第 7 章 图

1. 第7章　图 2014年8月24日

2. 第7章　图 7.1 图的基本概念 7.2 图的存储结构 7.2.1 邻接距阵表示法 7.2.2 邻接表表示法 7.3 图的遍历 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索 7.4 图的应用 7.4.1 连通图的最小生成树 7.4.2 拓扑排序

3. 7.1 图的基本概念 一、现实中的图 图最常见的应用是在交通运输和通信网络中找出造价最低的方案。通信网络示例如下图所示：

4. 二、图的定义 图G是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。记为二元组形式： G= (V, E) 其中: • V是由顶点构成的非空有限集合，记为：V＝{V0, V1, V2, …Vn-1} • E是由V中顶点的对偶构成的有限集合，记为：E={(V0, V2), (V3, V4), … }，若E为空，则图中只有顶点而没有边。 其中对偶可以表示成： • (Vi, Vj)—无序的对偶称为边，即(Vi, Vj)=(Vj, Vi) ，其图称为无向图 • <Vi, Vj>—有序的对偶称为弧，即<Vi, Vj> ≠<Vj, Vi>，则称Vi为弧尾，称Vj为弧头，该图称为有向图

5. 有向图和无向图示例： 无向图G1的二元组表示： V(G1)={V1, V2, V3, V4} E(G1)={(V1, V2)，(V1, V3)，(V1, V4)，(V2, V3)，(V2, V4)，(V3, V4)} 有向图G3的二元组表示： V(G3)={V1, V2, V3} E(G3)={<V1, V2>，<V1, V3>，<V2, V3>，<V3, V2>}

6. 1．邻接点 • 在无向图中，若存在一条边（Vi, Vj），则称Vi和Vj互为邻接点（Adjacent） • 在有向图中，若存在一条弧<Vi, Vj >，则称Vi为此弧的起点，称Vj为此弧的终点，称Vi邻接到Vj，Vj邻接自Vi，Vi和Vj互为邻接点。

7. 2．顶点的度、入度和出度 • 在无向图中，与顶点v相邻接的边数称为该顶点的度，记为D(v)。 • 在有向图中，顶点v的度又分为入度和出度两种： • 以顶点v为终点(弧头)的弧的数目称为顶点v的入度，记为ID(v)； • 以顶点v为起点(弧尾)的弧的数目称为顶点v的出度，记为OD(v)； • 有向图顶点v的度为该顶点的入度和出度之和，即 D(v)=ID(v)+OD(v)

8. 无论是有向图还是无向图，一个图的顶点数n、边(弧)数e和每个顶点的度di之间满足以下的关系式：无论是有向图还是无向图，一个图的顶点数n、边(弧)数e和每个顶点的度di之间满足以下的关系式： • 即在有向图或无向图中： 所有顶点度数之和 ：边数 = 2 ：1

9. 3．完全图、稠密图和稀疏图 • 在图G中： • 若G为无向图，任意两个顶点之间都有一条边，称G为无向完全图。顶点数为n，无向完全图的边数： e=Cn2 =n(n1)/2 • 若G为有向图，任意两个顶点Vi, Vj之间都有弧<Vi,Vj> 、<Vj,Vi>，称G为有向完全图。如顶点数为n，有向完全图的弧数： e=Pn2 =n(n1) • 例如，无向图G1就是4个顶点无向完全图。 • 若一个图接近完全图，则称其为稠密图；反之，若一个图含有很少条边或弧（即e＜＜n2），则称其为稀疏图。

10. 4．子图 • 若有图G=(V, E)和G′=(V′, E′) • 且V′是V的子集，即V′V ， E′是E的子集，即E′E • 则称图G′为图G的子图。

11. 5．路径、回路和路径长度 • 在无向图G中，若存在一个顶点序列(Vp, Vi1 , Vi2 , … , Vin, Vq)，使(Vp, Vi1)，(Vi1, Vi2)，…，(Vin, Vq)均为图G的边，则该称顶点的序列为顶点Vp到顶点Vq的路径。若G是有向图，则路径是有向的。 • 路径长度定义为路径上的边数或者弧的数目。 • 若一条路径中不出现重复顶点，则称此路径为简单路径。 • 若一条路径的起点和终点相同（Vp=Vq）称为回路或环。 • 除了起点和终点相同外，其余顶点不相同的回路，称为简单回路或简单环。

