หน่วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof)

1. หน่วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof) CHANON CHUNTRA

2. วิธีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทถือว่าเป็นส่วนประกอบที่สำคัญอันหนึ่งในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีบทแต่ละทฤษฎีบทนั้นได้มาโดยอาศัยบทนิยามสัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่มีมาก่อน เมื่อเรายอมรับว่าบทนิยามและสัจพจน์เป็นจริงก็นำบทนิยามและสัจพจน์ดังกล่าวมาอ้างอิงเป็นเหตุผลเพื่อสนับสนุนข้อความใหม่ว่าเป็นจริง เราเรียกขบวนการนี้ว่า การพิสูจน์ข้อความใหม่ให้เป็นทฤษฎีบท

3. การพิสูจน์ข้อความ p ---> q การพิสูจน์ข้อความในแบบ p --> q สามารถทำได้ 3 วิธี คือ 1) โดยวิธีตรง (Direct proof) 2) โดยวิธีการแย้งสลับที่ (Contrapositive proof) 3) โดยวิธีขัดแย้ง (Contradiction proof)

4. แบบที่ 1:วิธีตรง (Direct proof) ในการพิสูจน์ p --> q ทางตรงหรือการพิสูจน์ว่า p --> q มีค่าความจริงเป็นจริง มีรูปแบบดังนี้ พิสูจน์ สมมติว่า p : (ใช้ p และ S1, S2, S3, … ,Sn) เพราะฉะนั้น q นั่นคือ p --> q

5. แบบที่ 2:วิธีการแย้งสลับที่ (Contrapositive) การพิสูจน์ข้อความ p --> q โดยพิสูจน์ข้อความ ~q --> ~p แทน โดยมีรูปแบบดังนี้ • พิสูจน์ สมมติว่า ~q • : (ใช้ ~q, บทนิยาม, สัจพจน์ หรือทฤษฎีบท • ที่มีมาก่อนแล้ว) • เพราะฉะนั้น ~p • นั่นคือ ~q --> ~p • ดังนั้น p --> q

6. แบบที่ 3: วิธีการหาข้อขัดแย้ง (Contradiction) พิสูจน์ สมมติว่า p และ ~q เป็นจริง : (ใช้ p, ~q, บทนิยาม, สัจพจน์ หรือ ทฤษฎีบทที่มีมาก่อนแล้ว) เพราะฉะนั้น เกิดข้อความขัดแย้ง (c) นั่นคือ p ^ ~q --> c ดังนั้นp --> q เป็นจริง

7. 3.2 การพิสูจน์โดยการหาข้อขัดแย้ง (Proof by Contradiction) พิสูจน์ สมมติว่า ~p เป็นจริง : (ใช้ ~p , บทนิยาม, สัจพจน์ หรือ ทฤษฎีบทที่มีมาก่อนแล้ว) เพราะฉะนั้น q ^ ~q นั่นคือ ~p --> q ^ ~q ดังนั้น p เป็นจริง

8. การพิสูจน์ข้อความในแบบ p <--> q • เนื่องจาก (p --> q) ^ (q --> p) =(p <--> q) ดังนั้น วิธีหนึ่งที่ • จะพิสูจน์ข้อความ p <--> q โดยแยกการพิสูจน์เป็น 2 ตอน คือ • 1) p --> q ขั้นตอนนี้เรียกว่า “ifpart ” หรือ “sufficient part ” • (p เป็นเงื่อนไขที่พอเพียงสำหรับ q) • และ 2) q --> p ขั้นตอนนี้เรียกว่า “ onlyifpart ” หรือ • “ necessity part ”(pเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ q)

9. การพิสูจน์ข้อความในแบบ p <--> q จะพิสูจน์ข้อความ p <--> q เราต้องแสดงว่า p --> q และ ~p --> ~q เป็นจริง และอีกวิธีหนึ่งที่เรานิยมใช้ในการพิสูจน์ข้อความแบบ p <--> q ซึ่งเรียกว่า Iff – String คือการสร้างข้อความที่สมมูลต่อเนื่องกัน จาก p ไป q

