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI Introduzione generale (1) Il vocabolario Zingarelli esplicita il termine “proiezione”come “...atto, effetto del proiettare...” oppure come “...trasmissione di un’immagine su uno schermo...”, oppure ancora come “...Rappresentazione di una figura spaziale su un piano usando sistemi diversi...”. Lo stesso vocabolario esplicita, poi, il verbo “proiettare” come “...gettare, scagliare fuori o avanti...” oppure come operazione per “...Riprodurre su uno schermo una diapositiva o un fotogramma a mezzo di proiettore”. Per rappresentare un oggetto qualunque, un solido, un progetto architettonico, un oggetto di uso comune, un mobile, ecc. si usa eseguire una "proiezione" dell'oggetto stesso. E’ bene, pertanto, chiarire anzitutto cosa vuole intendersi per "proiezione”, riguardandola come operazione grafica di tipo geometrico con caratteristiche descrittive. In sintesi, "proiettare" equivale a "trasferire" cioè “eseguire una proiezione" equivale ad "effettuare un trasferimento"; o meglio, sviluppare una serie di operazioni razionalmente coordinate mediante le quali riuscire a "trasferire”, “qualcosa" da un "luogo" ad un altro "luogo".

4. Per poter eseguire questa operazione di "trasferimento" abbiamo bisogno, fondamentalmente, dei tre elementi specificati di seguito. Introduzione generale (2) Poiché l’operazione di trasferimento implica un aspetto dinamico, tale sarà anche l’operazione della proiezione, conseguentemente, poiché la geometria descrittiva si fonda sulle proiezioni ne discende il carattere dinamico, per cui trattasi di “Geometria descrittiva dinamica”. L’”oggetto” della proiezione o del trasferimento Il “mezzo” per eseguire la proiezione o il trasferimento Il “luogo” ove effettuare la proiezione o il trasferimento

5. Sommario L’oggetto della proiezione (1) L'oggetto può essere costituito da "qualcosa" sia concreto che astratto; può quindi essere un solido o un gruppo di solidi, un organismo architettonico esistente e/o di progetto, un’idea progettuale, il rilievo e la restituzione grafica di un manufatto, di un immobile, di un mobile, o più in generale, un "oggetto” reale e/o virtuale da definirsi di volta in volta in relazione al momento ed alle esigenze rappresentative Nello specifico di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica", l'oggetto della trattazione è costituito dagli elementi primitivi della geometria come definiti in altro fascicolo che, in particolare, si sintetizzano come di seguito. Il Punto P inteso come "Ente geometrico adimensionale" La retta r riguardata nel suo aspetto dinamico-insiemistico come generata da un punto in movimento definito ed orientato secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e descrittiva Il piano p riguardato nel suo aspetto dinamico-insiemistico come elemento generato da una retta in movimento definito ed orientato nello spazio secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e descrittiva

6. L’oggetto della proiezione (2) Questi tre elementi, composti ed articolati nello spazio, determinano la configurazione di forme e figurazioni piane e/o solide di varia natura e complessità; comunque sempre suscettibili di essere ricondotte ad un abaco di forme principali ove rintracciare, sempre, le forme fondamentali di prima specie, di seconda o terza specie che si ricorda essere le seguenti Forme di 3a specie Forme di 1a specie Forme di 2a specie Retta punteggiata Piano punteggiato Spazio punteggiato Fascio di rette Piano rigato Spazio rigato Fascio di piani Stella di rette Spazio di piani Stella di piani

7. Sommario Il mezzo della proiezione Nello specifico, il “mezzo” grafico, per l'esecuzione delle rappresentazioni, è costituito dalle leggi della proiezione cilindrica ortogonale (Fig. 01). Ricordiamo, sinteticamente, che le proiezioni si distinguono in: “proiezioni coniche” o “proiezioni centrali” e “proiezioni cilindriche” o “proiezioni parallele”; queste ultime a loro volta si differenziano in proiezioni ortogonali ed oblique Nello sviluppo di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica" si fa riferimento esclusivamente alla "Proiezione cilindrica ortogonale" le cui caratteristiche geometrico-descrittive sono sintetizzate dalla seguente espressione [S¥ ÞA’= A] per r^ a ed A’ Mentre la proiezione conica può essere sintetizzata dalla seguente espressione [S ÞA’ A] perr a ed A’ S¥ = Sorgente proiettiva impropria. S = Sorgente proiettiva reale. A’ = Proiezione o immagine dell’oggetto in corso di elaborazione descrittiva. A = Oggetto (reale e/o virtuale) della rappresentazione. r = Raggio proiettivo. ^ = Perpendicolare o ortogonale.  = Obliquo o comunque inclinato  = Appartiene a = Luogo della proiezione. (Supporto del disegno e/o della rappresentazione grafica descrittiva)