12. 例如，在无向图G1中： • 顶点序列（V1, V2, V3, V4）是一条从顶点V1到顶点V4，长度为3的简单路径； • 顶点序列（V1, V2, V4, V1, V3）是一条从顶点V1到顶点V3，长度为4的路径，但不是简单路径； • 顶点序列（V1, V2, V3, V1）是一条长度为3的简单回路。 • 在有向图G3中： • 顶点序列（V2, V3, V2）是一个长度为2的有向简单环。

13. 6．连通、连通分量和连通图、生成树 • 在无向图G中： • 如果从顶点Vi到顶点Vj至少有一条路径，则称Vi与Vj是连通的。 • 如果图中任意两个顶点都连通，则称G为连通图，否则称为非连通图。 • 在非连通图G中，任何一个极大连通子图称为G的连通分量。 • 任何连通图的连通分量只有一个，即其自身，而非连通图有多个连通分量。 • 在一个连通图中，含有全部顶点的极小(边数最少)连通子图，称为该连通图的生成树。(包含图的所有 n 个结点，但只含图的 n-1 条边。在生成树中添加一条边之后，必定会形成回路或环)

14. A B F G E A B E F G I J K I J C D K A B A B A B C D C D C D C D • 图G1和G2为连通图 • 非连通图G4的三个连通分量 • 非连通图G4 • 连通图G5 • 连通图G5的两棵生成树

15. 7．强连通、强连通分量和强连通图 • 在有向图G中： • 存在从顶点Vi到顶点Vj的路径，也存在从顶点Vj到顶点Vi的路径，则称Vi与Vj是强连通的。 • 如果图中任意两个顶点都是强连通，则称G为强连通图，否则称为非强连通图。 • 在非强连通图G中，任何一个极大强连通子图称为G的强连通分量。 • 任何强连通图的强连通分量只有一个，即其自身，而非强连通图有多个强连通分量。

16. 有向图G和强连通分量示例：

17. 8．权、带权图、有向网和无向网 • 在一个图中，各边(或弧)上可以带一个数值，这个数值称为权。 • 这种每条边都带权的图称为带权图或网 • 有向网：带权有向图 • 无向网：带权无向图

18. 7.2 图的存储表示 • 图需存储的信息： • 各顶点的数据 • 各个边（弧）的信息，包括： • 哪两个顶点有边（弧） • 若有权要表示出来 • 顶点数、边（弧）数

19. a[i][j]={ a[i][j]={ 0 vi与vj无边 0 vi到vj无弧 1 vi与vj有边 1 vi到vj有弧 ∞或0 vi与vj无边（或vi到vj无弧） a[i][j]={ w vi与vj有边（或vi到vj有弧） 7.2.1 邻接矩阵表示法 • 顶点数据存储： • 一维数组（顺序存储） • 边（弧）信息的存储： • 邻接矩阵：图中n个顶点之间相邻关系的n阶方阵（即二维数组a[n][n]） • 邻接矩阵中元素值情况（规定自身无边、无弧）： • 无向图 • 有向图 边(弧)上的权 • 网

20. V4 V4 V5 V5 V1 V1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ 2∞ 1 ∞ 5 ∞ 1 ∞ 3 1 4 ∞ 3 ∞ ∞ ∞ 5 1 ∞ ∞ V2 V2 V3 V3 V1 V1 V2 V2 V1 V1 V2 V2 V3 V3 V3 V3 邻接矩阵表示 V4 V4 V5 V5 V4 V4 V5 V5 2 1 4 5 邻接矩阵表示 1 3 1、举例 • 无向图 • 特点： • 对称 • 行或列方向的非零元素（或1）的个数为此顶点的度 • 无向网

21. V4 V3 V1 V2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 V1 V2 邻接矩阵表示 V3 V4 V1 V2 V3 V4 1、举例 • 有向图 • 特点： • 不一定对称 • 行方向的非零元素（或1）的个数为此顶点的出度 • 列方向的非零元素（或1）的个数为此顶点的入度

22. 2、邻接矩阵法特点 邻接矩阵法优点： 容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否 有边（弧）、找顶点的邻接点等等。 n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n2)。 对稀疏图而言尤其浪费空间。 邻接矩阵法缺点：