10. การพิสูจน์ข้อความโดยการแจงกรณี (Proof by Cases) เนื่องจากข้อความ (p v q --> r) = (p --> r) ^ (q --> r) กล่าวคือ ถ้าเราจะพิสูจน์ข้อความ (p v q) --> r เป็นจริง ทำได้โดยการพิสูจน์ว่า p --> r และ q --> r เป็นจริง เราจะเรียกการพิสูจน์ในลักษณะนี้ว่า การพิสูจน์แบบการแจงกรณี

11. การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จโดยการยกตัวอย่างค้าน (Disproof by Counter Example) การพิสูจน์ มี x, ~p(x) เป็นเท็จ อยู่ในรูปแบบ ดังต่อไปนี้ พิสูจน์ เลือก a ที่เหมาะสม โดยให้ a E U : เพราะฉะนั้น ~p(a) เป็นจริง นั่นคือมี x, ~p(x) เป็นจริง ดังนั้นทุก x, ~p(x) เป็นเท็จ

12. การพิสูจน์ว่ามี (อย่างน้อยหนึ่ง) และ มีเพียงหนึ่งเดียว (Proof of Existence and Uniqueness) การพิสูจน์ว่ามีเป็นการพิสูจน์ว่า มีสมาชิกอย่างน้อย 1 สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ Uที่สอดคล้องกับลักษณะที่กำหนดให้ กล่าวคือ เป็นการพิสูจน์ว่า มี x ที่ว่า p(x) เป็นจริง โดยการหาสมาชิก 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร x แล้วทำให้ p(x) เป็นจริง

13. การพิสูจน์ว่ามี (อย่างน้อยหนึ่ง) และ มีเพียงหนึ่งเดียว (Proof of Existence and Uniqueness) ถ้าต้องการพิสูจน์ว่า มี x เพียงตัวเดียวที่ว่า p(x) เป็นจริง กล่าวคือต้องการพิสูจน์ว่ามี x เพียงตัวเดียว (Unique) เท่านั้น ที่ทำให้ p(x) เป็นจริง เราจะต้องแสดง 2 ขั้นตอน คือ 1. พิสูจน์ว่า มี x ที่ว่า p(x) เป็นจริง (แสดงว่า มีxอย่างน้อยที่สุดตัวหนึ่งซึ่งมีสมบัติp(x)) 2. พิสูจน์ว่า ทุก x ทุก y [p(x) ^ p(y) --> x =y] (แสดงว่ามีxอย่างมากที่สุดเพียงตัวเดียวซึ่งมีสมบัติp(x))

14. การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Induction) ทฤษฎีบท 3.9.1 วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่ 1 (The first method of proof by mathematical induction) สำหรับ n E Nให้ p(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n ถ้า (1) p(1) เป็นจริง (ขั้นตอนฐานหลัก – basic step) และ (2) สำหรับ k E Nถ้า p(k) เป็นจริงแล้วp(k + 1) เป็น จริงด้วย (ขั้นตอนอุปนัย – induction step) จะสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ n

15. การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Induction) บทแทรก 3.9.2 สำหรับแต่ละจำนวนนับ n ให้ p(n) แทน ข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n และ m เป็นจำนวนนับที่กำหนดให้ ถ้า (1) p(m) เป็นจริง และ (2)สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ k ซึ่ง k >= m ถ้า p(k) เป็นจริงแล้ว p(k + 1) เป็นจริงด้วย จะสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ n ซึ่ง n >= m

16. การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Induction) ทฤษฎีบท 3.9.3 วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่ 2 (The second method of proof by mathematical induction หรือ Strong induction) สำหรับแต่ละจำนวนนับ n ให้ p(n) แทน ข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n ถ้า (1) p(1) เป็นจริง และ (2) สำหรับแต่ละจำนวนนับ m ถ้า p(k) เป็นจริง สำหรับ ทุก ๆ จำนวนนับk ซึ่ง k <= m แล้ว p(m+1) เป็นจริง จะสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ n