Un viatge per l’infinit

1. Un viatge per l’infinit Joan Bagaria Dia de la ciència a les escoles IES La Garrotxa Olot 14 de novembre de 2007

2. Quin és el nombre més gran? Alguns nombres molt grans:

8. Els nombres no s’acaben mai.... Donat un nombre n, sempre n’hi podem afegir un més i obtenir n+1. Hi ha, potencialment, infinits nombres naturals!

9. Els nombres transfinits de Cantor Georg Cantor, 1845-1918

10. Res no impedeix pensar en la totalitat infinita dels nombres naturals. I continuar comptant ...... O sí ?

11. ? Les paradoxes de l’infinit

12. Galileo Galilei, 1564-1642 La paradoxa de Galileo

14. La paradoxa de Tristram Shandy

16. L’Hotel infinit de Hilbert L'aclariment definitiu de la naturalesa del'infinit ha esdevingut necessari, no només per als interessos especials de les ciències particulars, sinó sobretot per a l'honor del mateix enteniment humà. David Hilbert 1862-1943

18. 1 2 3 4 5 6 7 8

19. Si l’infinit porta a tantes paradoxes..... Pregunta de sentit comú: No fariem millor d’oblidar-nos-en?

20. Succesions de Goodstein (1944) Reuben L. Goodstein, 1912-1985

21. El següent terme de la sèrie és: Que és igual a: El següent terme de la sèrie és un nombre que té 2216 dígits!

22. El teorema de Goodstein (1944) Tota successió de Goodstein convergeix a.... 0 en un nombre finit de passos. El teorema de Kirby i Paris (1982) El teorema de Goodstein només es pot demostrar si existeix un conjunt infinit!

23. La teoria dels nombres transfinits de Cantor Georg Cantor, 1845-1918

26. Georg Cantor, 1874 El conjunt de punts de l'interval [0,1] no es potnumerar.

27. L’argument diagonal 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1....... 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1....... 2 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1....... 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0....... 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1....... 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0....... 6 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0....... 7 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0....... . ................................................................... 1 0 1 1 0 1 0 0 .......... No és a la llista!

28. Els àlephs

29. La teoria matemàtica que estudia els nombres infinits és la Teoria de Conjunts

30. La paradoxa de Russell (1902) Sigui A el conjunt de tots aquells conjunts que nosón elements de si mateixos. Bertrand Russell, 1872-1970 Aleshores,...

31. si Apertany a A, A no pertany a A, i si A no pertany aA, A pertany a A. ?

32. La paradoxa del barber El barber del poble afaita tots els homes del poble que no s’afaiten a si mateixos. Qui afaita el barber?

33. La paradoxa de Richard (1905) Considerem el conjunt C dels nombres que es poden definir en català amb menys de 16 paraules. C és finit!

34. El menor nombre natural que no és definible en català amb menys de setze paraules. 1 3 2 4 5 7 6 8 9 10 11 13 12 14 15

35. La teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb l’axioma d’elecció (ZFC) Axiomes:

36. Extensionalitat: Si dos conjunts tenen els mateixos elements són iguals. Potència: Donat un conjunt x hi ha un conjunt (x) que té com elements tots els subconjunts de x. Unió: Donat un conjunt x, hi ha un conjunt x que té com elements tots els elements dels elements de x. Infinitud: Hi ha un conjunt infinit. Axiomes de substitució: El recorregut d’una funció definible que té com a domini un conjunt, és un conjunt. Regularitat: Donat un conjunt no buit x, hi ha un element de x que no té cap element en el conjunt x. Axioma d'elecció: Tot conjunt es pot ordenar bé.

37. Tota la matemàtica es pot reduir a la teoria de conjunts !

38. Donat un enunciat matemàtic, tenim tres possibilitats: • Que siguidemostrableen ZFC. • Que siguirefutableen ZFC. • Que siguiindecidibleen ZFC.

39. La Hipòtesi del Continu G. Cantor, 1878 Totconjunt infinit de nombres reals és o bé numerable, obé bijectable amb . És a dir...... Hi ha exactament 1 nombres reals.

40. Kurt Gödel, 1906-1978 No es pot demostrar en ZFC que la hipòtesi del continu sigui falsa.

41. Paul J. Cohen, 1963-2007 Tampoc no es pot demostrar en ZFC que la hipòtesi del continu sigui verdadera.

42. La Hipòtesi del Continu és indecidible en ZFC! Calen més axiomes!

43. Per ampliar el tema: J. Bagaria: Una petita excursió al paradís de Cantor. Publicat a : Matemàtiques del segle XXI: dels fonaments a la tecnologia. Cicle Ferran Sunyer i Balaguer. Editat per M. Castellet. Fundació Caixa Sabadell (2003) J. Bagaria:Paul J. Cohen y la técnica del forcing. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Volumen 2, Número 3. Páginas 543-553 (1999) Els dos articles anteriors els podeu trobar a la mevà pàgina web: http://www.icrea.es/ca/investigadors/index.html Sobre el teorema de Goodstein, aneu a: http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

44. SCIENTISTS & THINKERSTIME MAGAZINE, MARCH 29, 1999 Leo Baekeland, plastics pioneerTim Berners-Lee, Internet designerRachel Carson, environmentalistAlbert Einstein, physicistPhilo Farnsworth, inventor of electronic televisionEnrico Fermi, atomic physicistAlexander Fleming, bacteriologistSigmund Freud, psychoanalystRobert Goddard, rocket scientistKurt Godel, mathematicianEdwin Hubble, astronomerJohn Maynard Keynes, economistThe Leakey Family, anthropologistsJean Piaget, child psychologistJonas Salk, virologistWilliam Shockley, solid-state physicistAlan Turing, computer scientistJames Watson & Francis Crick, molecular biologistsLudwig Wittgenstein, philosopherThe Wright Brothers, visionary aviators