23. 3、邻接矩阵存储的图类型定义 # define MAX 100 /* MAX为图中顶点最多个数 */ typedef int vextype; /* vextype为顶点的数据类型 */ typedef struct{ vextype vex[MAX]; /* 一维数组存储顶点信息 */ int arc[MAX][MAX]; /*邻接矩阵存储边（弧）信息 */ int vn, en; /* vn顶点数和en边数 */ }MGraph; /* 图类型 */ 注：MGraph既可以表示有向图、无向图，也可以表示有整型权的网

24. 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 3 4 4、建图运算 建图——就是完成图类型变量中各个成员值的创建过程。 例：建一个如图所示的无向图 执行时输入数据： 5 6 0 1 2 3 4 0 1 0 3 1 2 1 4 2 3 2 4 分析： 各顶点信息：键盘输入 各边信息：邻接矩阵，顶点间有边值为1，无边值为0 顶点数、边数：键盘输入

25. 算法实现（无向图） void CreateGraph(MGraph *g) { int i, j, v, e; scanf("%d %d", &g->vn, &g->en); /*输入顶点数和边数*/ for(v=0;v<g->vn;v++) scanf("%d", &g->vex[v]); /*顶点数据输入*/ for(i=0;i<g->vn;i++) for(j=0;j<g->vn;j++) g->arc[i][j]=0; /*邻接矩阵的初始值都为0*/ for(e=0;e<g->en;e++) /*共有g->en条边*/ { scanf("%d %d", &i, &j); /*指明有边的两个顶点的序号*/ g->arc[i][j]=1; /*有边赋值为1*/ g->arc[j][i]=1; /*建有向图时此句不要*/ } }

26. 7.2.2 邻接表法 • 是顺序与链接相结合的图的存储方式 • 所有顶点组成一个数组，为每个顶点建立一个单链表 • 有两部分组成： • 表头——顶点数组（存放顶点信息） • 表体——单链表（存放与顶点相关的边或弧的信息）

27. V1 V1 V2 V2 0 0 V1 V5 V4 V3 V2 V3 V2 V5 V4 V1 2 3 4 1 3 1 0 1 4 0 2 2 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ V3 V3 1 1 2 2 邻接表表示 V4 V4 V5 V5 3 3 4 4 2 1 1 3 0 4 2 4 3 0 2 2 1 5 2 5 4 1 1 1 3 3 4 2 1 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 1 4 5 邻接表表示 1 3 1、举例 与顶点V1相邻接的顶点在数组中的下标 • 无向图 • 顶点的度：该顶点所在单链表中表结点个数 权值 • 无向网

28. V1 V4 V3 V2 ∧ 1 2 3 0 ∧ ∧ ∧ 0 1 2 邻接表表示 3 V1 V2 V3 V4 1、举例 以顶点V1为始点的弧的终点顶点在数组中的下标 • 有向图 • 顶点的出度 • 该顶点所在单链表中表结点个数 • 顶点的入度 • 查询整个邻接表中的表结点，与该顶点的序号（数组下标）一致的表结点个数

29. 2、邻接表法特点 邻接表的优点： 空间效率高；容易寻找顶点的邻接点； 邻接表的缺点： 判断任意两顶点间是否有边或弧，需搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。

30. adjvex next adjvex w next 3、邻接表存储的图类型定义 （1）表(边)结点——表示边(或弧)信息的链表中结点 表结点： 邻接点序号(下标) 下一个邻接点地址 权值 typedef struct arcnode{ int adjvex; struct arcnode *next; } ArcNode, *Arc; 表结点类型

31. vertex firstarc 3、邻接表存储的图类型定义 （2）顶点结点类型 顶点结点： 链表头指针(指向第一个表结点) 顶点信息 typedef struct vexnode{ vextype vertex; ArcNode *firstarc; } VexNode; 顶点结点类型 （3）图的邻接表类型 typedef struct { VexNode adjlist[MAX]; /*顶点结点所在数组*/ int vn, en; } ALGraph;

32. 0 3 2 1 ∧ 0 3 1 2 ∧ ∧ ∧ 0 1 2 3 0 1 2 3 4、建图运算 建图——就是完成图类型变量中各个成员值的创建过程。 adjvex 例：建一个如图所示的有向图 next firstarc vertex 执行时输入数据： 4 4 0 1 2 3 0 2 0 1 2 3 3 0 分析： 各顶点信息：顶点数据键盘输入 各链表：若顶点有出度弧，创建表结点，头插入链表 顶点数、边数：键盘输入