8. Sommario Il luogo della proiezione: il diedro Di norma, nel campo della geometria descrittiva gli "oggetti” della proiezione si immaginano collocati nello spazio fisico denominato "diedro"(Fig.02) Il diedro, come angolo solido, è costituito dallo spazio racchiuso tra due semipiani p1/2 e p2/2 (Fig.03) in rapporto ortogonale tra di loro così come definito nel "Metodo delle doppie proiezioni ortogonali o metodo di Monge“ cui questi appunti fanno completo riferimento I due piani (Fig. 02) p1 e p2, comunque collocati nello spazio, e, fermo restando il reciproco rapporto di ortogonalità, intersecandosi definiscono quattro porzioni di spazio solido che prendono il nome di diedri; quindi ciascuna delle quattro parti dello spazio solido (Fig. 03), delimitata da due semipiani aventi in comune la retta di origine, determina un “luogo” della possibile collocazione dell’oggetto della proiezione e/o della rappresentazione. I due piani p1 e p2, intersecandosi l'uno con l'altro danno origine ad una retta reale che rappresenta l'origine dei semipiani e quindi dei diedri da essi costituiti. Per questa sua caratteristica particolare (origine dei semipiani) la retta, nello specifico, assume il nome di "linea di terra". Essa, sia negli appunti seguenti che nelle didascalie dei disegni, sarà indicata con le lettere iniziali del nome "lt" minuscole perché trattasi di linea retta.

9. Sommario Caratterizzazione topologica dei diedri (1) Se la retta "lt” rappresenta l'origine dei semipiani p1/2 e p2/2, muovendosi, su ciascuno di essi, ci sia allontanerà da detta origine spostandosi sia sup1che su p2 Allora, per poter definire, in modo univoco, il semipiano in cui ci si muove attribuiamo ad esso delle caratteristiche topologiche, proprio in riferimento all'origine cioè alla “lt” (Fig.04). Pertanto, se dalla lt ci si allontana verso destra diremo che i valori della distanza sono crescenti positivamente ed allora indicheremo il semipiano come "semipiano anteriore positivo" che in forma sintetica diventa p1+; se ci si allontana verso sinistra diremo che i valori delle distanze sono crescenti negativamente e allora definiremo il semipiano come “semipiano posteriore negativo" che in forma sintetica diventa p1- Muovendosi, poi, su p2 accade che per allontanarsi dalla linea di terra bisogna muoversi verso l'alto; in questo caso i valori della distanza dall'origine sono crescenti positivamente, allora indichiamo il semipiano in oggetto come “semipiano superiore positivo" che in forma sintetica diventa p2+; se invece ci si allontana verso il basso, allontanandosi dalla "lt" i valori crescono negativamente per questo si definisce tale semipiano come “semipiano inferiore negativo” che in forma sintetica diventa p2-. E’ possibile, quindi, caratterizzare e definire dal punto di vista topologico i diversi diedri, con riferimento ai semipiani costituenti gli stessi, come nella tabella che segue

10. Sommario Caratterizzazione topologica dei diedri (2) Ragionando sulla “caratterizzazione topologica” possiamo fare le seguenti considerazioni generali Caratterizzazione topologica dei diedri Carattere topologico Sintesi didascalica Indicazione sintetica Numero diedro Nome semipiano Anteriore Positivo p1+ Primo Diedro I D p2+ Superiore Positivo Il primo diedro è un diedro positivo p1 - Posteriore Negativo II D Secondo Diedro p2 + Superiore Positivo p1- Posteriore Il secondo diedro è un diedro misto Negativo III D Terzo Diedro p2- Inferiore Negativo p1+ Anteriore Positivo IVD Quarto Diedro Il terzo diedro è un diedro negativo p2 - Negativo Inferiore Per una maggiore sintesi possiamo esprimere con la tabella sinottica che segue la “ definizione topologica” dei quattro diedri Il quarto diedro è un diedro misto Tabella sinottica dei caratteri topologici dei quattro diedri Inoltre il primo diedro è opposto al terzo “dal punto di vista topologico" e, al contempo, il secondo è, sempre “ dal punto di vista topologico”, opposto al quarto Primo Diedro Terzo Diedro Secondo Diedro Quarto Diedro p1 - p1 + p1 - p1 + III D I D II D IVD p2 + p2 + p2 - p2 -