33. 算法实现（有向图） void CreateAGraph(ALGraph *g) { int i, j, v, e; ArcNode* p; scanf("%d %d", &g->vn, &g->en); /*输入顶点数和边数*/ for(v=0;v<g->vn;v++) /*顶点数组元素值的获得*/ { scanf("%d",&g->adjlist[v].vertex); /*顶点数据键盘输入*/ g->adjlist[v].firstarc=NULL; } for(e=0;e<g->en;e++) /*共有g->en条边*/ { scanf("%d %d", &i, &j); /*i j有弧，i、j为顶点序号*/ p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode)); p->adjvex=j; /*把值为j的结点头插入到i顶点的链表中*/ p->next=g->adjlist[i].firstarc; g->adjlist[i].firstarc=p; } } 思考： 建无向图如何修改？

34. 0 A 1 4 1 B 0 4 5 2 C 3 5 3 D 2 5 4 E 0 1 5 F 1 2 3 补例：图的邻接表存储表示 B C A D F E

35. A B C D E  0 1 2 3 4 1 4  2  3  0 1  2 有向图的邻接表 A B E C D 可见，在有向图的邻接表中不易找到指向该顶点的弧

36. A B C D E 3  0 1 2 3 4 3 0  4  2  0  A 有向图的逆邻接表 B E 在有向图的逆邻接表中，对每个顶点，链接的是指向该顶点的弧 C D

37. 7.3 图的遍历 从图中某个顶点出发遍历图，访遍图中其余顶点，并且使图中的每个顶点仅被访问一次的过程。 图的遍历有两种方法： 深度优先搜索遍历（DFS） 广度优先搜索遍历（BFS）。 它们对无向图和有向图都适用。

38. 7.3.1 连通图的深度优先搜索遍历 1．深度优先搜索(dfs)的基本思想 • 首先访问初始出发点V0，并将其标记设置为已访问； • 然后任选一个与V0相邻接且没有被访问的邻接点V1作为新的出发点，访问V1之后，将其标记设置为已访问； • 再以V1为新的出发点，继续进行深度优先搜索，访问与V1相邻接且没有被访问的任一个顶点V2； • 重复上述过程，若遇到一个所有邻接点均被访问过的顶点，则回到已访问顶点序列中最后一个还存在未被访问的邻接点的顶点，再从该顶点出发继续进行深度优先搜索，直到图中所有顶点都被访问过，搜索结束。

39. V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 dfs遍历举例： dfs序列 不唯一！ dfs遍历部分顶点序列（V0顶点出发） ： （1）V0、 V1、 V2、 V4、 V3、 V5、 V6、 V7 （2）V0、 V1、 V2、 V4、 V3、 V7、 V5、 V6 （3）V0、 V1、 V3、 V5、 V6、 V7、 V2、 V4

40. 2 ． dfs递归算法 • 算法描述： 访问开始顶点（如 v）； 寻找 v 顶点未被访问的第一个邻接顶点（如 w）； 并把 w 作为开始顶点继续深度优先搜索遍历（递归思想）； 直到所有顶点被访问； • 其中处理： （1）访问顶点：自定义访问函数 visit() （2）未被访问的邻接点：定义一个标记数组：int visited[MAX] visited[i]= 0 i号顶点未被访问 1 i号顶点已被访问 注意：由于函数是递归的，数组定义成外部数组 （3）第一个邻接点：按邻接距阵或邻接表中边存储的顺序

41. 2 ． dfs递归算法 邻接距阵存储结构的图 • 函数实现： 形参：图变量地址，开始顶点的序号（下标） 返回值：无 void dfs(MGraph *g, int v) { int j, w; visit(g, v); /*访问v号顶点*/ visited[v]=1; /*v号顶点为已访问*/ for(j=0; j<g->vn; j++) /*找所有的邻接顶点*/ if( g->arc[v][j]==1 && visited[j]==0) /*v号顶点与j号顶点 间有边，且j号顶点为被访问*/ { w=j; dfs(g, w); } } 起始顶点的序号（下标） void visit (MGraph *g, int v) { printf("\n %d", g->vex[v]); }

42. 邻接矩阵存储结构： V0 无向图： V1 V0 0 V2 V1 V4 1 V2 2 V3 V3 3 V4 4 按算法实现的dfs遍历举例： V0顶点出发遍历结果（唯一） ： V0、 V1、 V2、 V3、 V4 V2顶点出发遍历结果（唯一） ： V2、 V1、 V0、 V4、 V3

43. 设计程序创建邻接矩阵的无向图，并用dfs图中顶点信息并输出：设计程序创建邻接矩阵的无向图，并用dfs图中顶点信息并输出： 宏定义及数据类型： #include <stdlib.h> #define MAX 20 /*图顶点最多不超过20*/ typedef int vextype; /*图顶点为int型*/ typedef struct{ vextype vex[MAX]; int arc[MAX][MAX]; int vn, en; } MGraph; /*邻接矩阵图类型*/ int visited[MAX]; /*访问标记数组*/

44. 函数定义： void CreateGraph(MGraph *g) /*创建无向图*/ { …… } void visit(MGraph *g, int v) /*访问图中某个顶点*/ { …… } void dfs(MGraph *g, int v) /*dfs遍历图*/ { …… } main() /*主函数*/ { MGraph mg; /*mg为图结构变量/ int i, start; /*start开始顶点序号*/ CreateGraph(&mg); for(i=0; i<mg.vn; i++) /*访问标记数组置初值0*/ visited[i]=0; scanf("%d", &start); dfs(&mg, start); }

45. 7.3.2 连通图的广度优先搜索遍历 1．广度优先搜索(bfs)的基本思想 • 从图G=(V, E)的某个起始点v0出发，首先访问起始点v0，接着依次访问v0所有邻接点; • 再找v0的第一个邻接顶点(如 w1)，再依次访问w1顶点的所有未被访问的邻接顶点； • 再找v0的第二个邻接顶点(如 w2)，再依次访问w2顶点的所有未被访问的邻接顶点； • …… • 直到图中所有顶点都被访问到为止。

46. V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 bfs遍历举例： bfs序列 不唯一！ bfs遍历部分顶点序列（V0顶点出发） ： （1）V0、 V1、 V3、 V5、 V2、 V7、 V6、 V4 （2）V0、 V5、 V3、 V1、 V6、 V7、 V2、 V4 bfs辅助工具 ： 因邻接点的出发的次序是“先被访问先出发”的原则， 故用队列来管理邻接点出发的次序。（图示讲解！）

47. 2 ． bfs算法 • 算法描述： (1) 定义一个队列Q并初始化 (2) 开始顶点（如 v）入队，置访问标记为1； (3) 当队列不空时，反复做： (a)队头顶点出队→w ，访问w； (b)寻找w的所有未被访问的邻接顶点入队，置访问标记为1；

48. 2 ． bfs算法 邻接表存储结构的图 • 函数实现： 形参：图变量地址，开始顶点的序号（下标） 返回值：无 void bfs(ALGraph *g, int v) { int i, w; ArcNode *p; SeqQueue Q; /*循环队列*/ InitQueue(&Q); /*初始化队列*/ EnQueue(&Q, v); /*入队*/ visited[v]=1; /*置v号顶点访问标记为1*/ while(!EmptyQueue(&Q)) /*队列不空*/ { w=DeQueue(&Q);/*出队*/ visit(g, w);/*访问w号顶点,自定义函数*/ p=g->adjlist[w].firstarc; /*w号顶点的第一个邻接点地址*/ 起始顶点的序号（下标）

49. while(p!=NULL) { i=p->adjvex; /*i为邻接顶点的序号（下标）*/ if(visited[i]==0) { EnQueue(&Q, i); visited[i]=1; } p=p->next; } /*找所有未访问的邻接点的循环*/ } /*队列循环*/ } /*函数结束*/

50. 无向图： 邻接表存储结构： V0 3 0 4 1 4 2 0 1 3 3 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ V0 V1 0 V1 1 V2 2 V2 V3 V4 3 V4 4 V3 按算法实现的bfs遍历举例： V0顶点出发遍历结果（唯一） ： V0、 V1、 V4、 V3、 V2 V2顶点出发遍历结果（唯一） ： V2、 V3、 V1、 V4、 V0